结构优化有限元分析.doc

结构优化设计 优化设计是一门以数学规划为理论基础、以计算机为工具的现代设计方法，是MCAE技术的重要组成部分。实践证明，通过优化设计可以明显地提高设计质量、降低产品成本以及减小人的劳动强度。 优化设计过程包括两个主要环节，即首先根据实际条件建立起优化模型，然后根据模型特点选择适当的优化方法求解模型。建立正确的优化模型是优化设计的前提，模型是否符合实际，很大程度上决定了优化结果是否实际最优解。模型求解是优化设计的关键，优化方法的选择决定了求解过程是否收敛，以及收敛的速度和精度。因此，除掌握优化模型的建模方法外，了解各种优化算法的特点也是必要的。一.优化数学模型 对于任何优化设计问题，都可建立如下标准形式的优化数学模型，即minf(X) X=（x1,x2,xn）T （1-1）s.t. hi(x)=0 (i=1,2,m) gi(x)0 (j=1,2,p) （1-2）上述模型可以解释为求解n维欧式空间En中可行域D内的设计变量X,在收到（subject to）m个等式约束hi(x)=0的条件下，是目标函数f(X)最小。其中X叫设计变量，hi(x)、 gi(x)叫做约束函数，f(X)叫做目标函数。设计变量、约束函数和目标函数称为优化设计的三要素。1.设计变量设计变量指在设计过程中所要选择的描述结构特性的量，它的数值是可变的。设计变量可以是各个构件的截面尺寸、面积、惯性矩等设计截面的几何参数，也可以是柱的高度、梁的间距、拱的矢高和节点坐标等结构总体的几何参数。设计变量通常有连续设计变量和离散设计变量两种类型。 （1）连续设计变量。这类变量在优化过程中是连续变化的，如拱的矢高和节点坐标等。 （2）离散设计变量。这类变量在优化中是跳跃式变化的，如可供选用的型钢的截面面积和钢筋的直径都是不连续的。机械设计中的所有参数都是可变的，但是将所有的设计参数都列为设计变量不仅会使问题复杂化，而且是没有必要的。例如材料的机械性能由材料的种类决定，在机械设计中常用材料的种类有限，通常可根据需要和经验事先选定，因此诸如弹性模量、泊松比、许用应力等参数按选定材料赋以常量更为合理;另一类状态参数，如功率、温度、应力、应变、挠度、压力、速度、加速度等则通常可由设计对象的尺寸、载荷以及各构件间的运动关系等计算得出，多数情况下也没有必要作为设计变量。因此，在充分了解设计要求的基础上，应根据各设计参数对目标函数的影响程度认真分析其主次，尽量减少设计变量的数目，以简化优化设计问题。另外还应注意设计变量应当相互独立，否则会使目标函数出现“山脊”或“沟谷”，给优化带来困难。2.约束条件约束条件是对设计变量取值范围的限制。所有约束条件组成设计空间En的一个字空间，该子空间称为可行域，记为D。按不同的分类方法，约束条件有很多不同的类型。按数学表达形式分，有等式约束和不等式约束两类；按约束条件的性能不同，约束条件可分为性能约束和边界约束，针对产品性能要求提出的现在条件叫做性能约束，如强度、刚度和稳定性等，对设计变量变化范围的限制叫做边界约束；按约束条件的表达方式分，约束条件分为显示约束和隐式约束；按优化解所在的位置不同，约束条件可分为起作用约束和不起作用约束。在选取约束条件时应当特别注意避免出现相互矛盾的约束。因为相互矛盾的约束必然导致可行域为一空集，使问题的解不存在。另外应当尽量减少不必要的约束，不必要的约束不仅增加优化设计的计算量，而且可能使可行域缩小，影响优化结果。3.目标函数目标函数是优化设计所追求的设计指标，如要求产品重量最轻、动态特性最好、承载能力最大等等。一般情况下，优化设计是求目标函数的最小值。当最大值时，可转换成目标函数负的或倒数的最小值问题。因此，优化设计的目标函数可写成一般形式 minf(X) X=（x1,x2,xn）T （1-3）对于一般的机械，可按重量最轻或体积最小的要求建立目标函数;对应力集中现象尤其突出的构件，则以应力集中系数最小作为追求的目标，对于精密仪器，应按其精度最高或误差最小的要求建立目标函数。在机构设计中，当对所设计的机构的运动规律有明确的要求时，可针对其运动学参数建立目标函数;若对机构的动态特性有专门要求，则应针对其动力学参数建立目标函数;而对于要求再现运动轨迹的机构设计，则应根据机构的轨迹误差最小的要求建立目标函数。4.优化问题的数值迭代方法（1）数值迭代的基本思想根据工程实际设计问题建立数学模型后，依其复杂程度和具体条件不同，可选取不同的求解方法。总的说来，优化设计问题的求解方法可分为解析方法(即微分法)、图解法、数值迭代法。 数值迭代的迭代格式可写为 XK+1=XK+KSK ,k=0,1,2， （1-4）必须满足适用性要求，即 f(Xk) f(Xk+1) , k=0,1,2， （1-5）其中为收索步长，S为收索方向。（2）迭代计算的终止准则点距准则 当相邻两次迭代点XK和XK+1之间的距离已达到充分小时，迭代计算可以终止，即 XK+1- XK （1-6）函数值下降量准则 当相邻两次迭代点XK和XK+1所对应的目标函数的下降量或相对下降量已达到充分小时，迭代则可终止，即 f(Xk+1)- f(Xk) （1-7）梯度准则 当迭代点所对应的目标函数梯度已达到充分小时，迭代则可终止，即 f(Xk) （1-8）以上各式中的是根据设计要求预先给定的迭代精度小正数。二机械优化设计的一般过程机械优化设计的全过程一般可分为如下几个步骤:1)建立优化设计的数学模型。2)选择适当的优化方法。 3)编写计算机程序。4)准备必要的初始数据并上机计算。5)对计算机求得的结果进行必要的分析。其中建立优化设计数学模型是首要的和关键的一步，它是取得正确结果的前提，下面将专门讨论这个问题。三例题解析满应力法是一种直接从结构力学的原理出发，以满应力为准则而建立起来的优化方法。它最初是由桁架结构的设计而发展起来的，其主要思想是，桁架结构在外部载荷作用下，各个构件中的应力达到其材料的许用应力值。道理很简单，只有当各个构件的应力都达到极限值时（满应力状态），构件的材料才能得到充分利用。否则，如果某些构件存在一定的应力裕度，则必然造成材料浪费。现以下图所示，以二杆桁架为例说明满应力方程。假设桁架上作用的外力F=30KN,材料许用压应力y为20MPa。现用满应力法设计各杆件的截面积，以使桁架质量最轻。F40cm30cm30cm21AL2L1图1.桁架的受力情况1.设计变量取桁架的截面积为设计变量x1,x2，令各杆面积均为10cm2，则初始设计变量为X= x1,x2T=1*10-3, 1*10-3T （1-9）2约束条件 y （1-10）3.目标函数W=g（L1+ L2）*（x1+ x2） （1-11）设在F作用下杆1、2的轴向力分布为Q1、Q2，对于桁架结构，不计构件重力时各构件只承受轴向力作用。所以点A的平衡条件有 X=0 Q1cos- Q2cos=0 （1-12） Y=0 Q1sin+ Q2sin=F （1-13）解得： Q1 =F/2 sin, Q2= F/2 sin （1-14）其中： cos=0.6 sin=0.8所以， Q1, Q2T= F/2 sin, F/2 sinT=18750，,18750T （1-15）由于各杆的应力 =Q/A , 所以初始应力 （0）=1.875*107, 1.875*107T （1-16）将各杆件的实际应力与许用应力比较，原设计的实际应力不等于许用应力，为使各构件达到满应力状态，应对初始设计进行修改。设计修改的一般公式是： x1k+1=i（k）x1k （1-17） i（k）=i（k）/y （1-18） 所以（0）=0.9375,0.9375T由于不等于1，所以要利用x1k+1=i（k）x1k，对个构件截面积进行修改，得到新的设计x1=（0）x0=0.9375*10-3, 0.9375*10-3T （1-20）（1）=2*107, 2*107T（1）=1,1T此时的=1，达到满应力法的要求，修改后的（1）=y，也达到了满应力法的要求，所以迭代结束。4.下面利用ansys软件对此结构进行优化，可以与理论值进行对比。 1）优化结果的序列表SET1 (FEASIBLE)SET2 (FEASIBLE)SET3 (FEASIBLE)SET4 (FEASIBLE)SMAX (SV)0.0000 -10.235 -13.365-18.350 A_1 (DV)0.0000 1831.9 1402.91021.8 WT (OBJ)0.0000 0.14289E-010.10943E-010.79699E-02SET5 (FEASIBLE)SET6 (FEASIBLE)SET7 (FEASIBLE)SET8 (FEASIBLE)SMAX (SV)-20.881 -21.336 -20.977 -20.892 A_1 (DV)897.93 878.79 893.83 897.47 WT (OBJ)0.70039E-020.68546E-020.69719E-020.70003E-02*SET9* (FEASIBLE)SMAX (SV)-20.249A_1 (DV)925.98 WT (OBJ)0.72226E-02表1优化结果的序列表由上表可看出，当迭代次数为9时，A1杆的面积为925.98 mm2，与理论值937.5 mm2有一定的误差。2）设计变量与迭代次数之间的变化曲线图2. 设计变量与迭代次数之间的变化曲线3）状态变量与迭代次数之间的变化曲线图3.