信号检测与估计作业第一二三八章答案.doc

时间：6月16日（星期一）晚上6：308：30地点：六教104室（上课教室）试卷共8题，其中4题属于教材第一章内容，其余4题分别的其他章节。请同学们对匹配滤波器，离散卡尔曼滤波，离散维纳滤波，高斯白噪声下确知信号的检测，KL展开，高斯白噪声信道中的单参量信号估计等内容重点关注。1.1 （付柏成 20060150）在例1.2中，设噪声均方差电压值为2v，代价为2，1。信号存在的先验概率P0.2。试确定贝叶斯意义下最佳门限，并计算出相应的平均风险。解：根据式（1-15），可以算出而判决门限根据式（1-21）可知平均风险 而而所以 同理 所以 12 (关瑞东 20060155)假定加性噪声服从均值为零，方差为的正态分布。此时，两个假设为 我们根据的两次独立测量值作判断，则是统计独立的，在假设下其均值为=1，在假设下均值为=0，因而在两种假设下它们的联合概率密度函数可写为 于是，似然比等于 如果，则选择假设，否则选择假设。由于指数函数是单调函数，上式两边取对数不影响原来的判决，易得到 式中，为样本平均值，为判决门限。划分判决区域和的界面是两维空间的一个平面，其曲线方程可写为 由于统计量是个高斯随机变量的线性组合，因而也是高斯分布的，其均值在假设 和下分别是和，方差为，即 因而虚警概率和漏报概率分别为平均风险可表示为条件代价和对先验概率再平均 其中 1.3 （徐世宇 20060175）（1） 所以等效于成立时的判决区域为否则判为（2）似然比接收框图为真却判为的概率为14 （姚瑶 20060176）由似然比准则若，则所有值都判为若，则1.5 （吴芳20060190）（1）由条件可知: ，。 所以似然比： 得： 所以： (2) 由条件: , 1.6 （骆振兴20060183）解：(1)根据题意，这里采用最大似然准则进行判决，根据2分布的定义P（X/Hk）=Xn/2-1e-x/2/2n/2（n/2），X0,其中(n/2)为Xn/2-1e-X在0 上的积分值,则有P(X/H0)=e-X/2/2P(X/H1)=Xe-X/2/4P(X/H2)=X2e-X/2/16P(X/H3)=X3e-X/2/96当时P(X/H0)/P(X/H1)=2/X1P(X/H0)/P(X/H2)=8/X21P(X/H0)/P(X/H3)=48/X31所以当0=X0是未知参量，是x的n个样本，假定损失函数为=，并且具有先验分布密度 0 试求的Bayes估计。 解：由题意可知，总体x 服从参量为的泊松分布 且具有先验分布密度，0 则，0 又损失函数为= 则条件代价表示式为 则的Bayes估计量应满足如下方程 将式带入式，得 即的Bayes估计量为任意值1.22 （胡建红20060191 ）(1)证明：已知该过程均值为的高斯过程，概率密度函数其似然函数为对数似然函数则为 式中C为常数。则令 可得的最大似然估计是(2)证明：由于为独立样本，因此似然函数 根据 可分解为式中第一个因子是给定均值，估计量的概率密度，第二个因子显然与无关，因此是充分估计量。(3)证明：对于高斯过程，为无偏估计量。对数似然函数则为对其求导就是,故方差估计量是优效估计量。1.23 （傅赛虹 20060192）解: 母体x统计量在0,上服从均匀分布 概率密度分布函数为= EX =, 2 =DX =由中心极限定理可得,N(0,1),即 N(0,1).又由统计量 t(n-1)P=1-.即P= 1-P= 1- 的一个置信水平为1-的置信区间为().取 a ,b 使得P= P=1-又 的置信水平为1-的置信区间为(,).此区间长度为L=(),平均长度为EL=ES, （1）令t(n-1)分布的分布密度为p(x),则有=1- （2） 将 (1) 和(2)关于a 求导 得到 令 =0 则有=1则满足上式的a和b可使置信区间(,)的平均长度最短.2.1 （李勇 20060196）解：设在假设下其均值为，设在假设下其均值为。因而在两种假设下它们的联合概率密度函数可写为 由题意可以解得 则 所以有 即 解得 2.2 （祁友杰20060194）解： 已知两种假设下的观测值为：H1：y= : H0:：y= :等价于观测值为： H1：=x : H0： =x :又因为随机变量x服从高斯分布，均值为零，方差为，所以得：和都是服从高斯分布，均值为零，方差为，则得：P（/H1）=P（/H0）=则可得到似然比为则似然比判别式为：2.3 （相威20060199） (1) Bayes准则的门限似然比为：（2）为了估计在N次观测时的检测质量，我们可以利用 H1: , H0: ,所以有； 其中：，所以可求得：所以； （3）画出接收机工作特性：+(4)2.5 （阮慧萍）解：（1）最佳接收机是CPSK接收机，需要四个相关器。 （2）二相通信系统：其中，因为，所以，则四相通信系统的正确判决概率为（3）四相通信系统的正确判决概率为二元相干情况下的平方。2.6 （张静远）解：（1）根据最小错误概率准则判决公式， 又因为三种假设下是等概的即：，所以选择最大对应判决。（2）因为，由此得出： 令得出两者的交点令得出两者的交点x= 0.5 m 又因为 0.5m 当 和 判为当时， 判为当时， 判为2.7 （付柏成20060150）试求出在下述假设中进行的选择的似然比接收机。这两个假设为其中A,B, ,为已知常数。噪声是功率谱密度为的高斯白噪声。信号对接收机性能有何影响？解：根据课本60页式（2-51）可知：判决门限为 其中和分别表示信号和的能量，即 （i=0,1）式中是确定判决准则下的门限似然比。这样 同理 所以判决门限这样似然接收机的框图如下：这项相当于一项干扰信号，如果其频率和有用信号频率很接近时，它将影响有用信号的接收，使判决门限加大，如果其频率和有用信号频率相差很大，那么它对有用信号的接收没有很大的影响.2.8 （关瑞东 20060155） 解（1）由题意可得： 所以 （T） 所以 因为s(t)是时间无限的，所以匹配滤波器是物理不可实现的，要变为物理可实现的，则s(t)应是时间有限的。 （2）若允许适当降低输出的最大信噪比，即s(t)为时间有限的，可以将匹配滤波器变为物理可实现的。2.9 （徐世宇）（1）冲激响应 传输函数输出信号波形输出峰值信噪比（2）平均噪声功率为当最大时输出峰值信噪比，根据上面，在时达到最大。所以峰值信噪比为当为（3）210（姚瑶20060176）（1）解： 当时 由上式知在0，T区间上单调递增，所以在时取得最大值;当时 由上式知在T，）区间上单调递减，即在时取得最大值综上所述，当时取得最大值，即此时输出信噪比最大。 （2） 所以， 其中，令 则 所以原式 所以信噪比表达式为2.11 （吴芳）（1）、对相关接收机，求作为函数的检测概率： 已知在高斯白噪声的情况下，在为随机变量时：，=由以上条件得检测概率：假设相位为（0，2）均匀分布所以： （1）其中：，相干雷达系统中： （2）两者相比较，发现非相干系统略差于相干系统，主要是由于不知道或未利用相位信息的缘故。（2）其虚警概率为： 检测概率为： 可以看出比值的大小完全取决于2.12 （骆振兴 20060183）对正弦波的非相干匹配滤波器（即匹配滤波器后接一个包络检波器），证明其相位选择是任意的。证明：设匹配滤波器的冲击响应为：h(t)=sinw(T-t)+ (0=t=T)，则 当观测波形x(t)输入到该滤波器时,其输出为：y(t)= =+ t=T时,y(t)的包络值为： 其与h(t)相位无关，可见h(t)相位选择是任意的。2.14 （王钰婷 20060177） 就2.13题的信号和噪声，确定假设下M的条件分布，其中由于，故可采用通常的窄带假设。解：统计检验的假设为： 假定相位均匀分布：由题知是慢变化的，则把看作是常数。由于，则令，则， 2-15 （20060178 周杨杨）Proof: 令 = A 令 = B判决规则 * 说明* 判决规则变为即为所证。2.16 （季莹莹）这是一个随机相位信号的检测(1)似然比接收机的形式就是正交接收机形式:将上面两式相除代入第一式中可得:其中以M为检验统计量的判决准则:由于I是单调增函数，因此等效于：(2)检测概率及虚警概率表达式：可知：(3)不会2.17 （虞成磊20060184），为高斯白噪声,且与不相关且 与不相关所以而假设幅度不变的话,而其中因为它的幅度也是变化的,所以2-18 （高锋）其中，为一常数。8.2 （阮慧萍）解：假定信号在白色高斯信道内传输，则到达接收端的波形将是被噪声污染后的信号，即式中，是参量随机变化或非随机但未知的单参量待估计信号，是功率频谱密度为的白色高斯噪声。设随机参量后验概率密度服从高斯分布，其方差为，均值为零，即其对数似然函数为 对求导，得 由 且 得 令其等于零，即得 (1)令，得 (2)式(1)与式(2)相比就差一个系数，因此所具有的性质对也可适用。8.3 （张静远）解：在题设条件下，最大后验估计蜕化为最大似然估计，似然函数为： 对数似然函数则为： 其中c 为常数。根据： 有： 均值的估计量与样本均值相同，所以估计量是无偏的。8.4 （付柏成20060150）利用代价函数求参量的Bayes估计。（1），设后验密度函数定义在的范围内，一般来说，这个估计量是的函数吗？（2）设趋于零时，估计是怎样的？（3）设是单峰的，并相对于中数对称，那么估计又是怎样的？它是的函数吗？请说明。解：（1）因为代价函数是均匀代价，即，那么条件代价 令即也就是显然这个估计量是的函数。（2）趋于零时，代价函数趋于常数1。使达到最小等价于选择使达到最大。（3）若使单峰的，最大后验准则等价于选择后验分布的众数（极值点）。在单参量估计情况下，如果对称于峰值，则众数与均值相同，此时，最大后验估计与条件均值估计一致。 8.5 （关瑞东 20060155）解：（1）证明：根据观测样本对方差作出估计，利用极大似然法构造估计，由题设条件可得似然函数为 （2）证明： 所以估计量是无偏的，有题意可知服从自