专题质量评估（四）(1).doc

专题质量评估(四)(时间:120分钟,满分:160分)一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分) 1.已知四棱锥P-ABCD的底面是边长为6的正方形,侧棱底面ABCD,且PA=8,则该四棱锥的体积是 . 【解析】 底面积S=36,又底面ABCD,且PA=8, . 【答案】 96 2.(2012届江苏南京学情调研)如图,用半径为2的半圆形铁皮卷成一个圆锥筒,那么这个圆锥筒的容积是 . 【解析】 设圆锥筒的底面半径为r,高为h,则 r=1. 【答案】 3.已知m、n是两条不同直线、是三个不同平面,下列命题中正确的是 . 若m则mn若则 若m则若则mn 【解析】 对于,m,n可能异面,可能相交,也可能平行,故排除;对于可能平行,也可能相交,故排除;对于可能平行,也可能相交,故排除;垂直于同一平面的两直线平行,故正确. 【答案】 4.已知直线l、m,平面、且给出下列四个命题: 若则; 若则; 若则lm; 若lm,则 其中正确命题的个数为. 【解析】 正确,错误. 【答案】 2 5.正方体ABCD-中,点M、N分别在线段、上,且AM=BN.以下结论:;MN;MN平面;MN与异面. 其中有可能成立的结论的个数为 . 【解析】 当M,N分别为和的中点时,有故可能成立; 当M,N分别为和的中点时,有MN,故可能成立; 当M,N分别为和的中点时,有MN平面故可能成立; 当M与A重合,N与B重合时,MN与异面,故可能成立. 【答案】 4 6.如图,已知三棱柱ABC-的各条棱长都相等,且底面ABC,M是侧棱的中点,则异面直线和BM所成的角的大小是 . 【解析】 建系如图,设各棱长都为2,则A(00,2,1), . 即异面直线和BM所成角为. 【答案】 7.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是 . 平面平面PBC 直线BC平面PAE 直线PD与平面ABC所成的角为45 【解析】 AD与PB在平面ABCDEF上的射影AB不垂直,A不成立, 又平面平面PAE, 平面平面PBC也不成立; BCAD,BC平面PAD. 直线BC平面PAE也不成立. 在RtPAD中,PA=AD=2AB, .正确. 【答案】 8.正方体ABCD-的棱长为1,线段上有两个动点E,F且则下列结论中错误的是 . EF平面ABCD 三棱锥A-BEF的体积为定值 异面直线AE,BF所成的角为定值 【解析】 平面 又平面 故A正确. 平面ABCD,又E、F在直线上运动, EF平面ABCD,故B正确. C中由于点B到直线的距离不变,故BEF的面积为定值. 又点A到平面BEF的距离为故为定值. 当点E在处,F为的中点时, 建立空间直角坐标系,如图所示,可得A(1,1,0),B(0,1,0),E(1,0. =(0,-1,1), . . 又| cos.AE与BF成30角. 当E为中点,F在处时,此时F(0,1,1), =(0,0,1). =1,| |. cos. 【答案】 9.某几何体的一条棱长为在该几何体的正视图中,这条棱的投影是长为的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中,这条棱的投影分别是长为a和b的线段,则a+b的最大值为 . 【解析】 由题意可构造长方体如图,长方体的对角线为题中要求的几何体的棱长,长方体的三个面分别作为三视图中的三个投影面. 设长方体的三棱长分别为x,y,z,将平面作为正视图投影面, 则. 侧视图中棱的投影长为俯视图中棱的投影长为. . a+b的最大值为4(当x=z时取等号). 【答案】 4 10.已知平面平面点直线ABl,直线直线m则下列四种位置关系中,不一定成立的是 . ABm AB 【解析】 mml. ABl,ABm.故一定正确. l,.从而一定正确. . AB.故也正确. 当点C在平面内时成立, 当点C不在平面内时不成立.故不一定成立. 【答案】 11.已知直线m,n和平面满足:则n与之间的位置关系是 . 【解析】 . 又故或n.【答案】 或n 12.设a,b为不重合的两条直线为不重合的两个平面,给出下列条件p与结论q,其中p是q的充分条件的所有序号是 . p: “a且b”,q: “ab”;p: “且”,q: “ab”;p: “a且a”,q: “”;p: “且”,q: “”. 【解析】 对于,条件a且b不能推出ab,a与b平行、相交、异面都有可能;对于,a且a不能推出举反例:与相交,a与、的交线平行且a不在、内时,a且a但与相交;、的条件都可以推出结论,它们是课本上的定理.故p是q的充分条件的所有序号是. 【答案】 13.(2011湖南武冈一模)设A、B、C、D是球面上的四个点,且在同一平面内,AB=BC=CD=DA=3,球心到该平面的距离是球半径的一半,则球的体积是 . 【解析】 由题设,知四边形ABCD是边长为3的正方形, ABCD所在平面截球得到的截面圆的半径. 又球心到该平面的距离是球半径的一半,即. 解得.球的体积. 【答案】 14.现有长度为48 m的钢管和面积为S m的铁皮,用钢管焊接一个长方体框架,再用铁皮围在框架的六个表面做成一个长方体水箱(不考虑裁剪和焊接的损失).若要确保铁皮够用,则S的取值范围为 . 【解析】 设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则4a+4b+4c=48,长方体的表面积S=2ab+2bc+2ac. 又144,所以. 所以即S的取值范围为. 【答案】 二、解答题(本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分14分)(2011江苏南通二模)如图,平面平面ABC,点E、F、O分别为线段PA、PB、AC的中点,点G是线段CO的中点,AB=BC=AC.求证: 平面EBO; (2)FG平面EBO. 【证明】 由题意可知,PAC为等腰直角三角形,ABC为等边三角形. (1) 因为O为边AC的中点,所以. 因为平面平面ABC,平面平面ABC=平面ABC,所以平面PAC. 因为平面PAC,所以 在等腰三角形PAC内,O,E为所在边的中点,所以OEPC.所以. 又所以平面EBO. (2)连接AF交BE于Q,连接QO. 因为E、F、O分别为边PA、PB、AC的中点, 所以且Q是PAB的重心. 于是所以FGQO. 因为平面平面EBO,所以FG平面EBO. 16.(本小题满分14分)(2012届江苏南京学情调研)如图,在直三棱柱ABC-中,点D、E分别在边BC、上,求证: (1)BE平面; (2)平面平面. 【证明】 (1)由三棱柱ABC-是直三棱柱,得BC. 因为点D、E分别在边BC、上 所以. 所以四边形是平行四边形.所以BE. 因为平面平面 所以BE平面. (2)由三棱柱ABC-是直三棱柱,得平面ABC. 因为平面ABC,所以. 在ACD中,由. 得. 所以. 所以,即. 因为平面平面所以平面. 因为平面 所以平面平面. 17.(本小题满分14分)(2012届陕西长安一中第一次检测)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形底面ABCD. (1)证明:; (2)若PD=AD,求二面角A-PB-C的余弦值. 【解】 (1)证明:因为,AB=2AD=2,由余弦定理得. 从而故. 又底面ABCD,可得 所以平面PAD.故. (2)如图,以D为坐标原点,射线DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0 设平面PAB的法向量为n=(x,y,z),则 即 因此可取n. 设平面PBC的法向量为m,则 可取m=(0则cos. 故二面角APBC的余弦值为. 18.(本小题满分16分)如图,已知点P在正方体ABCD-ABCD的对角线BD上,. (1)求DP与CC所成角的大小; (2)求DP与平面AADD所成角的大小. 【解】 如图,以D为原点,DA为单位长建立空间直角坐标系D-xyz,则=(1,0,0),(0,0,1). 连接BD,BD. 在平面BBDD中,延长DP交BD于H. 设=(m,m,1)(m0), 由已知, 由=|cos,解得所以. (1)因为cos 所以,即DP与CC所成的角为45. (2)平面AADD的一个法向量是=(0,1,0), 因为cos 所以, 可得DP与平面AADD所成的角为30. 19.(本小题满分16分)(福建厦门双十中学2011届高三12月月考)如图,已知四棱柱ABCD-中底面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱2. (1)求证:平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值; (3)求二面角D-A的余弦值. 【解】 (1)证明:四棱柱ABCD-中 又平面所以平面. 因为四边形ABCD是正方形,所以CDAB. 又平面平面 所以CD平面. 所以平面平面. 所以平面. (2)因为四边形ABCD是正方形 因为平面ABCD, 所以. 如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz, 在中,由已知可得. 所以D(00), . 因为平面ABCD, 所以平面. 又所以平面. 所以平面的一个法向量为n=(1,1,0). 设与n所成的角为 则cos. 所以直线与平面所成角的正弦值为. (3)设平面的法向量为m=(a,b,c), 则mm 所以-a. 令可得m. 则cos. 所以二面角D-A的余弦值为. 20.(本小题满分16分)(2011福建高考,理20)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD,四边形ABCD中45. (1)求证:平面平面PAD; (2)设AB=AP.()若直线PB与平面PCD所成的角为30,求线段AB的长; ()在线段AD上是否存在一个点G,使得点G到点P,B,C,D的距离都相等?请说明理由. 【解】 (1)证明:因为平面ABCD, 平面ABCD,所以. 又 所以平面PAD. 又平面PAB,所以平面平面PAD. (2)以A为坐标原点,建立空间直角坐标系A-xyz(如图). 在平面ABCD内,作CEAB交AD于点E,则. 在RtCDE中, cos45sin45=1. 设AB=AP=t,则B(t,0,0),P(0,0,t). 由AB+AD=4得AD=4-t, 所以E(0,3-t,0),C(1,3-t,0),D(0,4-t,0),(-1t). ()设平面PCD的法向量为n=(x,y,z). 由nn得 取x=t,得平面PCD的一个法向量n=(t,t,4-t).