（江苏专用）高考数学总复习 第八章第8课时 圆锥曲线的综合应用随堂检测（含解析）.doc

（江苏专用）2013年高考数学总复习 第八章第8课时 圆锥曲线的综合应用 随堂检测（含解析）1抛物线y24x上的点到直线l：xy20的距离最小，求p点坐标解：设p(x0，y0)则y4x0，p到l的距离d.当y02时，d取最小值，此时x01，故p点坐标为p(1，2)2若点p(x，y)是椭圆1上的动点，求xy的最大值解：由已知221，可设x5cos，y4sin，其中0,2)，xy5cos4sinsin()，其中tan.xy的最大值为.3若直线ykx交椭圆y21于a、b两点，且ab，求k取值范围解：由得x2.不妨设由两点间距离公式得ab210，解得k2.k.4在双曲线1的上支上有三点a(x1，y1)、b(x2,4)、c(x3，y3)它们与点f(0,3)的距离成等差数列(1)求：y1y3的值；(2)证明：线段ac的垂直平分线经过某一定点，并求此点坐标解：(1)c3.f(0,3)为双曲线的上焦点，设上准线为l1，分别过a、b、c作x轴的垂线它们分别与x轴交于a1、b1、c1，与l1交于a2、b2、c2，令e为离心率，则有e|aa2|af|、e|bb2|bf|、e|cc2|cf|.于是有2e|bb2|2|bf|af|cf|e|aa2|e|cc2|，即2|bb2|aa2|cc2|.从而2|bb1|2|b1b2|2|bb2|a1a2|c1c2|aa2|cc2|y1y3，即y1y32y28.(2)ac的中垂线方程为y(y1y3)，即y4x.由于a、c均在双曲线上，所以有1，1，两式相减得(xx)(yy)，从而有(y1y3)810.代入得y4x5，易见此直线过定点d(0,9)a级双基巩固1.椭圆m：1(ab0)的左、右焦点分别为f1、f2，p为椭圆m上任一点，且|的最大值的取值范围是2c2,3c2，其中c.求椭圆离心率的取值范围解：|2a2，则2c2a23c2,2e213e2，e.椭圆m离心率的取值范围是.2已知椭圆长轴、短轴及焦距之和为8，求长半轴长的最小值解：法一：abc4，bc4a.又b2c2a2，b2c2a2，解得a4(1)法二：由a2b2c2，设bacos，casin，则a(cossin1)4，a4(1)此椭圆长半轴长的最小值为4(1)3.如图所示，曲线g的方程为y22x(y0)以原点为圆心，以t(t0)为半径的圆分别与曲线g和y轴的正半轴相交于点a与点b.直线ab与x轴相交于点c.(1)求点a的横坐标a与点c的横坐标c的关系式；(2)设曲线g上点d的横坐标为a2，求证：直线cd的斜率为定值解：(1)由题意知，a(a，)因为|oa|t，所以a22at2.由于t0，故有t，由点b(0，t)，c(c,0)的坐标知，直线bc的方程为1.又因点a在直线bc上，故有1，将代入上式，得1解得ca2.(2)因为d(a2，)，所以直线cd的斜率为kcd1.所以直线cd的斜率为定值4.如图：a、b是定抛物线y22px(p0是定值)的两个定点，o是坐标原点且0.求证直线ab必过定点，并求出这个定点解：显然oa，ob必有斜率且斜率均不为零设oa的斜率为k，则oa：ykx.当k1时，由得a，同理b(2pk2，2pk)kab.ab的方程为：y2pk(x2pk2)，整理得：yk2(2px)ky0.(*)令即则(*)对于一切实数k均成立，故直线ab过定点(2p,0)当k1时，abx轴，其方程为x2p.它也经过点(2p,0)，故直线ab必过定点(2p,0)5在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆c与直线yx相切于坐标原点o.椭圆1与圆c的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.(1)求圆c的方程；(2)试探究圆c上是否存在异于原点的点q，使q到椭圆右焦点f的距离等于线段of的长若存在，请求出点q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设圆心坐标为(m，n)(m0)，则该圆的方程为(xm)2(yn)28已知该圆与直线yx相切，那么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则2，即|mn|4.又圆与直线切于原点，将点(0,0)代入得m2n28.联立方程和组成方程组解得故圆的方程为(x2)2(y2)28.(2)|a|5，a225，则椭圆的方程为1，其焦距c4，右焦点为(4,0)，那么of4.要探求是否存在异于原点的点q，使得该点到右焦点f的距离等于|of|的长度4，我们可以转化为探求以右焦点f为圆心，半径为4的圆(x4)2y216与(1)所求的圆的交点数通过联立两圆的方程解得x，y，即存在异于原点的点q，使得该点到右焦点f的距离等于of的长6已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过m，n两点(1)求椭圆的方程；(2)在椭圆上是否存在点p(x，y)，使p到定点a(a,0)(其中0a0，n0，且mn)，椭圆过m，n两点，椭圆方程为1.(2)设存在点p(x，y)满足题设条件，|ap|2(xa)2y2，又1，y24.|ap|2(xa)2424a2(|x|3)，若3，即03，即a0)，则由4s28.s2，故abc的外接圆的方程为x2(y2)28.(3)假设存在这样的点m(m，n)，设点p(x，xt)，因为恒有pmpq，所以(xm)2(xtn)2x2(xt2)28，即(2m2n4)x(m2n22nt4t4)0对xr恒成立从而消去m，得n2(t2)n(2t4)0(*)，因为方程(*)的判别式为t24t12，所以当2tb0)，一个焦点f(2,0)，c2，即a2b24.点p(3，)在椭圆1(ab0)上，1.由解得a212，b28，所以所求椭圆的标准方程为1.(3)由题意得方程组解得或q(0，2)，(3，3)(3，3)，(33，3)|，当时，|最小2.如图，已知o过定点a(0，p)(p0)，圆心o在抛物线x22py上运动，mn为圆o在x轴上截得的弦，令amd1，and2，man.(1)当o点运动时，mn是否有变化？请证明你的结论；(2)求的最大值及取得最大值时的的值解：设圆心o(x0，y0)，则圆o的方程为(xx0)2(yy0)2x(y0p)2.令y0，得x22x0xxp2，解得xmx0p，xnx0p.所以mnxnxm2p，即mn是定值(2)d(x0p)2p2，d(x0p)2p2，d1d2，所以2.当且仅当x2p2时，等式成立，即x0p(y0p)时，取得最大值此时mon90，所以45.3一束光线从点f1(1,0)出发，经直线l：2xy30上一点p反射后，恰好穿过点f2(1,0)(1)求p点的坐标；(2)求以f1、f2为焦点且过点p的椭圆c的方程；(3)由(2)，设点q是椭圆c上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点a、b，使得直线qa、qb的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件下的定点a、b的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设f1关于l的对称点为f(m，n)，解得m，n，即f，故直线f2f的方程为x7y10.由解得p.(2)因为pf1pf，根据椭圆定义，得2apf1pf2pfpf2ff22，所以a.又c1，所以b1.所以椭圆c的方程为y21.(3)假设存在两定点为a(s,0)，b(t,0)，使得对于椭圆上任意一点q(x，y)(除长轴两端点)都有kqakqbk(k为定值)，即k，将y21代入并整理得x2k(st)xkst10(*)由题意，(*)式对任意x(，)恒成立，所以，解之得或.所以有且只有两定点(，0)，(，0)，使得kqakqb为定值.4已知椭圆c：1(ab0)的离心率为，过右顶点a的直线l与椭圆c相交于a、b两点，且b(1，3)(1)求椭圆c和直线l的方程；(2)记曲线c在直线l下方部分与线段ab所围成的平面区域(含边界)为d.若曲线x22mxy24ym240与d有公共点，试求实数m的最小值解：(1)由离心率e，得，即a23b2.又点b(1，3)在椭圆c：1上，即1.解得a212，b24.故所求椭圆方程为1.由a(2,0)，b(1，3)得直线l的方程为yx2.(2)曲线x22mxy24ym240，即圆(xm)2(y2)28，其圆心坐标为g(m，2)，半径r2，表示圆心在直