“《数学周报》杯”全国初中数学竞赛试题参考答案.doc

中国教育学会中学数学教学专业委员会“数学周报杯”2007年全国初中数学竞赛试题参考答案一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）1方程组的解的个数为（ ）（A）1 （B） 2 （C） 3 （D）4答：（A）解：若0，则于是，显然不可能若，则 于是，解得，进而求得所以，原方程组的解为只有1个解故选（A） 2口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）（A） 14 （B） 16 （C）18 （D）20答：（B）解：用枚举法： 红球个数 白球个数 黑球个数 种 数 5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4所以，共16种故选（B）3已知为锐角三角形，经过点B，C，且与边AB，AC分别相交于点D，E 若的半径与的外接圆的半径相等，则一定经过的（ ）（A）内心 （B）外心 （C）重心 （D）垂心答：（B）解： 如图，连接BE，因为为锐角三角形，所以，均为锐角又因为的半径与的外接圆的半径相等，且为两圆的公共弦，所以于是，（第3题答案图）若的外心为，则，所以，一定过的外心故选（B）4已知三个关于x的一元二次方程，恰有一个公共实数根，则的值为（ ）（A） 0 （B）1 （C）2 （D）3答：（D）解：设是它们的一个公共实数根，则，把上面三个式子相加，并整理得因为，所以于是故选（D）5方程的整数解（x，y）的个数是（ ） （A）0 （B）1 （C）3 （D）无穷多答：（A）解：原方程可化为，因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的所以，原方程无整数解故选(A).二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）6如图，在直角三角形ABC中，CA4点P是半圆弧AC的中点，连接BP，线段BP把图形APCB分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 答：4解：如图，设AC与BP相交于点D，点D关于圆心O的对称点记为点E，线段BP把图形APCB分成两部分，这两部分面积之差的绝对值是BEP的面积，即BOP面积的两倍而（第6题答案图）因此，这两部分面积之差的绝对值是47如图, 点A，C都在函数的图象上，点B，D都在轴上，且使得OAB，BCD都是等边三角形，则点D的坐标为 答：（，0） （第7题答案图）解：如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，F设OEa，BFb， 则AE，CF，所以，点A，C的坐标为（，），（2b，），所以 解得因此，点D的坐标为（，0）8已知点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0） 若二次函数的图象与线段AB恰有一个交点，则的取值范围是 答：，或者解：分两种情况：（）因为二次函数的图象与线段AB只有一个交点，且点A，B的坐标分别为（1，0），（2，0），所以，得由，得，此时，符合题意；由，得，此时，不符合题意（）令，由判别式，得当时，不合题意；当时，符合题意综上所述，的取值范围是，或者9如图，则n 答：6解：如图，设AF与BG相交于点Q，则，于是（第9题答案图）所以，n610已知对于任意正整数n，都有，则 答：解：当2时，有 ，两式相减，得 ，所以 因此 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）11（A）已知点M，N的坐标分别为（0，1），（0，1），点P是抛物线上的一个动点（1）判断以点P为圆心，PM为半径的圆与直线的位置关系；（2）设直线PM与抛物线的另一个交点为点Q，连接NP，NQ，求证：解：（1）设点P的坐标为，则PM;又因为点P到直线的距离为，所以，以点P为圆心，PM为半径的圆与直线相切 5分（第11A题答案图）（2）如图，分别过点P，Q作直线的垂线，垂足分别为H，R由（1）知，PHPM，同理可得，QMQR因为PH，MN，QR都垂直于直线，所以，PHMNQR，于是 ，所以 ，因此，RtRt于是，从而 15分 12（A）已知a，b都是正整数，试问关于x的方程是否有两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明.解：不妨设b，且方程的两个整数根为()，则有所以 ，. 5分因为,b都是正整数，所以x1，x2均是正整数，于是，0,0，1,1，所以 或 （1）当时，由于a,b都是正整数，且b，可得a1，b3，此时，一元二次方程为，它的两个根为，（2）当时，可得a1，b1，此时，一元二次方程为，它无整数解.综上所述，当且仅当a1，b3时，题设方程有整数解，且它的两个整数解为， 15分13（A）已知AB为半圆O的直径，点P为直径AB上的任意一点以点A为圆心，AP为半径作A，A与半圆O相交于点C；以点B为圆心，BP为半径作B，B与半圆O相交于点D，且线段CD的中点为M求证：MP分别与A和B相切（第13A题答案图）证明：如图，连接AC，AD，BC，BD，并且分别过点C，D作AB的垂线，垂足分别为，则CEDF因为AB是O的直径，所以在Rt和Rt中，由射影定理得， 5分两式相减可得 ，又 ，于是有 ，即 ，所以，也就是说，点P是线段EF的中点因此，MP是直角梯形的中位线，于是有，从而可得MP分别与A和B相切15分14（A）（1）是否存在正整数m，n，使得？（2）设(3)是给定的正整数，是否存在正整数m，n，使得？解：（1）答案是否定的若存在正整数m，n，使得，则，显然，于是，所以，不是平方数，矛盾 5分（2）当时，若存在正整数m，n，满足，则，而，故上式不可能成立 10分当4时，若（t是不小于2的整数）为偶数，取，则 ， ，因此这样的（m，n）满足条件若1（t是不小于2的整数）为奇数，取，则 ， ，因此这样的（m，n）满足条件 综上所述，当时，答案是否定的；当4时，答案是肯定的 15分 注：当4时，构造的例子不是唯一的11（B）已知抛物线：和抛物线：相交于A，B两点. 点P在抛物线上，且位于点A和点B之间；点Q在抛物线上，也位于点A和点B之间. （1）求线段AB的长；（2）当PQy轴时，求PQ长度的最大值解：（1）解方程组得 所以，点A，B的坐标分别是（-2，6），（2，-6）于是5分（2）如图，当PQy轴时，设点P，Q的坐标分别为， ， ，因此 PQ8，当时等号成立，所以，PQ的长的最大值8 （第11B题答案图） 15分12（B）实数a，b，c满足abc，且，abc1求最大的实数k，使得不等式恒成立解：当，时，实数a，b，c满足题设条件，此时4 5分下面证明：不等式对满足题设条件的实数a，b，c恒成立由已知条件知，a，b，c都不等于0，且因为，所以 由一元二次方程根与系数的关系知，a，b是一元二次方程的两个实数根，于是0，所以 10分因此 15分13（B）如图，点E，F分别在四边形ABCD的边AD，BC的延长线上，且满足若，的延长线相交于点，的外接圆与的外接圆的另一个交点为点，连接PA，PB，PC，PD求证：（1）；（2）证明：（1）连接PE，PF，PG，因为，所以又因为，所以，于是有 ，从而 ，所以 （第13B题