中考数学总复习 第二部分 热点专题突破 专题五 几何探究问题课件.ppt

专题五几何探究问题 几何探究问题主要涉及利用三角形的性质进行相关的探索与证明 三角形和四边形的综合探索与证明以及几何动态问题等 这是中考对几何推理与证明能力考查的必然体现 重在提高学生对图形及性质的认识 训练学生的推理能力 解题时应注意演绎推理与合情推理的结合 全国各地的中考数学试题都把几何探究问题作为中考的压轴题之一 安徽省中考也是如此 如2016年的第23题 2015年的第23题 第2014年的第23题 2013年的第23题等 预计2017年安徽中考中 这类问题仍是考查的重点之一 需重点复习 几何探究问题是中考必考题型 考查知识全面 综合性强 它把几何知识与代数知识有机结合起来 渗透数形结合思想 重在考查分析问题的能力 逻辑思维推理能力 如折叠类型 探究型 开放型 运动型 情境型等 背景鲜活 具有实用性和创造性 在考查考生计算能力的同时 考查考生的阅读理解能力 动手操作能力 抽象思维能力 建模能力 力求引导考生将数学知识运用到实际生活中去 需要通过观察 分析 比较 概括 推理 判断等来确定所需求的结论 条件或方法 因而解题的策略是将其转化为封闭性问题 常用的解题策略 1 找特征或模型 如中点 特殊角 折叠 相似结构 三线合一 三角形面积等 2 找思路 借助问与问之间的联系 寻找条件和思路 3 照搬 照搬前一问的方法和思路解决问题 如照搬字母 照搬辅助线 照搬全等 照搬相似等 4 找结构 寻找不变的结构 利用不变结构的特征解决问题 常见的不变结构及方法 有直角 作垂线 找全等或相似 有中点 作倍长 通过全等转移边和角 有平行 找相似 转比例 题型2 题型1 题型3 题型1与全等三角形有关的探究典例1 2016 山东泰安 1 已知 abc是等腰三角形 其底边是bc 点d在线段ab上 e是直线bc上一点 且 dec dce 若 a 60 如图 求证 eb ad 2 若将 1 中的 点d在线段ab上 改为 点d在线段ab的延长线上 其他条件不变 如图 1 的结论是否成立 并说明理由 3 若将 1 中的 若 a 60 改为 若 a 90 其他条件不变 则的值是多少 直接写出结论 不要求写解答过程 题型2 题型1 题型3 解析 1 作df bc交ac于f 由已知得 abc和 adf均为等边三角形 则ad df 利用aas证明 dbe cfd 得eb df 从而eb ad 2 作df bc交ac的延长线于点f 同 1 证出 dbe cfd 得出eb df 即可得出结论 3 作df bc交ac于点f 同 1 得 dbe cfd 得出eb df 证出 adf是等腰直角三角形 得出df ad 即可得出结果 题型2 题型1 题型3 答案 1 作df bc交ac于点f 如图1所示 adf abc afd acb fdc dce abc是等腰三角形 a 60 abc是等边三角形 abc acb 60 dbe 120 adf afd 60 a adf是等边三角形 dfc 120 ad df dec dce fdc dec ed cd dbe cfd aas eb df eb ad 题型2 题型1 题型3 2 eb ad成立 理由如下 作df bc交ac的延长线于点f 如图2所示 由 1 得ad df fdc ecd fdc dec ed cd 又 dbe dfc 60 dbe cfd aas eb df eb ad 题型2 题型1 题型3 理由如下 作df bc交ac于点f 如图3所示 同 1 得 dbe cfd aas eb df abc是等腰直角三角形 df bc adf是等腰直角三角形 题型2 题型1 题型3 题型2与相似三角形有关的探究典例2 2016 内蒙古包头 如图 已知一个直角三角形纸片acb 其中 acb 90 ac 4 bc 3 e f分别是ac ab边上的点 连接ef 1 如图1 若将纸片acb的一角沿ef折叠 折叠后点a落在ab边上的点d处 且使s四边形ecbf 3s edf 求ae的长 2 如图2 若将纸片acb的一角沿ef折叠 折叠后点a落在bc边上的点m处 且使mf ca 试判断四边形aemf的形状 并证明你的结论 求ef的长 题型2 题型1 题型3 题型2 题型1 题型3 题型2 题型1 题型3 答案 1 如图1 acb的一角沿ef折叠 折叠后点a落在ab边上的点d处 ef ab aef def s aef s def s四边形ecbf 3s edf s abc 4s aef 在rt abc中 acb 90 ac 4 bc 3 题型2 题型1 题型3 2 四边形aemf为菱形 理由如下 如图2 acb的一角沿ef折叠 折叠后点a落在ab边上的点m处 ae em af mf afe mfe mf ac aef mfe aef afe ae af ae em mf af 四边形aemf为菱形 连接am交ef于点o 如图2 设ae x 则em x ce 4 x 四边形aemf为菱形 em ab cme cba 题型2 题型1 题型3 3 如图3 作fh bc于点h ec fh nce nhf 设fh 4x nh 7x 则ch 7x 1 bh 3 7x 1 4 7x fh ac bfh bac 题型2 题型1 题型3 题型2 题型1 题型3 题型3与全等和相似三角形有关的探究典例3 2016 湖北黄石 在 abc中 ab ac bac 2 dae 2 1 如图1 若点d关于直线ae的对称点为f 求证 adf abc 2 如图2 在 1 的条件下 若 45 求证 de2 bd2 ce2 3 如图3 若 45 点e在bc的延长线上 则等式de2 bd2 ce2还能成立吗 请说明理由 题型2 题型1 题型3 解析 本题考查轴对称的性质 相似三角形的判定与性质 同角的余角相等 全等三角形的判定与性质及勾股定理 1 根据轴对称的性质可得 dae fae ad af 再得出 bac daf 然后根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似得以证明 2 根据轴对称的性质可得ef de ad af 再求出 bad caf 然后利用边角边证明 abd和 acf全等 根据全等三角形性质可得cf bd acf abd 然后求出 ecf 90 最后利用勾股定理证明即可 3 作点d关于ae的对称点f 连接af ef cf 根据轴对称的性质可得ef de af ad 再根据同角的余角相等求出 bad caf 再结合 2 即可 题型2 题型1 题型3 答案 1 d f关于直线ae对称 de ef dae fae daf 2 bac 又 ab ac ad af adf abc 2 daf 2 bac daf dac bac dac 即 bad caf 又ab ac ad af bad caf bd cf 且 acf abd 45 即 ecf 90 在 ecf中 结合已证明的 得de2 bd2 ce2 题型2 题型1 题型3 3 解法1 将 cae顺时针旋转90 得 baf 连接df 如图2所示 bf ce af ae ace 135 abf abc 45 fbd 90 即df2 bf2 bd2 由旋转的性质 baf cae baf fac cae fac 2 daf fae dae 2 af ae 又 ad为公共边 daf dae 即df de 将 代入 式 得de2 bd2 ce2 题型2 题型1 题型3 解法2 作点d关于直线ae的对称点f 连接af ef cf 如图3所示 ad af de ef dae fae daf 2 bac 即 daf dac bac dac bad caf 又 ab ac ad af bad caf bd cf 且 acf abd 45 dcf dca acf 90 cf ce ef2 fc2 ce2 将 代入得de2 bd2 ce2 2 1 3 4 5 6 7 8 1 1 问题发现如图1 abc和 ade均为等边三角形 点d在bc的延长线上 连接ce 请填空 ace的度数为 线段ac cd ce之间的数量关系为 2 拓展探究如图2 abc和 ade均为等腰直角三角形 bac dae 90 点d在边bc的延长线上 连接ce 请判断 ace的度数及线段ac cd ce之间的数量关系 并说明理由 3 问题解决如图3 在rt abc中 ac 3 bc 5 acb 90 若点p满足pa pb apb 90 请直接写出线段pc的长度 2 1 3 4 5 6 7 8 解 1 abc为等边三角形 ab ac bc bac 60 ade为等边三角形 ad ae dae 60 bac dac dae dac 即 bad cae abd ace sas ace b 60 abd ace bd ce bc bd cd ce cd ac ce cd 2 1 3 4 5 6 7 8 2 abc和 ade均为等腰直角三角形 ab ac bad cae ad ae ace abd sas ace b 45 bd ce 即bc cd ce bc ce cd 2 1 3 4 5 6 7 8 2 1 3 4 5 6 7 8 2 1 3 4 5 6 7 8 如图 2 点c p在ab的异侧时 过点a作ad pc于点d acb apb 90 a b p c四点共圆 acd abc 45 apd abc 2 1 3 4 5 6 7 8 2 如图1 在平行四边形abcd中 ae bc于点e e恰为bc的中点 tanb 2 1 求证 ad ae 2 如图2 点p在线段be上 作ef dp于点f 连接af 求证 df ef af 2 1 3 4 5 6 7 8 解 1 如图1 ae bc aeb 90 tanb 2 2 ae 2be e为bc的中点 bc 2be ae bc 四边形abcd是平行四边形 ad bc ad ae 2 如图 作am af 交dp于点m 则 maf 90 四边形abcd是平行四边形 ad bc ae bc ae ad dae maf 90 dam fae 90 mae ae bc ef dp aep efp 90 2 1 3 4 5 6 7 8 aef pef 90 pef fpe 90 aef fpe ad bc adm fpe adm aef 在 adm和 aef中 am af dm ef df ef mf 2 1 3 4 5 6 7 8 3 2016 武汉 在 abc中 p为ab上一点 1 如图1 若 acp b 求证 ac2 ap ab 2 若m为cp的中点 ac 2 如图2 若 pbm acp ab 3 求bp的长 如图3 若 abc 45 a bmp 60 直接写出bp的长 2 1 3 4 5 6 7 8 2 如图 取ap中点g 连接mg 设ag x 则pg x bg 3 x 2 1 3 4 5 6 7 8 2 1 3 4 5 6 7 8 4 2016 北京 在等边 abc中 1 如图1 p q是bc边上的两点 ap aq bap 20 求 aqb的度数 2 点p q是bc边上的两个动点 不与点b c重合 点p在点q的左侧 且ap aq 点q关于直线ac的对称点为m 连接am pm 依题意将图2补全 小茹通过观察 实验提出猜想 在点p q运动的过程中 始终有pa pm 小茹把这个猜想与同学们进行交流 通过讨论 形成了证明该猜想的几种想法 想法1 要证明pa pm 只需证 apm是等边三角形 想法2 在ba上取一点n 使得bn bp 要证明pa pm 只需证 anp pcm 想法3 将线段bp绕点b顺时针旋转60 得到线段bk 要证pa pm 只需证pa ck pm ck 请你参考上面的想法 帮助小茹证明pa pm 一种方法即可 2 1 3 4 5 6 7 8 解 1 ap aq apq aqp apb aqc abc是等边三角形 b c 60 bap caq 20 aqb apq bap b 80 2 1 3 4 5 6 7 8 2 如图所示 如图 ap aq apq aqp apb aqc abc是等边三角形 b c 60 bap caq 点q关于直线ac的对称点为m aq am qac mac mac bap bap pac mac cap 60 pam 60 ap aq ap am apm是等边三角形 pa pm 2 1 3 4 5 6 7 8 5 2016 贵阳 1 阅读理解 如图 在 abc中 若ab 10 ac 6 求bc边上的中线ad的取值范围 解决此问题可以用如下方法 延长ad到点e使de ad 再连接be 或将 acd绕着点d逆时针旋转180 得到 ebd 把ab ac 2ad集中在 abe中 利用三角形三边的关系即可判断中线ad的取值范围是 2 问题解决 如图 在 abc中 d是bc边上的中点 de df于点d de交ab于点e df交ac于点f 连接ef 求证 be cf ef 3 问题拓展 如图 在四边形abcd中 b d 180 cb cd bcd 140 以c为顶点作一个70 角 角的两边分别交ab ad于e f两点 连接ef 探索线段be df ef之间的数量关系 并加以证明 2 1 3 4 5 6 7 8 解 1 延长ad至e 使de ad 连接be 如图 所示 ad是bc边上的中线 bd cd bde cda sas be ac 6 在 abe中 由三角形的三边关系得 ab be ae ab be 10 6 ae 10 6 即4 ae 16 2 ad 8 2 1 3 4 5 6 7 8 2 延长fd至点m 使dm df 连接bm em 如图所示 由 1 得 bmd cfd sas bm cf de df dm df em ef 在 bme中 由三角形的三边关系得 be bm em be cf ef 2 1 3 4 5 6 7 8 3 be df ef 理由如下 延长ab至点n 使bn df 连接cn 如图所示 abc d 180 nbc abc 180 nbc d nbc fdc sas cn cf ncb fcd bcd 140 ecf 70 bce fcd 70 ecn 70 ecf 2 1 3 4 5 6 7 8 nce fce sas en ef be bn en be df ef 2 1 3 4 5 6 7 8 6 2016 福建莆田 若正方形有两个相邻顶点在三角形的同一条边上 其余两个顶点分别在三角形的另两条边上 则正方形称为三角形该边上的内接正方形 abc中 设bc a ac b ab c 各边上的高分别记为ha hb hc 各边上的内接正方形的边长分别记为xa xb xc 1 模拟探究 如图 正方形efgh为 abc的bc边上的内接正方形 3 拓展延伸 若 abc为锐角三角形 b c 请判断xb与xc的大小 并说明理由 2 1 3 4 5 6 7 8 解 1 正方形efgh中 eh fg aeh abc ad bc 2 1 3 4 5 6 7 8 2 1 3 4 5 6 7 8 7 如图 abc中 ad bc de ac于e af be于h 交de于f 1 求证 adf bce 2 若ab ac 求证 df ef 3 在 2 的条件下 若 eaf 30 直接写出cos ebc的值 2 1 3 4 5 6 7 8 解 1 如图 ad bc adc 90 即 1 edc 90 de ac dec 90 edc c 90 1 c ah be sah ash 90 又 2 bsd 90 bsd ash sah 2 adf bce 2 1 3 4