高中数学 第二章 函数 2.3 函数的单调性课件 北师大版必修1.ppt

3函数的单调性 一 函数在区间上增加 减少 的定义 做一做1导学号91000058已知四个函数的图像如图所示 其中在定义域内具有单调性的函数是 解析 已知函数的图像判断其在定义域内的单调性 应从它的图像是上升的还是下降的来考虑 根据函数单调性的定义可知函数b在定义域内为增函数 答案 b 二 单调区间 单调性与单调函数如果函数y f x 在区间a上是增加的或是减少的 那么称a为单调区间 如果函数y f x 在定义域的某个子集上是增加的或是减少的 那么就称函数y f x 在这个子集上具有单调性 如果函数y f x 在整个定义域内是增加的或是减少的 我们分别称这个函数为增函数或减函数 统称为单调函数 做一做2已知函数y f x 的图像如图所示 则函数的单调减区间为 三 函数的最大值与最小值1 最大值一般地 设函数y f x 的定义域为d 如果存在实数m满足 1 对于任意x d 都有f x m 2 存在x0 d 使得f x0 m 那么我们称m是函数y f x 的最大值 记作ymax f x0 2 最小值一般地 设函数y f x 的定义域为d 如果存在实数m满足 1 对于任意x d 都有f x m 2 存在x0 d 使得f x0 m 那么我们称m是函数y f x 的最小值 记作ymin f x0 做一做3函数y x 1在区间 3 6 上的最大值和最小值分别是 a 6 3b 5 2c 9 3d 7 4解析 函数y x 1在区间 3 6 上是增函数 则当3 x 6时 f 3 f x f 6 即2 y 5 所以最大值和最小值分别是5 2 答案 b 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一函数单调性的判断与证明 例1 导学号91000059 1 下列函数在区间 0 上为增函数的是 分析 1 根据单调性定义 并结合函数图像作答 2 严格按照函数单调性的定义来证明 探究一 探究二 探究三 思想方法 解 1 d 2 由题意知x 1 0 即x 1 所以f x 的定义域为 1 1 任取x1 x2 1 且x10 x1 1 0 所以f x2 f x1 0 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练1 1 下列函数中 在区间 0 上为增函数 且在区间 0 上为减函数的函数为 2 证明函数f x x2 4x 1在区间 2 上是增加的 1 答案 a 2 证明 设x1 x2是区间 2 上的任意两个实数 且x10 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 所以f x 在区间 2 上是增加的 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究二用图像法求函数的单调区间 例2 已知x r 函数f x x x 2 试画出y f x 的图像 并结合图像写出函数的单调区间 分析 首先分类讨论 去掉绝对值号 将函数化为分段函数 然后画出图像求解即可 解 f x x x 2 图像如下图所示 由图像可知 函数的单调增区间为 1 2 单调减区间为 1 2 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 变式训练2画出函数y x2 2 x 3的图像 根据图像指出其单调区间 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究三函数单调性的简单应用 例3 导学号91000060 1 已知函数f x x2 2 a 1 x 2在区间 4 上是减少的 求实数a的取值范围 2 求函数f x 在区间 3 4 上的最值 3 已知函数g x 在r上为增函数 且g t g 1 2t 求t的取值范围 分析 1 先将函数解析式配方 找出对称轴 画出图形 寻找对称轴与区间的位置关系求解 2 先利用单调性的定义判断f x 的单调性 再求最值 3 充分利用函数的单调性 实现函数值与自变量不等关系的互化 探究一 探究二 探究三 思想方法 解 1 f x x2 2 a 1 x 2 x a 1 2 a 1 2 2 该二次函数图像的对称轴为x 1 a f x 的单调减区间为 1 a f x 在 4 上是减函数 对称轴x 1 a必须在直线x 4的右侧或与其重合 1 a 4 解得a 3 2 在区间 3 4 上任取两个值x1 x2 且x1 x2 探究一 探究二 探究三 思想方法 x1 x2 3 4 x2 1 x1 1 0 又 x1 x2 0 f x2 f x1 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 探究一 探究二 探究三 思想方法 3 y x 1在 3 1 上是增加的 此时ymax 0 ymin 2 y x 1在 1 4 上是减少的 此时ymin 5 无最大值 故函数最大值为0 最小值为 5 答案 1 c 2 d 3 50 探究一 探究二 探究三 思想方法 分类讨论思想在函数的单调性中的应用典例讨论函数f x 1 x 1 a 0 的单调性 分析 要讨论函数的单调性 只需要用定义判定 由于函数中含有参数 因此要注意分类讨论思想的应用 探究一 探究二 探究三 思想方法 123456 1 函数f x 的递增区间是 a 0 b 0 c 0 0 d 0 和 0 解析 由f x 的图像可知 其递增区间为 0 和 0 答案 d 123456 2 若f x 2a 1 x b是r上的减函数 则有 123456 3 若函数y x a 在区间 4 上是减少的 则实数a的取值范围是 解析 函数y x a 的图像如图所示 所以只要a 4 就能保证函数y x a 在区间 4 上是