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第五节 函数的微分在理论研究和实际应用中，常常会遇到这样的问题：当自变量有微小变化时，求函数的微小改变量.这个问题初看起来似乎只要做减法运算就可以了，然而，对于较复杂的函数，差值却是一个更复杂的表达式，不易求出其值. 一个想法是：我们设法将表示成的线性函数，即线性化，从而把复杂问题化为简单问题. 微分就是实现这种线性化的一种数学模型.分布图示 引言 问题的提出 微分的定义 可微的条件 例1-2 基本微分公式 微分运算法则 例3 例4 微分的几何意义 复合函数的微分法 例5 例6 例7 例8 例9 例10 微分近似计算公式 例11 例12 常用近似计算公式 例13 误差计算 例14 内容小结 课堂练习 习题 2- 5 返回内容要点 一、微分的定义定义1 设函数在某区间内有定义, 及在这区间内, 如果函数的增量可表示为 (5.1)其中A是与无关的常数, 则称函数在点可微, 并且称为函数在点处相应于自变量改变量的微分, 记作, 即 (5.2) 二、函数可微的条件 (5.8) (5.9)即，函数的导数等于函数的微分与自变量的微分的商. 因此，导数又称为“微商”. 三、微分的几何意义 四、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 五、微分形式不变性无论是自变量还是复合函数的中间变量, 函数的微分形式总是可以按微分定义的形式来写，即有这一性质称为微分形式的不变性. 利用这一特性，可以简化微分的有关运算. 六、利用微分进行近似计算： 近似值的计算 误差计算. (5.10)例题选讲微分的定义例1 (E01) 求函数当由1改变到1.01的微分.解 因为由题设条件知 所以 例2 (E02) 求函数在处的微分. 解 函数在处的微分为 基本初等函数的微分公式与微分运算法则的应用例3 (E03) 求函数的微分.解 因为所以 或利用微分形式不变性例4 (E04) 求函数的微分. 解 因为所以 微分形式的不变性例5 (E05) 设 求.解 设则注: 与复合函数求导类似, 求复合函数的微分也可不写出中间变量, 这样更加直接和方便.例6 设 求解 例7 (E06) 设求解 例8 (E07) 已知 求.解 例9 (E08) 在下列等式的括号中填入适当的函数, 使等式成立. (1) ; (2) 解 (1) 一般地，有(2) 例10(E09) 求由方程所确定的隐函数的微分解 对方程两边求微分, 得 于是 利用微分进行近似计算例11(E10) 半径10厘米的金属圆片加热后, 半径伸长了0.05厘米, 问面积增大了多少?解 设(厘米), (厘米).（厘米）.例12 计算的近似值.解 设为弧度),取所以 例13(E11) 计算下列各数的近似值:(1) (2) 解 (1) (2) 例14(E12) 正方形边长为米，求出它的面积，并估计绝对误差与相对误差.解 设正方形的边长为,面积为,则当时, 边长的绝对误差为 面积的绝对误差为 面积的相对误差为 课堂练习1. 求函数的微分.2. 因为一元函数在的可微性与可导性是
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