1.4Lebsgue测度(讲义).doc

1.4 Lebsgue测度1.4.1 环上的测度定义1.4.1 设是直线上左开右闭有限区间的全体所成的集类，是直线上左开右闭有限区间所成的环（即：）.在上定义测度：对，令，就表示区间的长度。中的元可以写成中有限个两两不相交的元的并，称这种把中的元分解成中有限个两两不相交的元的并的过程为初等分解。（显然，这种分解是不惟一的。）对于，设是的一个初等分解，且，令.引理1.4.1 的值只与有关，而与的初等分解的具体形式无关。引理1.4.2 上面作出的环上的集函数有下列性质：(1) 集函数有有限可加性；(2) 若，且，则；(3) 集函数有(有限)次可加性：若，且,则.定理1.4.1 上的集函数是上的测度。证明 显然，只要证明在上具有可列可加性。设，且. 由引理1.4.2(2)知：对任何自然数，都有，且. 令，即得下面证明：设的一个初等分解是，每个也有初等分解（分解成有限个两两不交的左开右闭的小区间之和），因为是可列的，所以所有分解所得的小区间也是可列个，设为，由引理2(1)知：.对，（不妨要求）作闭区间. 又作区间，则这列开区间覆盖了，因此也覆盖了每个闭区间. 由Borel有限覆盖定理知：可以选出有限个开区间覆盖住这些闭区间。设这些开区间为，则有.但是彼此不交的，所以由引理1.4.2 (3)知：.因为是任意正数，所以 ，即 综上所述，得 证毕！1.4.2 外测度定义1.4.2 是直线上左开右闭有限区间所成的环，记, (1.4.1)即：是直线上一切子集全体所成的集类，即. 对，记 (1.4.2)则称为由测度所引出的外测度。外测度的性质： (1) ；(2) （非负性）对，有；(3) （单调性）若，且，则； (4) 对，有；(5) （次可列可加性）对，有. 注 一般来说，在上不具有可列可加性，甚至有限可加性也不满足，因而不是上的测度. 1.4.3 Lebsgue测度定义1.4.3 设（即），若对（即），都有 (1.4.3)则称是m*-可测集，或Lebsgue可测集，简称L-可测集. 可测集的全体记为, (1.4.3)称为集的Caratheodory条件，或卡氏条件.注 (1.4.3)式表明中的任何集能够分割测量中的外测度，即：若中的两个集，一个是的子集（例如），另一个是的子集（例如）时，则它们的和集（例如）的外测度就等于这两个集的外测度之和。这就是中集的分割测量属性，即设，其中，则.命题1.4.1（Caratheodory条件的推广） 若，且中至少有个属于，则 . (1.4.4) 定理1.4.2 (1) 若，则. （自习！）(2) .(3) 是一个环(其实是代数)。(4) 是上的完全测度，并称为上的Lebsgue测度，记为.(5) 是有限的。1.4.4 Borel集定义1.4.4 中的每个集称为直线上上的Borel集。Borel集的全体通常记为.定理1.4.3 (1) 是直线上上代数，.(2) 单点集、有限集、可列集都是Borel集，且它们的Lebsgue测度是零。(3) 区间(可取)、开集是Borel集，且，其中是的构成区间全体。(4) 闭集是Borel集，当(有限开区间)时，；当是无界闭集时，.(5) (是上的开集，)是Borel集，并称是型集； (是上的闭集，)是Borel集，并称是型集。 (6) 设是定义在上的两个有限测度，若对，则对，有.例1.4.1 证明上的Cantor集的Lebsgue测度是零。证 记，其中，.则上的Cantor集是.显然所有的是两两不交的开区间，由Lebsgue测度的可列可加性得：.于是.证毕！注1 我们知道：Cantor集是是完全集. 且 (自习！). 这个例子说明：确实存在测度为零的不可列集。注2 (1) 确实有不是Borel集的Lebsgue可测集。如果仅仅要求证明这个事实，还是比较容易的。用势的知识可以证明直线上Borel集全体的势是(自习！)，而Lebsgue可测集全体的势是. Lebsgue不可测集全体的势也是. (2) 是上完全的测度，但在B上则可能不再是完全的。In fact, 因为Cantor集是非空完全集，它的势是，所以它的一切子集的全体的势是. 因为Cantor集的Lebsgue测度是零，所以它的一切子集都是Lebsgue可测集，因此. 另一方面，直线上一切子集的全体的势也是，而，因此.综上所述，有 . 所以Lebsgue可测集比Borel集要多得多。引理1.4.3 是上的开集.定理1.4.4 集的充要条件是下列条件之一成立：(1) 对，存在上的开集，使得，有.(2) 对，存在上的闭集，使得，有.(3) 对，存在上的开集和闭集，使得，有.注 定理1.4.4 (3)常被用来判断上的子集是否Lebsgue可测。 定理1.4.5 若集，则必存在型集和型集，使得，有.证 因为，由定理8，对自然数，存在开集，使；同时存在闭集，使.这时，是型集, 是型集.显然，由的单调性得：.令，就得.证毕！定理1.4.6 若集，则必存在，使得. 若集，则必存在，使得.证 因为，由定理1.4.5知，必存在型集和型集，使得，有.记，则， .于是， .证毕！小 结我们从集的某些子集所成的一个环，以及环上的测度出发，根据环作集类，它是一个环。然后在上作出由测度引出的外测度，是的“延拓”，即：对于，有. 外测度具有测度的一部分性质，