江西乐安一中高二数学 05两条直线的位置关系培优教案.doc

两条直线的位置关系 本讲主要内容1 两条直线平行的条件：(1).两条直线都无斜率且不重合，则这两条直线直线平行.(2).两条直线都有斜率且不重合，如果它们平行则斜率相等；反之，如果 它们的斜率相等则它们平行，即：l1l2k1=k22. 两条直线垂直的条件：(1).一条直线没有斜率，另一条直线斜率为0，则这两条直线垂直.(2).两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，则它们的斜率互为负倒数， 反之，如果它们的斜率互为负倒数，则它们互相垂直.即： l1l2k1=- 或l1l2k1k2=-13. 直线l1到l2的角，指的是直线l1绕交点依逆时针方向旋转到与l2重合 时转的角，它的范围是(0,)4. 直线l1与l2的夹角，指的是直线l1与l2相交，形成的直线到直线的角 中，不大于直角的角又称为l1和l2所成的角，它的范围是(0,.5. 设两条直线l1,l2的斜率为k1,k2,1为l1到l2的角，为l1与l2的夹 角，则有下列公式：(1) l1到l2的角公式为： tan1= (1+k1k20)(2) l1与l2的夹角公式： tan1=| (1+k1k20)a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=06对于由两条直线l1与l2的方程组成的方程组(1) 若以上方程组有唯一的解，则两直线l1,l2为相交，且方程组的解为交点的坐标. (2) 若方程组无解，则两直线平行.(3) 若方程组有无穷多解，则两直线重合，以上条件反之也对.7设两直线l1：a1x+b1y+c1=0, l2：a2x+b2y+c2=0, 且a1 b1 a2 b2全不为零，则两直线l1,l2相交、平行、重合的条件分别是：(1) 若 则l1,l2相交 (2) 若 则l1,l2平行 (3)若 或 且c1=c2=0 时，则两直线重合. 两条直线l1,l2平行 垂直l1,l2的倾斜角的关系l1,l2的斜率的关系 学习指导 1.研究两条直线平行、垂直的方法有两种： 从研究特点出发，即从数量关系出发，即 设l1：a1x+b1y+c1=0, l2：a2x+b2y+c2=0,(b1b20)l1l2方程组a1x+b1y+c1=0 a2x+b2y+c2=0 无解l1l2a1a2+b1b2=0k1k2=-12.l1到l2的角，表明这个角有方向性, l1与l2的夹角是没有方向性的.3.使用两条平行直线的距离公式时，要注意这个公式只有只有当两条直线方程中x,y项系数对应相等时，才能使用，否则要进行调整.例如：l1: 3x-y+1=0 l2: 6x-2y+5=0l1: 6x-2y+2=0 l2: 6x-2y+5=0d=4.注意轴对称的问题，若a,b两点关于直线l成轴对称，应善于把轴对称的几何性质：(1)abl,(2)l平分线段ab，转化为代数条件：(1)kabkl=-1,(2)ab中点坐标满足l方程.例题精讲 例1已知两条直线l1:x+(1+m)y+(m-2)=0,l2:2mx+4y+16=0 当m为何值时，l1与l2(1) l1l2 (2)l1l2 (3)l1,l2重合. 分析及解此题易想到(1)k1k2=-1 (2)k1=k2 即运用直线的斜截式y=kx+b, 这时要注意此式不包含无斜率的直线.所以，在讨论k1,k2时应在k1,k2存在的前提下，即，当1+m0,即m-1时.直线l1的斜率k1=-,l2的斜率 k2=-.当k1k2= -1即即m=-时，l1l2；当k1=k2 即-，即m=1或m=-2,其中m=1时，l1:x+2y-1=0,l2:2x+4y+16=0平行.当m=-2时，l1:x-y-4=0,l2:4x+4y+16=0重合 特别地，当m=-1时，l1 ：x=3 l2： x-2y-8=0 此时l1与l2斜交.综上所知，当m=时,l1l2；当m=1时，l1l2；当m=-2时，l1,l2重合.例2.求经过点p(2,3)且被两条平行直线3x+4y-7=0和3x+4y+8=0截得线段长为的直线方程.分析及解本题所求直线过点p(2,3), 可考虑设直线方程为y-3=k(x-2), 即kx-y+(3-2k)=0易求两平行线间距离d=, 由已知所求直线被两直线截得线段长为，设求得所求直线与两平行直线间夹角为,则sin=,= tan= 解得k=或-7.所以所求直线方程为x2-7y+19=0或7x+y-17=0.此题利用解直角三角形，将问题转化为两直线的夹角问题，避免了复杂运算，但要注意无斜率的直线，即x=3是否符合题意，当x=3时，直线与两平行直线的交点分别为a(3,),b(3,-).所以，直线x=3非所求.例3.(1)求直线l1：x+2y-5=0关于点p(-3,2)的对称直线l2的方程；(2)求点p(2,3)关于直线l：2x-y-4=0的对称点. (3)求直线l1：x+7y-6=0关于直线l：x+y-2=0的对称直线l2的方程.分析及解对称问题主要有两类：点对称和轴对称.(1)若两点a,b关于点p对称，则p是线段的中点；若两个图形c1,c2关于点p对称，则c1上任一点关于点p的对称点必在c2上，反过来，c2上任一点关于点p的对称点也必在c1上.设m(x,y)为直线l2上任一点，且m点关于点p的对称点为n(x0,y0), 则根据中点坐标公式有，即又因为n点在直线l1上故-6-x+2(4-y)-5=0即x+2y+3=0(2)若两点a,b关于直线l对称，则l是线段ab的垂直平分线；若两个图形c1,c2关于直线对称，则c1上任一点关于l的对称点必在c2上，反过来，c2上任一点关于l的对称点也必在c1上.设q(a,b),因为直线l为线段pq的垂直平分线，故有解得a=,b=q(,)(3)在求一已知曲线关于点或直线对称曲线的方程时，常常采用坐标转移法.设p(x,y)为直线l2上的任一点，且p点关于直线l的对称点为q(x0,y0),因为直线l是线段pq的垂直平分线.解得 又q(x0,y0)在直线l1上有(2-y)+7(2-x)-6=0, 即7x+y-10=0.(二)网上能力训练题能力训练部分a 基础性训练题1.两条直线3x+2y+m=0和(m2+1)x-3y+2-3m=0的位置关系是( ) a. 平行 b. 相交 c. 重合 d. 与m无关 2.在同一坐标系中两条直线，l1:y=mx+n,l2:y=nx+m,那么正确的图形只能是( )3.若直线l1,l2的斜率分别是方程6x2+x-1=0的两根，则l1与l2的夹角( )a. 15b. 30c. 45d. 604.若直线y=kx+2k+1与直线交点位于第一象限，k的取值范围是( ) a. (-6,2) b. (,0) c. (,) d. (,+) 5.若方程6xy+4x-9y-6=0表示两条直线,则这两条直线夹角为( ) a. 30b. 45c. 60d. 906.曲线f(x,y)=0关于直线x-y-2=0对称的曲线的方程是( ) a. f(y+2,x)=0 b. f(x-2,y)=0 c. f(y+2,x-2)=0 d. f(y-2,x+2)=07.已知方形abcd的相对顶点坐标是b(0,-1),d(2,5),求a,c的坐标.8.求与直线3x+4y-12=0垂直,并且与坐标轴截得三角形的周长是24的直线l的方程.9.已知abc的顶点a(-4,-1),b(5,-3),内角c的平分线所在的直线方程是 x-y-1=0,求ac边所求的直线方程.10.为何值时,下面三条直线l1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形.b.提高性训练题1.已知点p(-3,-5),则点p到x轴的距离是 ,到y轴距离是 ,到直线x=5的的距离是 ,到直线y+8=0的的距离是 , 到直线3x-y+2=0的的距离是 .2.过直线l1:2x+3y-5=0与直线l2:3x-2y-3=0的交点p且平行于直线2x+y-3=0的直线的方程是 .3.过点(3,5)的直线中距原点最远的直线方程是 .4.直线l1:2x-5y+20=0,l2:mx-2y-10=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则实数m的值等于 .5.过点a(1,)且与直线成角的直线的方程是 .6.若两点o(0,0),a(4,-1)到直线mx+m2y+6=0的距离相等,则m= .7.三角形三个顶点为a(2,8),b(-4,0),c(6,0),求过点b将abc面积平分的直线方程.8.若直线y=xlg(ac)+m和y= xlg(bc)+n互相垂直,(a,b,c0),求的取值范围.9.将直线l绕它上面一点p按逆时针方向旋转（090）后，所得直线方程为6x+y-60=0.若在同向旋转90-后，所得直线方程是x+y=0,求直线l的方程.10.光线沿着直线l1:x-2y+5=0射入,遇到直线l2:3x-2y+7=0反射,求反射光线所在直线l的方程.c研究性训练题在直角坐标系中，一运动物体经过点(0,9),其轨迹方程为y=ax2+c(a0),d=(6,7)在x轴上的给定范围.(1)为使物体落入d内，求a的取值范围.(2)若物体运动时又经过点p(2,8.1),问它能否落入d内,说明理由.解:(1)因为物体运动的轨迹是抛物线,又抛物线过点a(0,9),代入y=ax2+c得c=9.即有y= ax2+9a0抛物线开口向下由d=(6,7)为x轴上给定的区间，可求得的取值范围.当x=6时,a=,当x=7时,a=.在区间d=(6,7)内,.(2)若物体经过点p(2,8.1)，将其代入抛物线方程,可得a=.a的值在取值范围内.所以物体能落在d内.能力训练题点拨与解答a.1.b直线3x+2y+m=0的斜率k1=,直线(m2+1)x-3y+2-3m=0的斜率k10k1k2两条直线相交.2.c图a中l1的斜率m0,m是l2在y轴上截距, m0,n是l2的斜率,n0,n是l2的斜率，n0不可能.只能是c中l1的斜率m0,l2在y轴上截距m0,l2的斜率n0.3.c 设两直线的斜率分别是k1,k2k1,k2是方程6x2+x-1=0的两根k1+k2=, k1k2=(k1-k2)2=(0,90=454.c设两直线的交点m(x0,y0),则x00,y00,并且有 0 且0k 且 即5. d+4x-9y-6=02x(3y+2)-3(3y+2)=0方程表示两条直线显然l1l2,即l1,l2夹角是90.6. c设m(x,y)为所求曲线上任一点,则它关于直线x-y-2=0的对称点m(x0,y0)在已知曲线f(x,y)=0上,即f(x0,y0)=0 m,m关于直线l:x-y-z=0对称mm l且mm中点在l上 得 即为所求曲线方程为7.设e为bd中点，则e(1,2).设a或c点坐标为由,得或.a(4,1),c(-2,3)或a(-2,3),c(4,1).8.l垂直于直线可设 令x=0,y=0得到l在y轴，x轴上的截距分别是截得的三角形周长是24 所求直线方程为或 9.设点b关于角c的平分线所在直线对称点为e（x,y）则e(-2,4)根据三角形平分线的对称性,则点e必在直线ac上,又a（-4，-1）lac：直线ac的方程为 10.(1)由方程组得 l1与l2的交点q(), 要使q点在l3上,只需q点坐标满足l3的方程,得或或时,三直线交于一点.(2)当时, l1l2 当时, l1l3 若l2l3, 则,无解.总之,4,时, 三条直线不能组成三角形.b1. 5,3,8,3,.设点p(x0,y0)到x轴、y轴距离分别为, p到x轴距离为5，到y轴距离为3.到直线的距离是; 到直线的距离是, 到直线的距离是.2. .直线l1与l2 的交点直线与平行，则设方程为 p在直线上 直线方程为.3. 若直线斜率不存在，则方程为，它距原点的距离为3.若直线的斜率存在，则设为k，直线方程为，即.，.0d234 又3d最大值是.此时.所求直线方程为.4. -5.l1与,l2与坐标围成的四边形有外接圆，则四边形对角互补.两坐标轴互相垂直，l1l25. .直线 的斜率，所以直线的倾斜角为.所求直线与原直线成角，则所求直线的倾斜角为.=或=所求直线的斜率不存在或所求直线方程为或6.4,6或-2若表示直线，则不能同时为零