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一类约束线性系统的分段仿射最优二次控制器的研究陈孚 赵光宙浙江大学 摘要: 对于有输入和状态约束的离散时间线性时不变系统，提出了一种可以确定详细的状态反馈控制律的算法，并使其最小化二次型性能指标。这种算法利用多参数二次规划，基于状态空间的多面体分割并可以证明这种控制律在被分割的多面体区域里是连续且分段仿射的，用李雅普诺夫稳定性定理证明了这种方法的可行性。因此，在线的模型预测控制计算可以简化为简单的离线线性函数的计算。数值例子的仿真结果验证了算法的有效性。关键词：分段仿射线性控制器 模型预测控制 多参数二次规划 多面体分割Study of Piecewise Optimal Quadratic Controllersfor a Class of Constrained Linear SystemChen Fu Zhao GuangzhouAbstract: For discrete time linear time invariant systems with constrains on inputs and states, we develop an algorithm to determine explicitly the state feedback control law which minimizes a quadratic performance criterion. Based on the polyhedral partition of the state-space, the algorithm makes use of multi-parametric quadratic programming and can be proved that the control law is continuous and piecewise on polyhedral regions. The feasibility of the algorithm is also proved by Lyapunov arguments. As a result, on-line model predictive control computation reduces to a simple off-online linear function evaluation. A numerical example verifies the validity of the algorithm presented here.Keywords: piecewise linear controllers model predictive control multi-parametric quadratic programming linear quadratic regulators polyhedral partition1 引言约束的线性系统可能是实际中最重要的，也是被研究最多的一类系统。通常，人们认为只有通过非线性的控制律才能使系统稳定并获得良好的性能。对约束的线性系统设计非线性控制律最常用的方法是模型预测控制。预测控制MPC（Model Predictive Control）已经成为研究过程工业中复杂的约束多变量问题的广泛接受的方法。但MPC的一个大的缺点就是相对的难以克服的在线计算量问题，这也将它的应用限制在对实时性要求不高和相对小的系统中1。文章为解决上面的问题，提出了在保留MPC算法特点的基础上，对它进行离线计算的新方法，这个方法基于一个多参数的二次规划mp-QP（multi-parametric quadratic program），并进一步可以证明这个最优的方案是系统状态的分段仿射函数（piecewise affine function）。设计满足输入和状态约束的线性离散系统的稳定控制律在文献2,3中也被讨论过。作者将状态的集合分割成单纯形的圆锥体，通过线性规划（Linear Program）计算出每一个圆锥顶点的可行的输入序列，从而获得了一个定义在此分割区域内的分段仿射的线性的控制律。文章所提出的分段仿射控制律不仅确保系统的可行性和稳定性，而且它也是关于线性二次调节器（Linear Quadratic Regulator）的最优的解决方案。2 模型预测控制考虑对下列离散时间线性时不变系统的状态调节到零点的问题。且满足下列约束： x(t)XRn,u(t)URm (2)其中：Rn，Rm，Rp分别是状态、输入和输出矢量。(A,B)是可控对。对当前的状态，MPC解决下列形式的优化问题：且满足 （3）并假定：，。分别是系统的预测时域和控制时域。Rn是终态多面体域。MPC控制律基于下述思想：在时刻，计算式（3）的最优解，施加最优控制序列的第一个元素即作为系统（1）的控制输入。在时刻，在得到新的状态后，重复计算式（3）的最优解，这也被称为降时域控制RHC（Receding Horizon Control）。用表示在当前状态是时的降时域控制律。那么由这个控制律作用于系统式（1）而得到的闭环系统可表示为0 （4）一般来说，RHC并不能确保系统的稳定性。通常，合适地选择终态权矩阵和终态限制集来确保闭环稳定4。我们给出下面的定理。定理1：首先假定：）集合包含原点并且是闭合的。）是受控不变集，且iii）+那么闭环系统（4）的状态将渐进稳定到圆点。也即：。证明：可以证明问题（3）的最优值函数在一定条件下是闭环系统（4）的一个Lyapunov函数。下面用Lyapunov定理证明。令，是在时问题式（3）的最优解，是对应的最优状态轨迹。在时，。考虑输入序列以及对应的由初始状态引起的状态轨迹。当且仅当时，输入在时刻是问题（3）的可行解。由假设（）可知，这样的存在。那么是的一个上界。由于由和产生的状态轨迹有重叠，除了第一个和最后一个的采样间隔，我们可以立即写出：+ （5）使，有假设（），上式可写为：且有： （6）由于对所有的t0，从任意一个开始，闭环系统（4）的状态轨迹都在内，那么上式以及对矩阵的假定就确保对任意的，沿着闭环系统（4）的状态轨迹递减。定理得证。3 MPC的计算将代入（3）式中，则式（3）可重写如下： （7）subj.to 列矢量URs，（）是最优矢量。从（3）式和可以很容易地得到【5】。一旦多参数问题（7）被离线地解决，也即它的最优解可以找到，那么模型预测控制器也就可以详细地设计出来。而且可以进一步地证明这个多参数二次规划的最优解是关于的连续且分段仿射函数。由于施加给系统的最优输入仅仅由最优序列的前m个部分组成： （8） 因此容易看到由于上式，控制器也具有这些特性。3.1 多参数二次规划定义一个辅助变量：zR，通过简单变化可将（7）式等价化为如下形式：ztSxGW （9） SE+GH-1这样变化为一个标准的多参数二次规划（multi-parametric quadratic program）问题【6】。为了开始解决mp-QP问题，我们需要一个包括在多面体集中的一个初始状态矢量，并且使多参数问题（9）在时有可行解。通常的选择是包含在中的最大球体的中心，并使得存在一个可行的Z解。这可由解决下述线性规划（Linear Program）问题得到： （10）若，QP问题（8）对所有X内的都不存在可行解。否则，我们固定来解决二次规划问题，从而得到对应的最优解。定理2：使，考虑有效约束的组合并假定的行是线性不相关的。是所有使这样的组合在最优解处起作用的矢量的集合（也称为临界区域）。那么，最优解Z以及相联系的拉格朗日乘子就是在上唯一被定义的的仿射函数。证明：多参数二次规划的一阶Karush-Kuhn-Tucker(KKT)优化条件由下述式子给出：R （11） （12） （13） （14）由（9）式我们可以得到： （15）将上式代入（11）式得到补充的松弛条件： （16）用分别表示对应于无效和有效约束条件的拉格朗日乘子。对无效约束，。对有效约束，由此也可得到： （17）这里是对应于有效约束的集合。由于的行是线性独立的，则存在，因此是的仿射函数。将式（15）代入（13）式可得： （18）由（18）可看到也是的仿射函数。3.2 的构建及剩余空间的分割式（13）中的变量Z必须满足式（9）的约束条件，也即： （19）并且由式（13），式（17）中的拉格朗日乘子必须为非负，也即： （20）在去掉式（19）和式（20）多余的不等式条件后，我们得到的紧凑的表达式。一旦临界区域确定下来，剩下的区域就会被重新检测，新的临界区域将会出现。分割一个空间剩余部分的有效方法在7中已被提出，下面直接给出此方法。R定理3：是一个多面体集合。CR0 是Y的一个多面体子集，且不为空集。使 i=1,m这里，那么有： 1）；2）。也即有是Y的一个分割。定理3提供了一个将一个非凸集合分割成多面体子集的方法。对每一个，通过解决线性规划问题而确定一个新的矢量，而且一个最优的、活动约束的集合以及临界区域也可以相应地求出来。再用定理3将分割成多面体子集，算法依次重复进行下去。我们就会得到状态空间的一个完备的多面体分割。4 控制器的解析形式及其特性函数和对应的最小解的连续性可由定理2的线性结果简单推断出来。在文献8中作者也证明了MPC问题（3），（7）的最优值函数是凸的。我们给出下面的定理。定理4：，且：，那么满足不等式GUW+Ex的V是的凸函数。证明：可以证明满足不等式的函数Vz是的凸函数。令分别是的最优解。其中由于，因此，是凸函数的和，那么它也是一个凸函数。推论1：由最优化问题（3）和（7）式定义的函数是连续且分段二次的。证明：由式（3）知：再由定理4可容易获证。最后，我们可以得到基于式（3）和式（8）的控制器的一些特性。 RR推论2：由最优化问题式（3）和式（8）定义的控制律：，是连续且分段仿射的，即有：其中多面体集合是给定的状态集合的一个分割。证明：由辅助变量的定义得：。因此，在每一个区域内，是连续的。由RHC策略的定义知：是线性函数的线性组合，因而在也是线性的。5 仿真分析考虑一个二阶系统设置采样时间为0.1s，获得离散的状态空间表达式为：并满足状态和输入约束：,。这里我们选取设计参数为：。在Matlab下仿真，我们得到一个状态空间的多面体分割，它将可行的状态空间分为个多面体（见图1）。对应于每个多面体的控制律如下所示。123456789图1 状态空间分割及闭环轨迹 初始状态设为，在上述控制律作用下，得到闭环系统MPC轨迹如图2示，在图1中也更清楚地显示了闭环轨迹的运动过程。具体的控制行为如图3所示。图2 闭环MPC的状态轨迹图3 最优控制输入当设置控制时域时，其它参数不变，我们得到一个的多面体分割。如图4所示。可以看出减少控制时域，可以减少算法得分割空间，减少复杂性。不过代价是性能指标优化程度的下降。图4 状态空间的多面体分割6 结论本文针对模型预测控制在实际问题中遇到的在线计算量大，不利于实时控制等缺点，提出利用多参数二次规划离线计算出最优控制律。并且进一步地证明了这种最优控制律不但是二次最优的，而且也是关于状态空间的分段仿射的线性函数，使得问题的计算变得更加容易。通过一实例的仿真研究表明这种离线的模型预测控制能使系统稳定在平衡点并满足受控约束。参考文献1 Chmielewski, D Manousiouthakis. 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