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函数 平面直角坐标系与函数 1 平面直角坐标系在平面内具有公共 而且 的两条数轴 就构成了平面直角坐标系 简称坐标系 建立了直角坐标系的平面叫坐标平面 x轴与y轴把坐标平面分成四个部分 称为四个象限 按逆时针顺序依次叫第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 原点 互相垂直 2 各象限内和坐标轴上的点的坐标规律第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 x轴正方向 0 x轴负方向 0 y轴正方向 0 y轴负方向 0 x轴上的点的纵坐标为0 y轴上的点的横坐标为0 原点坐标为 0 0 3 对称点坐标的规律 1 坐标平面内 点p x y 关于x轴 横轴 的对称点p1的坐标为 2 坐标平面内 点p x y 关于y轴 纵轴 的对称点p2的坐标为 3 坐标平面内 点p x y 关于原点的对称点p3的坐标为 可用口诀记忆 关于谁轴对称谁不变 关于原点对称都要变 x y x y x y 4 平移前后 点的坐标的变化规律 1 点 x y 左移a个单位长度 x a y 2 点 x y 右移a个单位长度 x a y 3 点 x y 上移a个单位长度 x y a 4 点 x y 下移a个单位长度 x y a 可用口诀记忆 正向右负向左 正向上负向下 5 常量 变量在某一过程中 保持数值不变的量叫做 可以取不同数值的量叫做 常量 变量 6 函数一般地 设在一个变化过程中有两个变量x与y 如果对于x的每一个确定的值 y都有 的值与它对应 那么就说x是 y是x的 7 函数自变量取值范围由解析式给出的函数 自变量取值范围应使解析式有意义 对于实际意义的函数 自变量取值范围还应使实际问题有意义 8 函数表示方法函数的三种表示法 唯一确定 自变量 函数 解析法 列表法 图象法 9 函数的图象一般地 对于一个函数 如果把自变量x与函数y的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标 在坐标平面内描出这些点 用光滑曲线连接这些点所组成的图形 就是这个函数的图象 10 画函数的图象 1 描点法画函数图象的步骤 列表 连线 2 画函数图象时应注意该函数的自变量的取值范围 描点 1 正确理解 唯一 函数概念中 对于x的每一个值 y都有唯一确定的值与它对应 这句话 说明了两个变量之间的对应关系 对于x在取值范围内每取一个值 都有且只有一个y值与之对应 否则y就不是x的函数 对于 唯一性 可以从以下两方面理解 从函数关系方面理解 从图象方面理解 2 如何分析函数的图象判断符合实际问题的函数图象时 需遵循以下几点 找起点 结合题干中所给自变量的取值范围 对应到图象中找相对应的点 找转折点 图象在转折点处发生变化 找终点 图象在终点处结束 判断图象趋势 结合起点 转折点 终点判断出函数图象的运动变化趋势 看是否与坐标轴相交 即此时另外一个量为0 3 如何判断与函数图象有关结论的正误分清图象的横纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围 同时也要注意 分段函数要分段讨论 转折点 判断函数图象的倾斜方向或增减性发生变化的关键点 平行线 函数值随自变量的增大而保持不变 再结合题干推导出运动过程 从而判断结论的正误 1 1 x 2 d d 4 2014 鞍山 一辆客车从甲地开往乙地 一辆出租车从乙地开往甲地 两车同时出发 两车距甲地的距离y千米与行驶时间x小时之间的函数图象如图所示 则下列说法中错误的是 a 客车比出租车晚4小时到达目的地b 客车速度为60千米 时 出租车速度为100千米 时c 两车出发后3 75小时相遇d 两车相遇时客车距乙地还有225千米 b 5 2015 铁岭 一辆慢车与一辆快车分别从甲 乙两地同时出发 匀速相向而行 两车在途中相遇后分别按原速同时驶往甲地 两车之间的距离s km 与慢车行驶时间t h 之间的函数图象如图所示 下列说法 甲 乙两地之间的距离为560km 快车速度是慢车速度的1 5倍 快车到达甲地时 慢车距离甲地60km 相遇时 快车距甲地320km 其中正确的个数是 a 1个b 2个c 3个d 4个 6 2015 盘锦 如图 边长为1的正方形abcd 点m从点a出发以每秒1个单位长度的速度向点b运动 点n从点a出发以每秒3个单位长度的速度沿a d c b的路径向点b运动 当一个点到达点b时 另一个点也随之停止运动 设 amn的面积为s 运动时间为t秒 则能大致反映s与t的函数关系的图象是 d 7 2015 本溪 如图 在 abc中 c 90 点p是斜边ab的中点 点m从点c向点a匀速运动 点n从点b向点c匀速运动 已知两点同时出发 同时到达终点 连接pm pn mn 在整个运动过程中 pmn的面积s与运动时间t的函数关系图象大致是 a 8 2015 葫芦岛 如图 正方形abcd的边长为4 点p q分别是cd ad的中点 动点e从点a向点b运动 到点b时停止运动 同时 动点f从点p出发 沿p d q运动 点e f的运动速度相同 设点e的运动路程为x aef的面积为y 能大致刻画y与x的函数关系的图象是 a 平面直角坐标系及点的特征 例1 2014 菏泽 若点m x y 满足 x y 2 x2 y2 2 则点m所在象限是 b a 第一象限或第三象限b 第二象限或第四象限c 第一象限或第二象限d 不能确定 点评 本题考查了点的坐标 求出x y异号是解题的关键 四个象限的符号特点分别是 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 a 对应训练 1 1 鞍山模拟 若点a a 1 b 2 在第二象限 则点b a b 1 在 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 2 丹东模拟 将点a 2 3 向右平移3个单位长度得到点b 则点b所处的象限是 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 d 点评 代数式有意义的条件问题 1 若解析式是整式 则自变量取全体实数 2 若解析式是分式 则自变量取使分母不为0的全体实数 3 若解析式是偶次根式 则自变量只取使被开方数为非负数的全体实数 4 若解析式含有零指数或负整数指数幂 则自变量应是使底数不等于0的全体实数 5 若解析式是由多个条件限制 必须首先求出式子中各部分自变量的取值范围 然后再取其公共部分 此类问题要特别注意 只能就已知的解析式进行求解 而不能进行化简变形 特别是不能轻易地乘或除以含自变量的因式 c 2 营口模拟 在函数y x 1中 自变量x的取值范围是 全体实数 分析判断函数的图象 例3 2015 十堰 如图 一只蚂蚁从o点出发 沿着扇形oab的边缘匀速爬行一周 当蚂蚁运动的时间为t时 蚂蚁与o点的距离为s 则s关于t的函数图象大致是 b 点评 本题主要考查动点问题的函数图象 根据随着时间的变化 到弧ab这一段 蚂蚁到o点的距离s不变 得到图象的特点是解决本题的关键 对应训练 3 丹东模拟 如图 在矩形中截取两个相同的正方形作为立方体的上下底面 剩余的矩形作为立方体的侧面 刚好能组成立方体 设矩形的长和宽分别为y和x 则y与x的函数图象大致是 b 观察图象 求解实际问题 例4 抚顺模拟 已知甲 乙两地相距90km a b两人沿同一公路从甲地出发到乙地 a骑摩托车 b骑电动车 图中de oc分别表示a b离开甲地的路程s km 与时间t h 的函数关系的图象 根据图象解答下列问题 1 a比b后出发几小时 b的速度是多少 2 在b出发后几小时 两人相遇 对应训练 4 2015 重庆 某星期天下午 小强和同学小明相约在某公共汽车站一起乘车回学校 小强从家出发先步行到车站 等小明到了后两人一起乘公共汽车回到学校 图中折线表示小强离开家的路程y 公里 和所用的时间x 分 之间的函数关系 下列说法错误的是 a 小强从家到公共汽车站步行了2公里b 小强在公共汽车站等小明用了10分钟c 公共汽车的平均速度是30公里 小时d 小强乘公共汽车用了20分钟 d 3 函数建模及函数应用题试题周末 小明骑自行车从家里出发到野外郊游 从家出发0 5小时后到达甲地 游玩一段时间后按原速前往乙地 小明离家1小时20分钟后 妈妈驾车沿相同路线前往乙地 如图是他们离家的路程y km 与小明离家时间x h 的函数图象 已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍 1 求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间 2 小明从家出发多少小时后被妈妈追上 此时离家多远 3 若妈妈比小明早10分钟到达乙地 求从家到乙地的路程 审题视角 1 认真阅读题干内容 理清数量关系 2 分析图形提供的信息 从图形可看出函数