自考高等数学考试重点复习资料.doc

高等数学（一）自学考试大纲第一章函数及其图形（一）考核的知识点1.一元函数的定义及其图形2.函数的表示法（包括分段函数）3.函数的几个基本特性4.反函数及其图形5.复合函数6.初等函数7.简单函数关系的建立（二）自学要求函数是数学中最基本的概念之一，它从数学上反映各种实际现象中量与量之间的依赖关系，是微积分的主要研究对象。本章总的要求是：理解一元函数的定义及函数与图形之间的关系；了解函数的几种常用表示方法；理解函数的几种基本特性；理解函数的反函数及它们的图形之间的关系；掌握函数的复合和分解；熟练掌握基本初等函数及其图形的性态；知道什么是初等函数；知道几种常用的经济函数；能根据比较简单的实际问题建立其中蕴含的函数关系。 本章重点：函数概念和基本初等函数难点：函数的复合（三）考核要求1.一元函数的定义及其图形，要求达到领会层次。1.1 清楚一元函数的定义，理解确定函数的两个基本要素定义域和对应法则（映射），知道什么是函数的值域。1.2 清楚函数与其图形之间的关系1.3 对给定的解析式，会求出由它所确定的函数的自然定义域。2.函数的表示法，要求达到识记层次。2.1 知道函数的三种表示法解析法，表格法，图像法，并知道它们各自的特点。2.2 清楚分段函数的概念3.函数的几个基本特性，要求达到简单应用层次。3.1 函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性的含义，并会判定比较简单的函数是否具有这些特性。4.反函数及其图形，要求达到领会层次。4.1 知道函数的反函数的概念，清楚单调函数必有反函数4.2 会求比较简单的定义域、值域和图形与其反函数的定义域、值域和图形之间的关系5.复合函数，要求达到简单应用层次。5.1 清楚函数的复合运算的含义，会求比较简单的复合函数的定义域。5.2 会做多个函数按一定顺序的复合，并会把一个函数分解成简单函数的复合 6.初等函数，要求达到简单应用层次。6.1 知道什么是基本初等函数，熟悉其定义域、基本特性和图形（不含余切、正割、余割及其反函数的图形）。6.2 知道反正弦、反余弦和反正切函数的取值范围6.3 知道初等函数的构成7.简单函数关系的建立，要求达到简单应用层次。7.1 了解经济学中几种常见的函数：成本函数得，收益函数，利润函数，需求函数和供给函数。7.2 会对比较简单的实际问题，建立其中蕴含的函数关系。第二章极限和连续（一）考核的知识点1.数列及其极限2.数项极数的基本概念3.函数极限4.极限的性质5.无穷小量及其性质，无穷大量6.极限的运算法则7.两个重要极限8.无穷小量的比较9.函数的连续性和连续函数的运算10.函数的间断点11.闭区间上连续函数的性质（二）自学要求极限理论是微积分学的基础，微积分中的基本概念都是运用极限方法阐述的，连续函数是应用最为广泛的函数。所以，学好本章将为以后的学习奠定必要的基础。本章总的要求是：理解极限和无穷小量的概念以及它们之间的关系；掌握无穷小量的基本性质和极限的运算法则；清楚无穷大量的概念及其与无穷小量的关系；熟练掌握两个重要极限；理解无穷小量的阶的比较和高阶无穷小量的概念；理解函数的连续性和间断点；知道初等函数的连续性；清楚闭区间上连续函数的基本性质。 本章重点：极限和无穷小量的概念及其性质，极限的运算法则，两个重要极限，函数的连续性。难点：极限的概念（三）考核要求1.数列及其极限，要求达到领会层次1.1 知道数列的定义、通项及其在数轴上的表示1.2 知道单调数列和有界数列，会判别比较简单的数列的单调性和有界性1.3 理解数列收敛的定义及其几何意义（不要求-N描述）2.数项级数的基本概念，要求达领会层次。2.1 知道数项级数的定义，了解其收敛和发散的概念2.2 知道级数收敛的必要条件2.3 会判断等比级数的敛散性，并在收敛时求出其和3.函数极限，要求达到领会层次3.1 理解函数极限的定义（不要求-和-N描述）3.2 理解函数的单侧极限，知道函数极限与单侧极限之间的关系4.极限的关系，要求达到识记层次4.1 清楚极限的惟一性4.2 清楚收敛数列的有界性和有极限的函数的局部有界性5.无穷小量及其性质和无穷大量，要求达到简单应用层次。5.1 理解无穷小量的定义并熟知其性质5.2 理解无穷小量与变量极限之间的关系5.3 清楚无穷大量的定义与变量极限之间的关系5.4 会判别一个比较简单的变量是否是无穷小量或无穷大量6.极限的运算法则，要求达到简单应用层次。6.1 熟知极限的四则运算法则，并能熟练运用7.无穷小量的比较，要求达到简单应用层次7.1 熟知两个重要极限并能熟练运用8.无穷小量的比较，要求达到简单运用层次8.1 清楚一个无穷小量相对于另一个无穷小量是高阶、同阶、等阶的含义。8.2 会判断两个无穷小量的阶的高低或是否等阶。9.函数的连续性和连续函数的运算，要求达到简单应用层次。9.1 清楚函数在一个连续和单侧连续的定义，并知道它们之间的关系9.2 会判别分段函数在分段点处的连续性9.3 知道函数在区间由连续的定义9.4 知道连续函数经四则运算和复合运算仍是连续函数9.5 知道单调的连续函数的连续性9.6 知道初等函数的连续性10.函数的间断点，要求达到简单应用层次。10.1 清楚函数在一点间断的含义和产生间断的几种情况。10.2 会找函数的间断点11.闭区间上连续函数的性质，要求达到识记层次。11.1 知道闭区间上连续函数必有界并有最大值和最小值11.2 知道闭区间上连续函数的介值定理和零点定理 11.3 会用零点定理判断简单的函数方程在给定区间上根的存在性。第三章一元函数的导数和微分（一）考核的知识点1.导数的定义及其几何意义和物理意义2.函数可导与连续的关系3.函数的各种求导法则4.基本初等函数的导数5.高阶导数6.微分的定义和微分的基本公式及运算法则7.经济学中的边际函数和弹性函数（二）自学要求函数的导数和微分是微分学中两个重要的、密切相关的概念。它们的产生是由于广泛而迫切的实际需要（如求曲线的切线、运动的速度等），在科学和工程技术中有极为广泛的应用。本章总的要求是：理解导数和微分的定义，清楚它们之间的关系；知道导数的几何意义和实际意义；知道平面曲线的切线方程的求法；理解函数可导与连续之间的关系；熟练掌握函数求导的各种法则，特别是复合函数的求导法则；熟记基本初等函数的求导公式；会求函数的高阶导数；掌握微分的基本公式和运算法则；理解函数的边际函数和弹性函数及其意义。本章重点：导数的概念及其几何意义和作为变化率的实际意义，各种求导法则和基本初等函数的导数及微分公式。难点：复合函数的求导法则，边际函数和弹性函数。（三）考核要求1.导数的定义及其几何意义和物理意义，要求达?quot;领会层次。1.1 熟知函数在一定的导数和左、右导数的定义及它们之间的关系。1.2 知道函数在一点的导数的几何意义，并会求曲线在一点的切线方程。1.3 知道导数作为变化率在物理中可以表示作直线运动的物体的速度。1.4 知道函数在区间上可导的含义2.函数可导和连续的关系，要求达到领会层次2.1 清楚函数在一点连续是函数在该点可导的必要条件3.函数的各种求导法则，要求达到综合应用层次3.1 熟练掌握可导函数和、差、积、商的求导法则3.2 清楚反函数的求导法则3.3 准确理解复合函数的求导法则（链式法则）并能在计算中熟练运用 3.4 对于由多个函数的积、商、方幂所构成的函数，会用取对数求导的方法计算其导数。4.基本初等函数的导数，要求达到综合应用层次4.1 熟记基本初等函数的求导公式并能熟练运用5.高阶导数，要求达到简单应用层次5.1 清楚高阶导数的定义，会求函数的二阶导数5.2 清楚二阶导数表示作直线运动的物体的加速度6.微分的定义及其基本公式和运算法则，要求达到领会层次。6.1 理解微分作为函数增量的线性主部的含义6.2 清楚函数的微分与导数的关系及函数可微与可导的关系。6.3 熟知基本初等函数的和、差、积、商及复合函数的微分法则7.经济学中的边际函数和弹性函数，要求达到简单应用层次7.1 清楚边际函数的概念及其实际意义7.2 清楚弹性函数的概念7.3 会求经济函数的弹性并说明其实际意义第四章 微分中值定理和导数的应用（一）考核的知识点1.微分中值定理2.洛必达法则3.函数单调性的判定4.函数的极限及其求法5.函数的最值及其应用6.曲线的凹凸性和拐点7.曲线的渐近线（二）自学要求本章主要介绍微分学在研究函数性态和有关实际问题中的应用，这些应用的理论基础是微分中值定理本章总的要求是：能准确陈述微分中值定理；熟练掌握洛必达法则；会用导数的符号判定函数的单调性；理解函数的极值概念并掌握其求法；清楚函数的最值及其求法并能解决简单的应用问题；了解曲线的凹凸性和拐点的概念，会用函数的二阶导数判定曲线的凹凸性和拐点的坐标；会求曲线的水平和铅直渐近线。本章重点：拉格朗日中值定理，洛必达法则，函数单调性的判定，函数的极值、最值及其求法和实际应用。难点：函数最值的应用（三）考核要求1.微分中值定理，要求达到领会层次1.1 能正确陈述罗尔定理，知道其几何意义1.2 能正确陈述拉格朗日中值定理并清楚其几何意义1.3 知道导数恒等于零的函数必为常数，导数处处相等的两个函数只能相差一个常数2.洛必达法则，要求达到综合应用层次2.1 准确理解洛必达法则2.2 能识别各种类型的未定式，并会运用洛必达法则求极限3.函数单调性的判定，要求达到简单应用层次3.1 清楚导数的符号与函数单调性之间的关系3.2 会差别函数在给定区间上的单调性，并会求函数的单调性区间3.3 会用函数的单调性证明简单的不等式4.函数的极限及其求法，要求达到综合应用层次4.1 清楚函数极值的定义，知道这是函数的一种局部性态4.2 知道什么叫函数的驻点，清楚函数的极值点与驻点和不可导点之间的关系4.3 掌握函数在一点取得极值的两种判别点4.4 会求函数的极值5.函数的最值及其应用，要求达到综合应用层次5.1 知道函数最值的定义及其与极值的区别5.2 清楚最值的求法5.3 能解决比较简单的求最值的应用问题6.曲线的凹凸性和拐点，要求达到简单应用层次6.1 清楚曲线在给定区间上凹、凸的定义6.2 会判别曲线在给定区间上的凹凸性和求出曲线的凹凸区间6.3 知道曲线的拐点和定义，会求曲线的拐点或判定一个点是否是拐点 7.曲线的渐近线，要求达到领会层次7.1 知道曲线的水平和铅直渐近线的定义及其意义，会求曲线的这两类渐近线。第五章一元函数积分学（一）考核的知识点1.原函数和不定积分的概念，不定微分的基本性质2.基本积分公式3.不定积分的换元积分法4.不定积分的分部积分法5.微分方程初步6.定积分的概念及其基本性质7.变上限积分和牛顿莱布尼茨公式8.定积分的换元积分法和分部积分法9.无穷限反常积分10.定积分的几何应用（二）自学要求一元函数积分学是微积分学的另一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，而定积分则源于曲边图形的面积计算和已知物体运动的速度求行走的路程等实际问题，与微分学一样，积分学也有十分广泛的应用，微分方程的理论和方法几乎是与微积分学同时发展起来的，具有广泛的实际应用。本章总的要求是：理解原函数和不定积分的概念，清楚微分运算和不定积分运算之间的关系；理解定积分的概念及其几何意义；熟悉不定积分和定积分的基本性质；理解由变上限积分所确定的函数的求导公式，掌握牛顿布莱布尼茨公式；熟记基本积分公式；熟练掌握不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法，能熟练地求不定积分和定积分；掌握微分方程的基本概念并能求解可分离变量微分方程和一阶线性微分方程；清楚无穷限反常积分的概念，在比较简单的情况下会依据定义判别它是否收敛并在收敛时求出其值；会用定积分解决简单的几何问题。本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算，变上限积分求导公式和牛顿布莱布尼茨公式，定积分的应用。（三）考核要求1.原函数和不定积分的概论，不定积分的基本性质，要求达到领会层次。1.1 了解原函数和不定积分的定义1.2 理解微分运算和不定积分运算互为逆运算1.3 知道不定积分的基本性质2.基本积分公式，要求达到简单应用层次2.1 熟记基本积分公式并能熟练运用3.不定积分的换元积分法，要求达到简单应用层次3.1 能熟练地运用第一换元积分法（即凑微分法）求不定积分3.2 掌握第二换元积分法，知道几种常见的换元类型3.3 会求比较简单的有理函数的不定积分4.不定积分的分部积分法，要求达到简单应用层次4.1 掌握分部积分法，会求常见类型的不定积分5.微分方程初步，要求达到简单应用层次5.1 知道微分方程的阶、解、通解、初始条件、特解的含义5.2 能识别可分离变量微分方程和一阶线性微分议程，并会求这两类议程的解。 6.定积分的概念及其基本性质，要求到领会层次6.1 理解定积分的概念，并了解其几何意义6.2 清楚定积分与不定积分的区别，知道定积分的值仅依赖于被积函数和积分区间，与积分变量所用的记号无关6.3 知道定积分的基本性质6.4 能正确叙述定积分的中值定理，了解其几何意义7.变上限积分和牛顿布莱布尼茨公式，要求达到综合应用层次7.1 理解变上限积分是积分上限的函数并会求其导数7.2 掌握牛顿布莱布尼茨公式，并领会其理论意义7.3 会用牛顿布莱布尼茨公式求定积分的值8.定积分的换元积分法和分部积分法，要求达到简单应用层次8.1 掌握定积分的第一、二换元积分法8.2 清楚对称区间上奇函数或偶函数的定积分的有关结果8.3 掌握定积分的分部积分法9.无穷限反常积分，要求达到领会层次9.1 清楚无穷限反常积分的定义及其敛散性9.2 在被积函数比较简单的情况下会依据定义判别它是反常积分的敛散性，并在收敛时求出其值10.定积分的几何应用，要求达到简单应用层次10.1 会在直角坐标系中计算平面图形有面积10.2 会计算简单平面图形绕坐标轴旋转所所旋转体的体积第六章多元函数微积分（一）考核的知识点1.多元函数的概念2.偏导数和全微分3.复合函数的求导法则4.隐函数及其求导法则5.二阶偏导数6.二元函数的极值及其求法7.二重积分的概念及计算（二）自学要求多元函数微积分是一元函数微积分的自然发展，它的许多重要概念和处理问题的思想、方法与一元函数微积分的情形十分相似，前者以后者为基础；另一方面，随着变量的增多，其内容也更加丰富，由于许多实际问题常常涉及多个变量，所以多元微积分的应用非常广泛，本章以二元函数微积分为主。本章总的要求是：理解多元函数概念和二元函数的几何意义；清楚偏导数和全微分的定义；了解高阶偏导数的定义及混合偏导数在一定条件下与对变量求导次序的无关性；掌握复合函数和隐函数的求导法则；理解二元函数的极值概念并掌握其求法；理解二重积分的定义及其几何意义；掌握二重积分的计算方法。 本章重点：偏导数和全微分的概念及其计算，复合函数求导法则，二重积分的计算。难点：复合函数求导，二重积分的计算。（三）考核要求1.多元函数的概念，要求达到领会层次1.1 知道多元函数的定义及二元函数的几何意义1.2 会求二元函数的定义区域2.偏导数的全微分，要求达到简单应用层次2.1 清楚偏导数的定义及一元函数导数的关系 2.2 清楚全微分及多元函数可微的定义2.3 清楚全微分与偏导数的关系及函数可微的充分条件3.复合的函数的求导法则，要求达到简单应用层次3.1 掌握以下三种类型的复合函数的求导法则：（1）w=f（u，v）；u=u（x），v=v（x）.（2）w=f（u）；u=u（x，y）.（3）w=f（u，v）；u=u（x，y），v=v（x，y）.4.隐函数及其求导法则，要求达到简单应用层次4.1 了解隐函数的概念，掌握由一个函数方程所确定的一元和二元隐函数的求导法则5.二阶偏导数的定义，会计算初等函数的二阶偏导数5.1 知道二阶偏导数的定义，会计算初等函数的二阶偏导数5.2 知道二阶混合偏导数在一定条件下与对各有关变量求导的次序无关6.二元函数的极值及其求法，要求达到简单应用层次6.1 清楚二元函数极值的定义6.2 清楚极值点与驻点的关系，知道函数取得极值的充分条件6.3 会求函数的极值并会解决比较简单的应用问题7.二重积分的概念和计算，要求达到简单应用层次7.1 清楚二重积分的定义及其几何意义7.2 了解二重积分的基本性质7.3 会在直角坐标系下计算二重积分（不要求会交换二次积分的积分次序）。第 一 章函数及其图形一、考核内容1.一元函数的定义2.函数的几种特性3.反函数的概念及图形4.复合函数，初等函数二、基本概念，主要公式，典型例题1.一元函数的定义（1）定义：若变量x在某一变域D中的任取一值时，变量y按某确定的法则有一个惟一确定值与x的这个值对应，就说变量y是变量x的函数，记作其中x叫自变量，y叫因变量自变量x的取值范围叫定义域，记作Df例如大家在中学学过的叫多项式函数，叫以a为底的对数函数，叫以a为底的指数函数，叫正弦函数，它们都是函数（2）典型例题例一，求下列函数的定义域（1）解：分式的分母不能为零，所以.用区间表示为Df：（2）解：偶次根式的被开方数不能小于0，所以得，方程的根为x1=-2，x2=3，所以不等式的解只能在取得，经验算知解为。Df：（3） 解：取对数的数只能大于0，所以有分子的根和分母的根分别为x1=2,x2=-5,所以不等式的解只能在取得，经验算知解为Df：（4）解：取反正弦或反余弦的数只能在-1与1之间，所以有解得 Df：-4，2例二解：f(1)表示将函数f(x)中的x换为1，叫函数f(x)在x取1时的值，所以例三，已知f(x)的定义域为(2，5，求f(x2)的定义域解：f(x)的定义域为(2，5，即2x5 f(u)的定义域为2u5 f(x2)的定义域为2x25解得4x7 f(x2)的定义域为Df：（4，7例四 已知g(x)的定义域为0，9，求f(x)=g(x2)+g(x+2)的定义域解：因为g(x)的定义域为0，9，即0x9，所以g(x2)的定义域为0x29，解得2x11，同理g(x+2)的定义域为0x+29解得-2x7f(x)的定义域为它的公共部分为f(x)的定义域Df:2,7例五下列各对函数是否相同？若不同，请说明x取何值时是相同的（1）解：在中，x的取值范围为，而在中， x的取值范围为，因为x取值范围不同，所以它们是不同的函数，例如无意义，而有意义且。当x0时，则有。则它们是相同的。（2）解：y=x的定义域是，而的定义域是。因为定义域不同，所以它们是不同的函数。当x0时，则有，这时它们就相同了。（3），解：，所以这时它们的对应关系不同，因此是不同的函数。若只让x0，则，这时它们就相同了。2函数的几种特性。（1）函数的增减性的概念定义：如果函数f(x)的自变量在区间I内任意取两值 x1x2时，均有不等式f(x1)f(x2) 就说在区间I内函数是单调减少的，并且说区间I是单调减少区间。典型题 ：求f(x)=x2的单调区间解：在，则有所以在是减少的，且的减区间。在，则有所以在是增加的，且记区间是的增区间（2）函数的奇偶性偶函数的图形恒有关于y轴的对称点（-x,y）与（x,y），所以偶函数的图形关于y轴对称奇函数的图形恒有关于原点的对称点（-x，-y）与（x,y），所以奇函数的图形关于原点对称，见下图。 典型题：例一，验证是偶函数，是奇函数。例二，讨论的奇偶性。解：例三，讨论下列函数的奇偶性 下面是第二个 例四讨论下列函数的奇偶性例五，证明奇函数乘奇函数是偶函数同法可得下面结果：例六，观察下列函数的奇偶性(3)函数的有界性 典型题 讨论下列函数在相应的区间上的有界性(4)函数的周期性 关于周期函数，有下面的特例，学员可作为重要结果加以使用。典型例题：例一，指出下列函数中是否是周期函数，若是，则写出其周期T例二例三三、反函数的概念及图形 根据反函数的定义，在求反函数时的步骤如下：典型例题，求下列函数的反函数解：第一步，解出x先移项得 y(x+3)=x-2yx+3y=x-2再合并含有x的项 yx-x=-2-3y y=ln(1+2x)+3解：第一步，解出x因为 (y-3)=ln(1+2x)根据对数函数的定义得第二步 将上式中的x与y对换得解：3y=sin(2x-1)根据反三角函数的定义arcsin3y=2x-1两边同乘2ex得2yex=(ex)2+1 (ex)2-2yex+1=0 四、复合函数，初等函数(1)复合函数的定义典型例题例一 写出由下列函数复合而生成的复合函数。y=u2,u=sinv,v=3x+1解：y=u2=(sinv)2=sin(3x+1)2 简写为 y=sin2(3x+1)y=lnu,u=cosv,v=x2+1解：y=lncosv=lncos(x2+1)例二 讨论y=lnu,u=-2+sinx是否能复合为复合函数。解：u=-2+sinxa且与数a无限接近时，（记作）,函数f（x）与常数A无限接近，就说函数f（x）的右极限是数A，记作：显然，下面定理是成立的定理典型例题 定义三 （1）若x0且|x|无限变大时（记作），函数f（x）与常数A无限接近，就说时，函数f（x）的极限是常数A，记作：（3）当x的绝对值|x|无限变大时（记作）,函数f（x）与常数A无限接近，就说时，f（x）的极限是常数A，记作：显然，下面的结论是正确的典型例题例一：求下列极限 例二：求极限（四）极限的四则运算法则关于极限的运算，我们不加证明地介绍下面的定理：若在x的同一变化过程中， ， ，则有下面结果： 典型例题例一：求下列极限 下面的结果，学员可以当作公式加以应用例三：直接利用上面的公式求极限解：0；3；例四：求极限 下面为第三节（五）无穷大量，无穷小量定义一：若变量u的绝对值|无限变大，就说变量u是无穷大量，记作：定义二：若变量u的极限为0，就说变量u是无穷小量，记作：性质一：若u是无穷大量，则1/u是无穷小量若u是无穷小量，则1/u是无穷大量。性质二：（1）无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量（2）有界变量乘无穷小量是无穷小量典型例题：例一：当时，下列变量中哪个是无穷大量？哪个是无穷小量？例二：求下列极限定义三：若0，0，即与都是无穷小量（1） 若，就说是的高阶无穷小，记作o()（2） 若，就说是的同阶无穷小，记作O()（3） 若，就说与等价，记作（4） 若，就说是的低阶无穷小。典型例题：例一：当x0时，请将下列无穷小量与x进行比较下面的结果是重要的结果，请学员熟记：x 0时,下面的无穷小量都是等价的.在求极限时，下面的定理常常能将问题变得简单：定理（等价代换定理）若u0，0，且u，则有（1） （2） 证：（1） （2） 等价代换定理的好处是可以用一个简单的无穷小量去替换等价的复杂的无穷小量学员特别要注意的是只有乘除法才能等价替换，加减法不能等价替换！ 典型例题：求下列极限例二：用等价无穷小替换计算注意：下面的计算有错误错误的原因在第一个等式不成立，因为我们所警告的加减法不能等价替换。（六）两个重要的极限下面我们不加证明地给出两个重要极限，读者可以利用它们作为公式求其它的极限 上面的结果叫第一个重要极限，实际上在介绍等价替换时就有上面的结果典型例题：计算 上面的公式叫第二个重要极限，在利用上面的公式求其它极限时常常需要利用下面的公式进行代数化简：典型题一：求下列极限注意：，要将这种极限与相区别例二: 求下列极限例三： 验证 （七）函数的连续性否则，就说f(x)在处间断；即处的间断。否则，就说f(x)在处间断。典型例题例一讨论下列函数在分段点的连续性解：用定义一：f(0)=0f(x)在x=0连续。解：（）在x=0点处f(0)=1f(x)在点x0处连续（）在x=2处f(x)在点x=2处不连续 例三：已知在点x0连续，求a，b：对于初等函数，有下面的结论定理：（1）一切初等函数在它有意义的区间上处处连续（2）一切初等函数，在它的无意义点上一定间断典型例题例一：求函数的间断点和连续区间。解：（）f(x)是初等函数，它在（-，-1），（-1，1），（1，+）上处处有意义。f(x)在（-，-1），（-1，1），（1，+）上处处连续。（）f(x)在x-1,x=1上无意义，所以f(x)在x-1，x1处间断。关于间断点，本教程有三种类型：（1） 若 则间断点xa叫可去间断点；（2） 若 ，则间断点xa，叫无穷间断点；（3） 若 ，则间断点xa叫跳跃间断点。例二：求下列函数的间断点，并指出其类型解：f(x)在2处无意义，所以x=2是f(x)的间断点解：f(x)在x2处无意义，所以x2是f(x)的间断点解：f(x)在x2处无意义，所以x2是f(x)的间断点 解：f(x)在x0处无意义， x0是f(x)的间断点，由于 ，所以x0是f(x)的无穷间断点（八）在闭区间上连续的函数的性质在闭区间上处处连续的函数有两条重要性质，我们用定理的形式介绍一下。定理（最大值最小值定理）如果函数f（x）在闭区间a,b上处处连续，则函数f（x）在闭区间a,b上一定有最大值M和最小值m推论：若f（x）在闭区间a,b上连续，则f（x）在闭区间a,b上有界，且注意上面结论的两个条件缺一不可，例在开区间(0,1)上处处连续，因为它在此区间上没有无意义的点。x0时， 无限变大，所以它没有最大值。而0x1时，f(x)也取不到最小值1定理（零值定理）如果f（x）在闭区间a,b上处处连续，而且f(x)在端点的函数值f(a),f(b)异号。则在(a,b)内至少存在一点acb，能使f(c)=0或者说在(a,b)内至少存在一点acb，使x=c是方程f(x)=0的根。零值定理的正确性是明显的。我们用下图说明：由于f（a），f（b）的异号，所以曲线yf（x）在xa与xb处的几何点A与B分别在x轴的两侧；由于yf（x）的图形连续，所以它与x必相交，交点xc处的y0，即f（c）0典型例题：证明方程 在（1，2）内至少有一根证：即需证明方程 在（1，2）内至少有一根，令 f（x）至少在1,2上有意义f（x）至少在1,2上连续 f（1）=-20,与f(2)=300异号f(x)满足零值定理的两个条件在（1，2）内至少有一点1c2，使f(c)=0即x=c是方程f（x）0的根xc是方程 的根三、同步练习题（一）填空 （二）计算下列极限： （三）证明题（19）证明方程 （20）若f（x）在a,b上连续且f(a)a,f(b)b证明方程f(x)=x,在(a,b)内至少有一个根三、同步练习题（一）填空（二）计算下列极限：另：（三）证明题（19）证明方程，在（0，1）内至少有一根证明：令f（x）=f（x）在0，1上连续f（0）= -10，f（1）= 10，f（0）与f（1）异号由零值定理，存在0c1， 使f（c）=0，即x=c是方程f（x）=0的根即x=c是方程=0的根（20）若f（x）在a,b上连续且f（a）a,f（b）b证明方程f（x）=x,在（a,b）内至少有一个根证明：令g（x）=f（x）-xf（x）在a,b上是连续的g（x）在a，b上连续g（a）=f（a）-a0，g（b）=f（b）-b0异号存在acb，使g（c）=0