高考数学一轮总复习 第六章 数列 6.2 等差数列课件 理 新人教B版.ppt

6 2等差数列 高考理数 一 等差数列的有关概念1 通项公式如果等差数列 an 的首项为a1 公差为d 那么它的通项公式是an a1 n 1 d n n 2 等差中项如果a 那么a叫做a与b的等差中项 3 前n项和公式设等差数列 an 的公差为d 则其前n项和sn 或sn na1 d 二 等差数列的性质1 等差数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m d n m n 知识清单 2 若 an 是等差数列 且k l m n k l m n n 则ak al am an 3 若 an 是等差数列 公差为d 则 a2n 也是等差数列 公差为2d 4 若 an bn 是等差数列 则 pan qbn p q是常数 仍是等差数列 5 若 an 是等差数列 则ak ak m ak 2m k m n 组成公差为md的等差数列 2 与等差数列各项的和有关的性质 1 若 an 是等差数列 则也是等差数列 其首项与 an 的首项相同 公差是 an 的公差的 2 sm s2m s3m分别为 an 的前m项 前2m项 前3m项的和 则sm s2m sm s3m s2m成等差数列 3 关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质a 若项数为2n 则s偶 s奇 nd b 若项数为2n 1 则s偶 n 1 an s奇 nan s奇 s偶 an 4 若两个等差数列 an bn 的前n项和分别为sn tn 则 利用数形结合的思想方法解决等差数列的有关问题时应明确两点 1 等差数列 an 的通项公式an a1 n 1 d可变形为an dn a1 d 若d 0 则an a1是常数函数 若d 0 则an是关于n的一次函数 n an 是直线y dx a1 d 上一群孤立的点 单调性 d 0时 an 为单调递增数列 d 0时 an 为单调递减数列 2 等差数列 an 的前n项和sn可表示为sn n2 n 令a b a1 则sn an2 bn 不含常数项的二次函数 当a 0 即d 0时 sn是关于n的二次函数 n sn 在二次函数y ax2 bx的图象上 为抛物线y ax2 bx上一群孤立的点 利用此性质可解决前n项和sn的最值问题 知识拓展 等差数列的判定与证明的方法主要有以下两种 定义法 通过证明an 1 an d n n d为常数 an 为等差数列 等差中项法 通过证明2an 1 an an 2 n n an 为等差数列 例1 2014课标全国 17 12分 已知数列 an 的前n项和为sn a1 1 an 0 anan 1 sn 1 其中 为常数 1 证明 an 2 an 2 是否存在 使得 an 为等差数列 并说明理由 解析 1 证明 由anan 1 sn 1 得an 1an 2 sn 1 1 两式相减得an 1 an 2 an an 1 由于an 1 0 所以an 2 an 2 a1 1 又a1a2 s1 1 则可得a2 1 由 1 知 a3 1 突破方法 方法1等差数列的判定与证明 令2a2 a1 a3 解得 4 故an 2 an 4 由此可得 a2n 1 是首项为1 公差为4的等差数列 a2n 1 4n 3 a2n 是首项为3 公差为4的等差数列 a2n 4n 1 所以an 2n 1 an 1 an 2 因此存在 4 使得数列 an 为等差数列 1 1 2016广西桂林中学3月月考 17 12分 已知数列 an 满足an 1 n n 且a1 0 1 求a2 a3的值 2 是否存在一个实常数 使得数列为等差数列 请说明理由 解析 1 a2 a3 2 存在 理由 假设存在一个实常数 使得数列为等差数列 则 成等差数列 所以 所以 解得 1 因为 又 1 所以存在一个实常数 1 使得数列是首项为 1 公差为 的等差数列 等差数列的基本运算方法 1 等差数列可以由首项a1和公差d确定 所有关于等差数列的计算和证明 都可围绕a1和d进行 2 对于等差数列问题 一般给出两个条件 就可以通过列方程 组 求出a1 d 如果再给出第三个条件 就可以完成an a1 d n sn的 知三求二 问题 例2 2016贵州六校联盟二模 6 5分 等差数列 an 的前n项和为sn 已知a5 8 s3 6 则a9 a 8b 12c 16d 24解析设 an 的公差为d 在等差数列 an 中 a5 a1 4d 8 s3 3a1 d 3a1 3d 6 即a1 d 2 解得a1 0 d 2 所以a9 a1 8d 8 2 16 选c 答案c2 1 2013北京东城高三上学期期末 已知 an 为等差数列 其前n项和为sn 若a3 6 s3 12 则公差d等于 a 1b c 2d 3 考点一西方人文精神的起源 古希腊先哲 答案c解析因为a3 6 s3 12 所以s3 12 解得a1 2 所以a3 6 a1 2d 2 2d 解得d 2 选c 等差数列在项的关系及和的问题方面都有相应的性质 充分利用好性质 利用整体思想 方程思想考虑问题 可以大大减少运算 达到事半功倍的效果 例3 1 2016河南开封二模 6 5分 设等差数列 an 的前n项和为sn 若s3 9 s6 36 则a7 a8 a9等于 a 63b 45c 36d 27 2 2016浙江宁波二模 4 5分 若一个等差数列前3项的和为34 最后3项的和为146 且所有项的和为390 则这个数列的项数为 a 13b 12c 11d 10 3 2016山东济南三模 9 5分 已知sn是等差数列 an 的前n项和 若a1 2010 6 则s2011 a 2011b 2010c 0d 2解题导引 1 s3 s6 s3 s9 s6成等差数列 可求s9 s6 方法3等差数列的性质及应用 结论 2 利用a1 an a2 an 1 a3 an 2可求a1 an 由前n项和公式列方程求n 3 求的首项与公差 由前n项和公式求 结论解析 1 由 an 是等差数列 得s3 s6 s3 s9 s6成等差数列 即2 s6 s3 s3 s9 s6 得到s9 s6 2s6 3s3 45 故选b 2 因为a1 a2 a3 34 an 2 an 1 an 146 n 3 a1 a2 a3 an 2 an 1 an 34 146 180 又因为a1 an a2 an 1 a3 an 2 所以3 a1 an 180 从而a1 an 60 所以sn 390 即n 13 3 由等差数列的性质可得也为等差数列 设公差为d 6d 6 d 1 故 2010d 2010 2010 0 s2011 0 故选c 答案 1 b 2 a 3 c3 1 2016甘肃兰州二诊 16 5分 等差数列 an 的前n项和为sn 已知am 1 am 1 0 s2m 1 38 则m 答案10解析由am 1 am 1 0得2am 0 解得am 0或2 又s2m 1 2m 1 am 38 显然可得am 0 所以am 2 代入上式可得2m 1 19 解得m 10 求等差数列 an 的前n项和sn的最值的方法 二次函数法 将sn看作关于n的二次函数 运用配方法 借助函数的单调性及数形结合 使问题得解通项公式法 求使an 0 或an 0 成立的最大n值即可得sn的最大 或最小 值不等式法 借助sn最大时 有 n 2 n n 解此不等式组确定n的范围 进而确定n的值和对应sn的值 即sn的最值 例4 2014北京海淀一模 18 12分 等差数列 an 中 设sn为其前n项和 且a1 0 s3 s11 则当n为多少时 sn最大 解析解法一 由s3 s11得3a1 d 11a1 d 则d a1 从而sn n2 n n 7 2 a1 又a1 0 所以 0 故当n 7时 sn最大 方法4等差数列前n项和的最值问题 解法二 由于sn an2 bn是关于n的二次函数 由s3 s11 可知sn an2 bn