中学数学命题教学的认识与实践.doc

中学数学命题教学的认识与实践李岩 徐晓阳 刘坤 北京四中论文提要:推理能力是最重要的数学能力之一，直接影响到学生的学业水平，我们采取以下教学尝试：1、认真落实三种数学语言（文字语言、符号语言、图形语言）的互译；2、讲清寻找解题思路的一般方法：综合法、分析法、综合分析法；3、引导学生将各知识点系统化，明确各命题间推出关系为整体数学暗线。把命题教学与三种论证通法结合起来，使这两个重点内容相辅相成，也就是用比较形象的浅显易懂的方式表达逻辑关系，这样就使他们摆脱了“没有思路”的困扰；4、发展：关注从平面几何到立体几何的发展以及公理化构成的规律，为后面的系统学习奠定基础。我们从低年级开始渗透命题教学，加长教育的时间段，这就极大地加强了“学会推理”这条主线的教学，使学生解决问题的能力达到更高的层次，是实现数学教育总目标的有力举措。关键词: 命题 推理能力 系统化 新课标在新课程中学数学教学法的理论与实践一书中指出：“在学习数学时，要重视、把握它的数学特征，特别是把握住它高度的抽象性，逻辑的严密性，广泛的应用性和知识的系统性”。因此，要想学好中学数学就必须：（1）学会抽象；（2）学会推理；（3）学会计算。这三条应该是中学数学的三条主线。本文拟就“学会推理”谈谈我们的看法与做法，与广大的同行们切磋。（一）推理能力直接影响学生的学业水平【案例一】甲同学去年上初二，她很喜欢代数，不喜欢几何，问她为什么？她说：“代数好玩，计算、化简、列方程、解方程，折腾几下，自然就解出来了。”“那你为什么不喜欢几何？”“几何，不知是为什么？拿到题没思路，考试时心里特别害怕。”我们看了她的试卷，代数全对，几何几乎题题都有毛病，有的甚至一点也没做，她不是不用功，就是不入门。我们分析了她的情况，没有思路的原因是：第一，她对几何命题（定义、定理）不够理解；第二，她对命题间的推出关系及其应用不够理解。我们请她的家长按照我们设计的办法(i)（下面再讲）帮助她对学过的几何内容进行了系统的整理；(ii)结合例子，讲解了怎么去寻找思路。后来没有思路的问题便得到一定程度的解决。【案例二】学生乙在解下面的题时，选择了选项（A）：已知关于x的方程有两个负根，则m的取值范围是（ ）A B C D教师问他：“这个题是求方程有两个负根的什么条件？”学生迟疑了一下，回答：“应该是充要条件”。教师：“你这个理解是正确的。请你写出这个充要条件”。学生写出：点评：这里是命题间的推出关系出现了失误，他忘记了有两个负根的前提是方程必须有实根，因此，在写充要条件时忘掉了判别式。以上两个故事是否可以说明：命题间的推出关系是形成思路的重要基础，正确地运用推出关系是解题中避免失误的一个重要方面。因此，加强“学会推理”这条主线对于提高整个中学数学教与学的质量具有重要的意义。（二）新课标在推理能力上的特点新课标把逻辑初步（包括命题及其真假，四种命题间的关系，充要条件）从高中一年级后移到选修（一），还出现了一些很重要的概念没有严格定义，如几何体与两平面平行这两个概念未曾定义，也没有恰当的说明，就出现在棱柱的定义中（见人教A版必修）等等。这些内容的设计较为粗放，给不同学校、教师留下了很大的发挥空间，在新课标中明确指出“学习内容的呈现应采用不同的表达方式以满足多样化的学习需求”，体现出了新课标从学生的认知发展规律出发的理念。新课标对推理能力的要求是：“能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想，并进一步寻求证据、给出证明或举出反例；能清晰、有条理地表达自己的思考过程，做到言之有理、落笔有据；在于他人交流的过程中，能运用数学合乎逻辑地进行讨论与质疑。”但设计中过多考虑了学生认识螺旋上升的特点，过渡环节过长，形成完整知识较难。从中我们可以看出，新课标给教师提出了更高的要求，我们需要充分的挖掘教材，“教师的作用是激发学生的学习积极性，提供现实而有吸引力的学习背景，激活学生的已有知识和经验储备，向学生提供充分从事数学活动的机会和空间，帮助学生通过观察、操作、实验、猜测、推理与交流等活动去做数学，完成数学的再创造，以促进学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动经验。”（三）我们的做法第一步，认真落实三种数学语言的互译12ABCDl图1数学语言分为文字语言、符号语言和图形语言，在学习概念和定理时，让学生认真落实这三种语言的互译。如，我们可以用三种语言表述平行线的性质和判定。文字语言表述为：“两直线平行，同位角相等”及“同位角相等，两直线平行”。图形语言表述为：如图1。符号语言表述为：“ AB/CD1=2”再如，我们可以把平方根的概念表示为：“”第二步，讲清寻找思路的一般方法在教学中，我们大胆引用“”格式说理的尝试。所谓解题思路，实质上就是从已知条件到解题目标的一连串的命题间的推出关系，即目标命题（任务）已知条件ABCD123EF图2由此可以看出，熟练地掌握命题间的推出关系是形成思路的重要基础。因此，寻找思路的方法就是从已知或已有的结论出发，根据定义、定理推导出解题目标，这种寻求思路的方法在学术中称之为“综合法”，我们给学生概括为“见已知，想性质”。有了上面的推出关系作基础，通过实例讲解这里的方法，很容易理解。但凡事总有特例，有时已知条件可推出的结论太多，总之它们与目标命题之间联系较为隐蔽，后续可发展的岔路更多，学生在解题时用“综合法”受阻，我们结合前面命题推出关系的教学教学生“抓任务，找条件”，其实就是所谓“分析法”和“综合分析法”。例1、已知，如图2，1=2，求证：AB/CD 师：怎么能证明AB/CD呢？ 生：只要能推出1=3即可。 师：那能推出来吗？ 生：可以，因为2与3是对顶角，所以2=3，而又已知1=2，所以1=3。正是按照以上两步做法，我们对前述案例一中的初二学生进行了指导。首先帮助她把学过的几何知识用命题间的推出关系整理成了一个个知识串（这是推理的基础）。然后帮助她学会寻找思路的“综合法”、“分析法”与“综合分析法”，这样就使她初步摆脱了“没有思路”的困扰，实现了从讨厌几何到喜欢几何的转变。第三步，引导学生将各知识点系统化，明确各命题间推出关系为整体教学暗线命题间的关系分为上下关系和平行关系两类。第一类，上下关系ABC图3例如，方程的两个实数根为、，又如，如图3，上面两个例子都是属于上下关系的。实际上，命题间的推出关系就是应用上下关系进行推理的，但要注意推出方向，比如第一个的推出方向是不可逆的，而第二个中的推出方向是可逆的，我们可以改写为。第二类，平行关系ABCA1B1C1图4例如我们可以把全等三角形的判定定理整理如下：如图4，（SSS）； （SAS）； （ASA）； （AAS）上面四个条件都能推出那么上述条件的关系就是平行关系，在应用时就会有如何选择的问题。实际上，很多知识点都是可以通过上下关系、平行关系的命题连成“串”的。如，学过角平分线的定义之后有：射线OP是AOB的角平分线性质定理（1）AOP=BOP=AOB（2）OP上任一点到角两边的距离相等引申出的方法 OABPCOABPCOABPC多种添加辅助线的方法（如下图）DDDD过P作PC/OB，则POC为等腰三角形过P作PCOA于C，PDOB于D，则PC=PD在OA、OB分别取点C、点D，使得OC=OD，则POCPOD 这就是说，两条性质定理与定义是上下关系的，而多种添加辅助线的方法，都是性质定理的自然引申。这里从定义到性质，再到多种添加辅助线的方法，形成了一条知识的逻辑链，形象直观，而且好记好用。两组对边分别平行的四边形平行四边形对角线互相平分的四边形再如，这就是说，数学中定义的条件和称谓是逻辑等价的，平行四边形与对角线互相平分的四边形也是逻辑等价的。以上的例子，初中学生理解起来没有什么困难，可是经过这样整理出的知识链由于揭示出了知识间的推出关系，达到的效果却是极大地提高了他们对命题间逻辑关系的理解水平。在初二年级的课堂教学中，我们用以上的方法来引导学生寻找解决问题的思路，也取得了很好的效果。比如，能证明两条线段相等的条件有：证明两条线段所在的两个三角形全等；利用等角对等边；等量代换；利用角平分线的性质证明角平分线上的点到角两边的距离相等.我们来看下面的例题： 例2、如图6，1=2，P为BN上一点， 若PCB+PAB=180，求证：PA=PCABCP12图6 师：怎么来证两条线段相等呢？ 生：找一对全等三角形。 师：图中有没有全等三角形啊？ 生：没有。 师：那我们就得构造一对全等三角形。利用1ABCP12DE图7=2怎么构造呢？ 生：定义，以及性质，可以过点P作PEAB于E，PDBC于D，如图7，可以得到PE=PD，那么只需证PAEPCD。 师：很好，条件够吗？ 生：我们知道PE=PD，PEA=PDC=90，已知PCB+PAB =180，而PAE+PAB =180，因此可以知道PCB=PAE，正好符合AAS。 在学生分析的同时，我在黑板上按照学生思考的顺序写成如下的推导思路：之后，按照这里的思路写出了证明过程。有的同学又提出了另一种方法：如图8，在BC上取一ABCP12D图8点D，使得BD=AB，从而构造出，得到PA=PD，进而证明出PD=PC，从而得到PC=PD。所谓“授之以鱼，不如授之以渔”，按照上面寻找思路的方法指导学生，解决了大部分学生对几何“无从下手”的问题，使学生对几何的兴趣越来越浓了。平面内两相交直线都与平面平行判定性质内一切直线都与平行；平面与、都相交，则两交线平行；若直线，则；夹在、间的平行线段都相等.高中的知识点也可以用上面的方法进行总结，如：定义在D上的函数f（x）其图象关于原点对称任取，都有f（x）是D上的奇函数定义域D关于原点对称若原点再如，第四步，发展1、从平面几何到立体几何的发展如，在平面几何中有：“平行于同一直线的两条直线平行”，“垂直于同一直线的两条直线平行”。但在立体几何中，前者依然成立，后者不成立。因此，教师应引导学生考虑平面几何中常见的结论在立体几何中还是否成立，若不成立，需添加什么条件可使之成立。2、定理、结论在构成方面的发展如，在几何中，我们的研究顺序是从定义，到性质，再到判定。关注研究线线、线面、面面的数量关系、位置关系，其中位置关系包括平行、垂直、相交。若相交时，我们关心它们所成的角。 再如，在学习等差数列时，我们是按照定义、通项公式、性质、前n项和公式的顺序研究的，在等比数列中，我们也沿用这个研究顺序。在等差数列中有“对于，若，则”。在等比数列中我们也会考虑如果，那么之间又会有什么关系呢？就这样，我们就可以通过类比，得到等比数列的性质。结束语在“运用再创造方法变科学的数学为教育数学”思想的启发下，我们应从低年级开始渗透命题教学，加长教育的时间段，这就极大地加强了“学会推理”这条主线的教学，使学生解决问题的能力达到更高的