高中数学第一讲不等式和绝对值不等式1.1.3三个正数的算术_几何平均不等式课件新人教A版.pptx

3 三个正数的算术 几何平均不等式 自主预习 1 三个正数的算术 几何平均不等式 定理3 如果a b c R 那么 当且仅当 时 等号成立 a b c 2 基本不等式的推广对于n个正数a1 a2 an 它们的算术平均不小于它们的几何平均 即 当且仅当 时 等号成立 a1 a2 an 即时小测 1 函数y 2x2 x R 的最小值为 A 6B 7C 8D 9 解析 选A 因为x R 所以当且仅当x 1时等号成立 2 若n 0 则的最小值为 A 2B 4C 6D 8 解析 选C 因为所以当且仅当n 4时等号成立 3 若a b 0 则a 的最小值为 解析 因为a b 0 所以a b 0 所以当且仅当 a b b 时等号成立 答案 3 知识探究 探究点三个正数的算术 几何平均不等式1 不等式成立时 a b c的范围是什么 提示 a 0 b 0 c 0 2 应用三个正数的算术 几何平均不等式 求最值应注意什么 提示 三个正数的和为定值 积有最大值 积为定值 和有最小值 求最值时应注意三个条件 一正 二定 三相等 同时具备 归纳总结 1 定理3的变形及结论 1 abc 2 a3 b3 c3 3abc 3 上式中a b c均为正数 等号成立的条件均为a b c 2 利用定理3可确定代数式或函数的最值 1 若a b c R 且积abc为定值s时 由a b c 定值 当且仅当a b c时 和a b c有最小值3 2 若a b c R 且和a b c为定值p时 由abc 定值 当且仅当a b c时 积abc有最大值p3 类型一利用三个正数的算术 几何平均不等式求最值 典例 1 求函数y 1 3x 2 x的最大值 2 求函数y x x 1 的最小值 解题探究 1 典例1中如何构造式子 使其和为定值 提示 可将式子 1 3x 2 x化为 1 3x 1 3x 6x的形式 2 典例2中如何构造式子 使其积为定值 提示 可将式子x 化为则其积为常数 解析 1 因为00 所以y 1 3x 2 x 1 3x 1 3x 6x当且仅当1 3x 1 3x 6x 即x 时等号成立 此时ymax 2 因为x 1 所以x 1 0 当且仅当即x 3时等号成立 即ymin 4 延伸探究 1 若将典例1中的条件变为 y x 1 x2 0 x 1 则如何求y的最大值 解析 因为y x 1 x2 所以y2 x2 1 x2 2 2x2 1 x2 1 x2 当且仅当2x2 1 x2 1 x2 即x 时 等号成立 所以y ymax 2 若将典例1条件变为 x y R 且x2y 4 如何求x y的最小值 解析 因为x y R 且x2y 4 所以x y 当且仅当 y时等号成立 又x2y 4 所以当x 2 y 1时 x y取最小值3 方法技巧 用平均不等式求最值的注意点 1 应用平均不等式 要注意三个条件 即 一正 二定 三相等 同时具备时 方可取得最值 其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性 获得定值需要一定的技巧 如配系数 拆项 分离常数 平方变形等 2 当不具备使用平均不等式的条件时 求函数的最值可考虑利用函数的单调性 变式训练 1 如图 一块曲线部分是抛物线形的钢板 其底边长为2 高为1 将此钢板切割成等腰梯形的形状 记CD 2x 梯形面积为S 则S的最大值是 解析 建立如图所示的坐标系 设抛物线的标准方程为x2 2py p 0 则B 1 1 代入抛物线方程可得2p 1 所以抛物线方程为x2 y 因为CD 2x 所以D x x2 所以梯形的高为1 x2 梯形的面积为S x 1 1 x2 x 0 1 S x 1 1 x2 x 1 2 2 2x 当且仅当x 1 2 2x 即x 时 S的最大值是 答案 2 已知x 0 求y 3x的最小值 解析 因为x 0 所以y 当且仅当即x 2时等号成立 故y 3x的最小值为9 类型二利用三个正数的算术 几何平均不等式证明不等式 典例 设a b c为正实数 求证 a3 b3 c3 解题探究 典例可分几次使用不等式 提示 分两次使用不等式 证明 因为a b c为正实数 所以a3 b3 c3 3abc 0 当且仅当a b c时 等号成立 又3abc 当且仅当3abc 时 等号成立 所以a3 b3 c3 方法技巧 证明不等式的方法 1 首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件 看是否满足 一正 二定 三相等 的条件 若满足即可利用平均不等式证明 2 若题目不满足该条件 则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数的基本不等式的式子 变式训练 1 已知x y均为正数 且x y 求证 2x 2y 3 证明 因为x 0 y 0 x y 0 所以2x 2y 2 x y x y x y 等号成立的条件是 x y 即x y 1 所以2x 2y 3 2 2016 哈尔滨高二检测 已知实数a b c d满足a b c d 求证 证明 因为a b c d 所以a b 0 b c 0 c d 0 a d 0 所以 a b b c c d 当且仅当a b b c c d时取等号 即 补偿训练 设a b c R 求证 证明 因为当且仅当c 时取等号 所以原不等式成立 拓展类型平均不等式在解应用题中的应用 典例 如图所示 在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯 大家知道 灯挂得太高了 桌子边缘处的亮度就小 挂得太低 桌子的边缘处仍然是不亮的 由物理学知道 桌子边缘一点处的照亮度E和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角 的正弦成正比 而和这一点到光源的距离r的平方成反比 即E k 这里k是一个和灯光强度有关的常数 那么究竟应该怎样选择灯的高度h 才能使桌子边缘处最亮 解析 因为r 所以E 所以E2 sin2 cos4 2sin2 cos2 cos2 当且仅当2sin2 cos2 时取等号 即tan2 tan 所以h 2tan 即h 米时 E最大 此时桌子边缘处最亮 故当灯的高度为米时 才能使桌子边缘处最亮 方法技巧 用不等式解决应用问题的方法解应用问题的关键是读懂题意 建立适当的函数关系式 把所求问题转化为求函数的最值问题 并将函数式配凑成可以利用平均不等式的形式 变式训练 1 设三角形三边长为3 4 5 P是三角形内的一点 则P到这个三角形三边距离乘积的最大值是 解析 设P到长度为3 4 5的三角形三边的距离分别是x y z 三角形的面积为S 则S 3x 4y 5z 又因为32 42 52 所以这个三角形为直角三角形 其面积S 3 4 6 所以3x 4y 5z 2 6 12 所以 3x 4y 5z 12 所以 xyz max 当且仅当3x 4y 5z 即x y 1 z 时等号成立 答案 2 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中3 x 6 a为常数 已知销售价格为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 1 求a的值 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获得的利润最大 解析 1 因为x 5时 y 11 所以 10 11 所以a 2 2 由 1 可知 该商品每日的销售量y 10 x 6 2 所以商场每日销售该商品所获得的利润f x x 3 2 10 x 3 x 6 2 3 x 6 f x 2 5 2x 6 x 6 2 2 5 42 当且仅当2x 6 6 x 即x 4时等号成立 当x 4时 f x 取最大值 且最大值等于42 答 当销售价格为4元 千克时 商场每日销售该商品所获得的利润最大 自我纠错三个正数的算术 几何平均不等式在求最值中的应用 典例 已知0 x