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第三章：数系的扩充与复数的引入一、选择题:1. 设为复数，则“”是“”的 （ ）(A)充分非必要条件 (B)必要非充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分又不必要条件2. 已知，则的值为 （ ）(A)-1 (B)4 (C)0 (D)23. 已知，则的关系是（ ）(A) (B) (C) (D) 4. 复平面内两点对应的复数分别为，则向量对应的复数是（ ） 5. 复平面内两点对应的复数分别为，则向量对应的复数是（ ） 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 计算的结果为（ ） A. B. C. 1D. 8. 若，则z对应的点的轨迹是（ ） A. 圆B. 两点C. 线段D. 直线9. 在复平面内，复数(1i)2对应的点位于 ( )(A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D)第四象限10. 设复数z满足 （ ） （A）0（B）1（C）（D）2二、填空题:11. 设、为实数，且，则+=_.12. 已知复数复数满足则复数=_.13. 若 , ，且为纯虚数，则实数a的值为 14. 已知虚数()的模为,则的最大值是 ，的最小值为 .三、解答题:15. 16. 17. 18. 若复数z满足，求证：19. 若复数z满足，求的最大、最小值。20. 设是关于的方程的两个根，求的值. 第三章：数系的扩充与复数的引入测试题答案ABDDD6C 7. D 8. A 9.B 10.C 11.4 12. 13. 14 15. 证明：充分性： , ,。 必要性： ，。 16. 解： ，17. 方法一：，（这是关于x，y的二元函数，消元略显繁琐，因此代数解法不简明，换角度看问题。） 方法二：， 方法三：（可利用复数运算几何意义化归为几何问题） ， 而|z|则表示该圆上的点到原点O的距离， 由平面几何知识可知，使圆上的点到原点距离取最大（最小）值的点在直线OC与圆的交点处。 注：对比以上三种方法，几何法，即方法三更为直观便捷，应是解此类最值问题的首选方法。18. 证明：设 ， ， 19. 解法一：数形结合法 设，则， 化简，得，。 表示点到原点O（0，0）的距离，而点（x，y）在圆C上。 由平面几何知识，可知|z|的最大值为，最小值为。 解法二：利用复数的模的性质 ，即，去绝对值，得 解这个关于的不等式，得，当时，上式取等号 由，把代入得，解得或 当时，取最大值； 当时，取最小值。20. ， （1）当，即时，方程有两个实根：， (a)当时，=2； (b)当时，=； （2）当，即时，方程有两
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