高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质课件 苏教版必修2.ppt

1 平面的概念及相关知识 交流1一个平面能把空间分成几部分 答案 因为平面是无限延展的 一个平面把空间分成两部分 2 一些常见的空间点 线 面位置关系的文字语言 数学符号的描述 交流2如图所示的直线l与平面 是l不在 内吗 答案 是的 我们可以把如题图所示的情形记作l 因为并不是l上所有的点都在 内 题图可记作l a 3 平面的基本性质 交流3公理3中的 有且只有一个 的含义是什么 答案 有 是说图形存在 只有一个 是说图形惟一 有且只有 强调的是存在性和惟一性两个方面 确定一个平面 中的 确定 是 有且只有 的同义词 也是指存在性和惟一性这两个方面 典例导学 一 二 三 即时检测 一 三种语言间的转换根据下列符号表示的语句 说明点 线 面之间的位置关系 并画出相应的图形 1 a b 2 l m a a l 3 p l p q l q 思路分析 解答本题要正确理解立体几何中表示点 线 面之间位置关系的符号 的意义 在此基础上 由已知给出的符号表示的语句 写出相应的点 线 面的位置关系 画出图形 典例导学 一 二 三 即时检测 解 1 点a在平面 内 点b不在平面 内 2 直线l在平面 内 直线m与平面 相交于点a 且点a不在直线l上 3 直线l经过平面 外一点p和平面 内一点q 图形分别如图 1 2 3 所示 典例导学 一 二 三 即时检测 1 下列说法 公理1可用集合符号叙述为 若a l b l 且a b 则必有l 四边形的两条对角线必相交于一点 用平行四边形表示的平面 以平行四边形的四条边作为平面边界线 梯形是平面图形 其中正确的个数是 a 1b 2c 3d 4 典例导学 一 二 三 即时检测 解析 中应为l 若四边形为空间四边形 则对角线不相交 平面没有边界 故不正确 正确 梯形两腰延长必相交 由公理3的推论2知 梯形是平面图形 答案 a 典例导学 一 二 三 即时检测 2 用文字语言和符号语言表示下图 解 文字语言 平面 内两条直线m和n相交于点a 符号语言 m n 且m n a 三种语言的转换方法 1 用文字语言 符号语言表示一个图形时 首先仔细观察图形有几个平面 几条直线且相互之间的位置关系如何 试着用文字语言表示 再用符号语言表示 2 要注意符号语言的意义 如点与直线的位置关系只能用 或 直线与平面的位置关系只能用 或 3 由符号语言或文字语言画相应的图形时 要注意实线和虚线的区别 典例导学 即时检测 一 二 三 二 线共面问题已知a b c d是两两相交且不共点的四条直线 求证 a b c d共面 思路分析 四条直线两两相交且不过同一点 又可分成两种情况 一是有三条直线共点 二是任何三条直线都不共点 因而本题需分类后进行各自的证明 需要注意的是 要根据条件画出满足条件的所有图形的情况进行证明 典例导学 即时检测 一 二 三 证明 1 无三线共点情况 如图 设a d m b d n c d p a b q a c r b c s a d m a d可确定一个平面 n d q a n q nq 即b 同理 c a b c d共面 典例导学 即时检测 一 二 三 2 有三线共点的情况 如图 设b c d三线相交于点k 与a分别交于点n p m 且k a k a k和a确定一个平面 设为 n a a n nk 即b 同理 c d a b c d共面 由 1 2 知a b c d共面 典例导学 即时检测 一 二 三 1 已知 abc的两个顶点a b 平面 下面四个点 其中因其在 内而可判断c在 内的是 abc的内心 abc的外心 abc的垂心 abc的重心 a b c d 典例导学 即时检测 一 二 三 解析 abc内心o1在 内 由内心定义 co1与ab交点d 与a b不重合 ab d co1 c abc的外心o2可以在直线ab上 故由ab o2 不能确定c在 内 abc的垂心o3 可以是线段ab的一个端点 如rt abc中 a为直角 垂心o3为a点 故也不能得出c abc的重心o4 设ab中点为e 则由o4e 可推得c 答案 a 典例导学 即时检测 一 二 三 2 求证 两两平行的三条直线如果都与另一条直线相交 那么这四条直线共面 解 已知a b c l a a l b b l c c 求证 直线a b c和l共面 证明 a b a b确定一个平面 a b 而a b l l b a 又a c 则a c确定一个平面 a c a c l l 又a l a既在平面 内 又在平面 内 而相交直线l a只能确定一个平面 由推论2得 与 重合 l a b c共面 典例导学 即时检测 一 二 三 对于这类确定诸线共面的问题 优先确定平面 然后证明其他点或线在该平面内 若给出的四条直线两两相交且不通过同一个点 但没有说明其中的三条直线是否交于一点时 应给予讨论 典例导学 即时检测 一 二 三 三 点共线 面 与线共点问题如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 e为ab的中点 f为aa1的中点 导学号51800020 求证 1 e f d1 c四点共面 2 ce d1f da三线共点 思路分析 1 直接用推论3证明 2 要证三线共点 可先证两直线交于一点 再证另一条直线也通过该点即可 典例导学 即时检测 一 二 三 证明 1 分别连结ef a1b d1c e f分别是ab aa1的中点 ef a1b 又a1d1 b1c1 bc 四边形a1d1cb为平行四边形 a1b cd1 ef cd1 ef与cd1确定一个平面 e f d1 c四点共面 典例导学 即时检测 一 二 三 2 ef cd1 直线d1f和ce必相交 设d1f ce p d1f 平面aa1d1d p d1f p 平面aa1d1d 又ce 平面abcd p ec p 平面abcd 点p是平面abcd与平面aa1d1d的公共点 又平面abcd 平面aa1d1d ad p ad ce d1f da三线共点 典例导学 即时检测 一 二 三 1 给出下列四种说法 空间四点共面 则其中必有三点共线 空间四点不共面 则其中任何三点不共线 空间四点中有三点共线 则此四点必共面 空间四点中任何三点不共线 则此四点不共面 其中正确说法的序号是 解析 平行四边形的四个顶点共面 但无三点共线 所以 不正确 正确 空间四点不共面则任何三点不共线 若有三点共线 则由公理3的推论1知 必有四点共面 与已知矛盾 显然正确 答案 典例导学 即时检测 一 二 三 2 已知平面 平面 l 点m n p p l 又直线mn l r 过m n p三点所确定的平面记为 则 导学号51800021 解析 如图所示 mn l r 且m n都在平面 内 r在平面 内 r l l r r是平面 与平面 的公共点 p是平面 与平面 的公共点 pr 答案 pr 典例导学 即时检测 一 二 三 1 证明诸点共线问题常转化为平面相交的问题 运用公理2 先由两平面确定直线 即交线 再判断点在该直线上 2 证明线共点问题时 一般方法是先由两条相交直线确定交点 再证其他线也经过此点 证点在线上应先考虑点在面上 典例导学 1 2 3 4 5 即时检测 1 给出下列四种说法 如果一条直线上有一个点在平面内 则此直线在这个平面内 如果一条直线上有两个点在一个平面内 则此直线在这个平面内 如果一条直线上有无数个点在一个平面内 则此直线在这个平面内 若一条直线在一个平面内 则该直线仅有两个点在这个平面内 其中正确的是 a b c d 解析 根据公理1的内容直接判断 答案 c 典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 2 2016安徽蚌埠一中高二期中 经过空间任意三点作平面 a 只有一个b 可作两个c 可作无数多个d 只有一个或有无数多个解析 当三点在一条直线上时 过这三点的平面能作无数个 当三点不在同一条直线上时 过这三点的平面有且只有一个 故选d 答案 d 典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 3 aa1是长方体的一条棱 在这个长方体中与aa1共面的棱共有条 解析 与aa1相交的棱有4条 ab ad a1b1 a1d1均与aa1共面 与aa1平行的棱有3条 bb1 cc1 dd1都与aa1共面 与aa1共面的棱共有7条 答案 7 典例导学 即时检测 1 2 3 4 5 4 ab ad cb cd e ab f bc