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文档简介
课时作业34直线与直线垂直知识点一 异面直线所成的角1.在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC,AA1,则异面直线AC1与BB1所成的角为()A30 B45 C60 D90答案C解析如图,因为BB1AA1,所以A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角因为tanA1AC1,所以A1AC160,故选C.2如图,三棱柱ABCA1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述正确的是()ACC1与B1E是异面直线BCC1与AE共面CAE与B1C1是异面直线DAE与B1C1所成的角为60答案C解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,A错误;由于CC1在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于点E,点E不在C1C上,故CC1与AE是异面直线,同理,AE与B1C1是异面直线,所以B错误,C正确;AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,又E为BC的中点,ABC为正三角形,所以AEBC,即AE与B1C1所成的角为90,D错误故选C.3在棱长为a的正方体ABCDABCD中,求:(1)AB和AD所成的角;(2)DB和AC所成的角解(1)如图,连接BC,AC,ADBC,ABC即为AB与AD所成的角又ACABBCa,ABC60,AB和AD所成的角为60.(2)如图,连接BD,与AC交于点O,则O为AC的中点,取DD的中点E,连接OE,则OEBD,则AOE即为AC与BD所成的角连接AE,CE,则AECE,ACE为等腰三角形EOAC,即AOE90.DB和AC所成的角为90.知识点二 异面直线的垂直4.长方体ABCDA1B1C1D1的12条棱所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有()A6条 B8条C10条 D12条答案B解析12条棱所在直线中与棱AA1所在直线垂直的有AB,BC,CD,DA,A1B1,B1C1,C1D1,D1A1,共8条5已知直线a,b,c,下列三个命题:若a与b异面,b与c共面,则a与c异面;若ab,a和c相交,则b和c也相交;若ab,ac,则bc.其中,正确命题的个数是()A0 B1 C2 D3答案B解析不正确,如图;不正确,有可能相交也有可能异面;正确,故选B.6.如图所示,在空间四边形ABCD中,两条对边ABCD3,E,F分别是另外两条对边AD,BC上的点,且,EF,求证:ABCD.证明如图,连接BD,过点E作AB的平行线交BD于点O,连接OF.EOAB,.又AB3,EO2.,OFDC.OE与OF所成的锐角(或直角)即为AB和CD所成的角.DC3,OF1.在OEF中,OE2OF25,EF2()25,OE2OF2EF2,EOF90.AB和CD所成的角为90.ABCD.一、选择题1如果空间两条直线互相垂直,那么它们()A一定相交 B是异面直线C是共面直线 D一定不平行答案D解析由平面几何知识和异面垂直的定义可知,互相垂直的两条直线可垂直相交或异面垂直,故选D.2如图所示,正方体ABCDABCD中,AB的中点为M,DD的中点为N,则异面直线BM和CN所成角的大小是()A90 B60C45 D30答案A解析如图,取AA的中点E,连接BE,EN,则BENC,异面直线BM和CN所成的角就是直线BE与直线BM所成的锐角(或直角),根据ABEBBM可得BEBM,异面直线BM和CN所成的角为90.3在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC1,AA1,则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案C解析如图,补上一相同的长方体CDEFC1D1E1F1,连接DE1,B1E1.易知AD1DE1,则B1DE1为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角因为在长方体ABCDA1B1C1D1中,ABBC1,AA1,所以DE1 2,DB1 ,B1E1,在B1DE1中,由余弦定理,得cosB1DE1,即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.故选C.4如图,空间四边形ABCD中,E,F分别为AC,BD的中点若CD2AB,EFAB,则EF与CD所成的角为()A30B45C60D90答案A解析取AD的中点H,连接FH,EH,则EHCD,FHAB.FEH是EF与CD所成的角或其补角,EFH是EF与AB所成的角或其补角EFAB,在EFH中,EFH90.CD2AB,HE2HF,FEH30.5已知两异面直线a,b所成的角为17,过空间一点P作直线l,使得l与a,b的夹角均为9,那么这样的直线l有()A3条 B2条 C1条 D0条答案B解析可将a,b通过平移相交于点P,如图所示,则BPE17,EPD163,则BPE的角平分线与直线a,b所成的角均为8.5,EPD的角平分线与直线a,b所成的角均为81.5.因为8.5981.5,所以与直线a,b所成的角均为9的直线l有且只有2条(直线c,d),故选B.二、填空题6如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心,则EF和BD所成的角是_答案60解析EFAB1,BDB1D1,AB1D1为异面直线EF,BD所成的角或其补角,易知AB1D1为正三角形,AB1D160.7如图所示,空间四面体ABCD的对角线AC8,BD6,M,N分别为AB,CD的中点,MN5,则异面直线AC与BD所成的角为_答案90解析如图,取AD的中点P,连接PM,PN.M,N分别为AB,CD的中点,PMBD,PNAC,MPN为异面直线AC与BD所成的角或其补角AC8,BD6,PNAC4,PMBD3.又MN5,在PMN中,由勾股定理知MPN90.故异面直线AC和BD所成的角为90.8已知a,b为异面直线,且a,b所成的角为40,过空间一点作直线c,直线c与a,b均异面,且所成的角均为.若这样的直线c共有四条,则的取值范围为_答案|7090解析设平面上的两条直线m,n分别满足ma,nb,且m,n相交,夹角为40.若直线c与a,b均异面,且所成的角均为,则直线c与m,n所成的角均为.当020时,不存在这样的直线c;当20时,这样的直线c只有一条;当2070时,这样的直线c有两条;当70时,这样的直线c有三条;当7090时,这样的直线c有四条;当90时,这样的直线c只有一条故的取值范围为|7090三、解答题9如图,长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1AB2,AD1,点E,F,G分别是DD1,AB,CC1的中点求证:A1EGF.证明如图,连接B1G,EG.由于E,G分别是DD1和CC1的中点,EG綊C1D1,而C1D1綊A1B1,EG綊A1B1.四边形EGB1A1是平行四边形A1EB1G,从而B1GF为异面直线A1E与GF所成的角或其补角连接B1F,则FG,B1G,B1F.FG2B1G2B1F2,B1GF90,即异面直线A1E与GF所成的角为90,A1EGF.10如图,在四棱锥ABCDE中,底面四边形BCDE为梯形,BCDE.设CD,BE,AE,AD的中点分别为M,N,P,Q.(1)求证:M,N,P,Q四点共面;(2)若ACDE,且ACBC,求异面直线DE与PN所成角的大小解(1)证明:CD,BE,AE,AD的中点分别
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