2017_2018学年高中数学第二章几个重要的不等式章末复习提升选修.docx

第二章 几个重要的不等式一、选择题1.一批救灾物资随26辆汽车从A市以v km/h匀速直达灾区，已知两地公路长400 km，为安全起见，两车间距不得小于 km，那么这批物资全部到灾区，至少需要_h()A.5B.10C.15D.20解析依题意，所用时间为v10，当且仅当v80时取等号.答案B二、填空题2.设通过一点的k的平面，其中任何三个或三个以上的平面不共有一条直线，这k个平面将空间分成f(k)个部分，则k1个平面将空间分成f(k1)f(k)_个部分.解析k1，f(k)2.k2，f(k)4，4221.k3，f(k)8，84422.所以，f(k1)f(k)2k.答案2k三、解答题3.已知正数a，b，c满足abc1，证明：a3b3c3.证明利用柯西不等式abc(a3b3c3)(abc)2 (abc1)又因为a2b2c2abbcca，在此不等式两边同乘以2，再加上a2b2c2得：(abc)23(a2b2c2)(a2b2c2)2(a3b3c3)3(a2b2c2)，故a3b3c3.4.设f(n)1，是否存在关于自然数n的函数g(n)，使等式f(1)f(2)f(n1)g(n)f(n)1对于n2的一切自然数都成立？并证明你的结论.证明当n2时，由f(1)g(2)f(2)1得，g(2)2当n3时，由f(1)f(2)g(3)f(3)1得，g(3)3，猜想：g(n)n (n2).下面用数学归纳法证明：当n2时，f(1)f(2)f(n1)nf(n)1恒成立.证明如下：(1)当n2时，由上面计算知，等式成立.(2)假设nk (k2)时，等式成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1.则nk1时，左边f(1)f(2)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)1.当nk1时，等式也成立.由(1)(2)知，对一切n2的自然数n，等式都成立，故存在函数g(n)n.5.已知函数f(x)axc(a0)的图象在点(1，f(1)处的切线方程为yx1.(1)用a表示出b，c；(2)若f(x)ln x在1，)上恒成立，求a的取值范围；(3)证明：1ln(n1)(n1).(1)解f(x)a，则有解得(2)解由(1)知，f(x)ax12a.令g(x)f(x)ln xax12aln x，x 1，)，则g(1)0，g(x)a，()当0a1.若1x，则g(x)0，g(x)是减函数，所以g(x)g(1)0，即f(x)1，则g(x)0，g(x)是增函数，所以g(x)g(1)0，即f(x)ln x，故当x1时，f(x)ln x.综上所述，所求a的取值范围为.(3)证明法一由(2)知：当a时，有f(x)ln x(x1).令a，有f(x)ln x(x1)，且当x1时，ln x.令x，有ln，即ln(k1)ln k，k1，2，3，n.将上述n个不等式依次相加得ln(n1)ln(n1).法二用数学归纳法证明.当n1时，左边1，右边ln 2ln(k1).那么1ln(k1)ln(k1).由(2)知：当a时，有f(x)ln x(x1).令a，有f(x)ln x(x1).令x，得：lnln(k2)ln(k1).ln(k1)ln(k2).1ln(k2).这就是说，当nk1时，不等式也成立，根据和，可知不等式对任何nN都成立.6.求证：cos xcos 3xcos(2n1)x (nN).证明(1)当n1时，左边cos x，右边cos x，等式成立.(2)假设nk (k1)时，cos xcos 3xcos(2k1)x成立.当nk1时，cos xcos 3xcos(2k1)xcos(2k1)xcos(2k1)xsin 2kx2sin xcos(2k1)xsin 2kxsin(2k2)xsin 2kx，对nk1时，等式成立.由(1)，(2)知，对一切自然数nN，等式均成立.7.对于一切自然数n，先猜出使tnn2的最小的自然数t，然后用数学归纳法证明，并证明不等式n(n1)lg(123n)成立.解猜想：当t3时，对一切自然数n使3nn2成立.证明如下：当n1时，313112，命题成立.假设nk (k1)时，3kk2成立，则有3kk21.当nk1时，3k133k3k23kk22(k21)3k21，(3k21)(k1)22k22k2k(k1)0，3k1(k1)2，当nk1时，命题成立.由此可知，对一切自然数nN，命题都成立.用数学归纳法证明n(n1)lg(123n).当n1时，1(11)lg 30lg 1，命题成立.假设nk时，k(k1)lg(123k)成立.当nk1时，(k1)(k2)k(k1)2(k1)lg(123k)lg 3k1lg(123k)lg(k1)2lg12k(k1)，命题成立.综上可知，对任意的nN，命题均成立.8.已知点的序列An(xn，0)，nN，其中x10，x2a (a0)，A3是A1A2的中点，A4是线段A2A3的中点，An是线段An2An1的中点(1)写出xn与xn1，xn2之间的关系式(n3)；(2)设anxn1xn，计算a1，a2，a3，由此推测数列an的通项公式，并加以证明.解(1)当n3时，xn.(2)a1x2x1a，a2x3x2x2a，a3x4x3x3a，由此推测ana (nN).下面用数学归纳法证明：当n