高中数学 第2章 数列 2.2.3 等差数列的前n项和课件 苏教版必修5.ppt

2 2 3等差数列的前n项和 目标导航 预习引导 目标导航 预习引导 预习交流1在求等差数列的前n项和时 如何选取两种形式的求和公式 预习交流2等差数列前n项和公式的推导方法我们称为 倒序相加法 此方法主要适用于具备什么特征的数列求和 提示 主要适用于具有a1 an a2 an 1 a3 an 2 特征的数列求和 目标导航 预习引导 2 等差数列前n项和的性质 1 若sn为等差数列 an 的前n项和 则sn s2n sn s3n s2n 仍然为等差数列 且公差为n2d 2 项数为2n n n 的等差数列 奇数项的和为s奇 偶数项的和为s偶 则s偶 s奇 nd 目标导航 预习引导 预习交流3 1 在等差数列 an 中 已知a1 2 d 2 则s20 2 在等差数列 an 中 s10 120 那么a1 a10的值是 3 已知 an 是等差数列 a10 10 其前10项和s10 70 则其公差d为 提示 1 420 2 24预习交流4等差数列 an 的前m项和为30 前2m项和为100 则它的前3m项和为 提示 sm s2m sm s3m s2m构成等差数列且其公差为d s2m 2sm 100 60 40 s3m s2m s2m sm 40 110 s3m 210 一 二 三 一 等差数列前n项和公式的应用活动与探究例1已知等差数列 an 2 a1 4 s8 172 求a8和d 思路分析 在等差数列的通项公式与前n项和公式中 含有a1 d n an sn五个量 只要已知其中的三个量 就可以求出余下的两个量 一 二 三 一 二 三 迁移与应用1 已知 an 是等差数列 a1 a2 4 a7 a8 28 则该数列前10项和s10 答案 100解析 设该数列公差为d a2 a1 d a7 a1 6d a8 a1 7d a1 a2 a1 a1 d 2a1 d 4 a7 a8 a1 6d a1 7d 2a1 13d 28 联立后解得 a1 1 d 2 一 二 三 一 二 三 名师点津1 与等差数列前n项和公式有关的运算 2 在等差数列 an 中 首项a1与公差d是两个最基本的元素 有关等差数列的问题 均可化成关于a1 d的方程或方程组求解 解题过程中 要注意 1 选择适当的公式 2 合理利用等差数列的有关性质 一 二 三 二 等差数列前n项和性质的应用活动与探究例2 1 在等差数列 an 中 若a5 a10 a13 a16 a21 20 求s25 2 若等差数列的项数为奇数 且奇数项和为44 偶数项和为33 求数列的中间项和项数 思路分析 利用等差数列的性质求解 可以简化计算 一 二 三 一 二 三 一 二 三 2 项数为奇数的等差数列 an 中 所有奇数项之和为20 所有偶数项之和为15 求这个数列的项数及中间一项 解 设该数列有2k 1项 中间项ak 1 s奇 s偶 5 又s2k 1 s奇 s偶 2k 1 ak 1 35 项数为2k 1 7 一 二 三 一 二 三 三 等差数列前n项和公式的实际应用活动与探究例3沙尘暴是由于土地沙漠化引起的 根据调查 某县2011年已有一定面积的沙漠 以后每年被沙漠化的土地面积相同 该县从2012年起在沙漠上植树 改造沙漠为林地 以后每年都比上一年多植相同面积的树木 据统计 沙漠面积及每年植树面积如下表 问 到哪一年底可以将所有沙漠改造完 一 二 三 思路分析 一 二 三 一 二 三 迁移与应用1 古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数 比如 他们研究过图1中的1 3 6 10 由于这些数能够表示成三角形 将其称为三角形数 类似地 称图2中的1 4 9 16 这样的数为正方形数 下列数中既是三角形数又是正方形数的序号是 289 1024 1225 1378 一 二 三 答案 解析 正方形数即为n2 n n 又三角形数满足a1 1 a2 3 an an 1 n 用累加法可得an 1 2 3 经验证可得1225既是三角形数又是正方形数 一 二 三 2 为了参加运动会的5000m长跑比赛 李强给自己制定了10天的训练计划 第1天跑5000m 以后每天比前一天多跑400m 李强10天将要跑多长的距离 解 由题意可知 李强每天跑的距离数构成一个等差数列 把李强第1天跑的距离记为a1 5000 则公差d 400 李强10天跑的距离为该等差数列的前10项和 一 二 三 名师点津由实际问题构造数列模型 然后用数列知识求解的一般方法步骤是 1 认真审题 准确理解题意 弄清题目中的主要已知事项 2 将实际问题抽象为数列问题 明确所求的结论是什么 3 将已知与所求联系起来 据题意列出满足题意的数学关系式 函数关系式 方程 不等式 4 利用数列的有关知识解关系式 结合题目的实际意义写出所求的结论 2 3 4 5 1 6 1 等差数列 an 的前n项和为sn 若s2 2 s4 10 则s6等于 a 12b 18c 24d 42答案 c解析 易知s2 s4 s2 s6 s4成等差数列 即2 8 s6 10成等差数列 s6 24 2 3 4 5 1 6 2 一个首项为正数的等差数列中 前3项的和等于前11项的和 当这个数列的前n项和最大时 n等于 a 5b 6c 7d 8答案 c解析 由s3 s11及首项为正可知 d 0 2 3 4 5 1 6 3 现有200根相同的钢管 把它们推放成正三角形垛 要使剩余的钢管尽可能少 那么剩余钢管根数为 答案 10解析 设从上到下第n层的钢管数为an 则由最上一层到第n层的钢管数组成的数列 an 为等差数列 且公差d 1 a1 1 要使剩余的钢管数最少 则用到的钢管数最多 又s19 190200 所以堆放19层时 所剩钢管数最少 剩余钢管