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课时跟踪检测(十三) 最大值、最小值问题一、基本能力达标1函数yf(x)在区间a,b上的最大值是M,最小值是m,若Mm,则f(x)()A等于0B大于0C小于0D以上都有可能答案:A2函数f(x)x3x2xa在区间0,2上的最大值是3,则a的值为()A2 B1C2D1解析:选Bf(x)3x22x1,令f(x)0,解得x(舍去)或x1,又f(0)a,f(1)a1,f(2)a2,则f(2)最大,即a23,所以a1.3函数f(x)ex(sin xcos x)在区间上的值域为()A. BC1,eD(1,e)解析:选Af(x)ex(sin xcos x)ex(cos xsin x)excos x,当0x时,f(x)0,f(x)在上是增函数f(x)的最大值为fe,f(x)的最小值为f(0).4.如图,将直径为d的圆木锯成长方体横梁,横截面为矩形,横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k,k0)要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,断面的宽x应为()A. BC.d D.d解析:选C设断面高为h,则h2d2x2.设横梁的强度函数为f(x),则f(x)kxh2kx(d2x2),0xd.令f(x)k(d23x2)0,解得xd(舍去负值)当0x0,f(x)单调递增;当dxd时,f(x)0,f(x)单调递减所以函数f(x)在定义域(0,d)内只有一个极大值点xd.所以xd时,f(x)有最大值,故选C.5设x0是函数f(x)(exex)的最小值点,则曲线上点(x0,f(x0)处的切线方程是_解析:f(x)(exex),令f(x)0,x0,可知x00为最小值点切点为(0,1),f(0)0为切线斜率,切线方程为y1.答案:y16若函数f(x)x33xa在区间0,3上的最大值、最小值分别为m,n,则mn_.解析:f(x)3x23,当x1或x1时,f(x)0;当1x1时,f(x)0.f(x)在0,1上单调递减,在1,3上单调递增f(x)minf(1)13a2an.又f(0)a,f(3)18a,f(0)f(3)f(x)maxf(3)18am,mn18a(2a)20.答案:207已知k为实数,f(x)(x24)(xk)(1)求导函数f(x);(2)若x1是函数f(x)的极值点,求f(x)在区间2,2上的最大值和最小值解:(1)f(x)x3kx24x4k,f(x)3x22kx4.(2)由f(1)0,得k.f(x)x3x24x2,f(x)3x2x4.由f(x)0,得x1或x.又f(2)0,f(1),f,f(2)0,f(x)在区间2,2上的最大值为,最小值为.8请你设计一个包装盒如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E,F在AB上,是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm)(1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大,试问:x应取何值?(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大,试问:x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值解:设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm)由已知得ax,h(30x),0x30.(1)S4ah8x(30x)8(x15)21 800,所以当x15时,S取得最大值(2)Va2h2(x330x2),V6x(20x)由V0得x0(舍去)或x20.当x(0,20)时,V0;当x(20,30)时,V0.所以当x20时,V取得极大值,也是最大值此时,即包装盒的高与底面边长的比值为.二、综合能力提升1若函数f(x)x33x29xk在区间4,4上的最大值为10,则其最小值为()A10 B71C15D22解析:选Bf(x)3x26x93(x3)(x1)由f(x)0,得x3或x1.又f(4)k76,f(3)k27,f(1)k5,f(4)k20.由f(x)maxk510,得k5,f(x)mink7671.2若一球的半径为r,作内接于球的圆柱,则圆柱侧面积的最大值为()A2r2 Br2C4r2 D.r2解析:选A设内接圆柱的底面半径为r1,高为t,则S2r1t2r124r1.S4. 令(r2rr)0得r1r.此时S4r4rr2r2.3已知当x时,函数f(x)txsin x(tR)的值恒小于零,则t的取值范围是()A. BC. D.解析:选Af(x)txsin x0在x内恒成立,即t在内恒成立,令g(x),则g(x).令(x)xcos xsin x,则(x)xsin x,当x时,(x)0,(x)在上单调递减,(x)xcos x,g(x)0.(1)若f(x)在x1处取得极值,求a的值;(2)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围解:(1)f(x).因为f(x)在x1处取得极值,故f(1)0,解得a1.(2)由(1)知,f(x),因为x0,a0,故ax10,1x0.当a2时,在区间0,)上f(x)0恒成立,故f(x)在0,)上单调递增,则f(x)的最小值为f(0)1.当0a0,解得x ;由f(x)0,解得x .则f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为,.故f(x)在x处取得最小值,又ff(0)1,故与f(x)的最小值为1矛盾综上可知,a的取值范围是2,)6统计表明某型号汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数为yx3x8(0x120)(1)当x64千米/小时时,行驶100千米耗油量多少升?(2)若油箱有22.5升油,则该型号汽车最多行驶多少千米?解:(1)当x64千米/小时时,要行驶100千米需要小时,要耗油11.95(升)(2)设22.5升油能使该型号汽车行驶a千米,由题意得,22.5,a,设h(x)x2,则当h(x)最小时,a取最大值,h(x)x,令
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