电路分析基础第六章(李瀚荪).ppt

第六章一阶电路 本章主要内容 1 RC RL电路的零输入响应 2 RC RL电路的零状态响应 3 一阶电路的全响应 暂态与稳态 4 一阶电路的三要素法 5 阶跃函数和阶跃响应 子区间分析法 6 1分解方法在动态电路中的应用 1 什么叫一阶电路 1 用一阶微分方程描述其变量的电路 2 只含一个动态元件 C L 的电路 如 引例 求图示电路的一阶微分方程 这是常系数非齐次一阶微分方程 代入 解 可以写出以下方程 2 一阶微分方程的求解 1 齐次方程通解 2 非齐次方程特解 W Q常数 3 K确定 常系数非齐次一阶微分方程 由初始条件解出K 通解答为 6 4一阶电路的零输入响应 一 RC电路的零输入响应 电路在没有外界输入的情况下 只由电路中动态元件初始储能作用而产生的响应为零输入响应 输入为零 图 a 所示电路 开关原来在1端 电容电压已经达到U0 在t 0时开关由1端转换到2端 如图 b 求 uC t iC t t 0 t 0 充电 t 0 换路 t 0 放电 1 定性分析 建立图 b 电路的一阶微分方程 其解为 根据初始条件 齐次方程通解 2 定量分析 最后得到电路的零输入响应为 U0 0 2 3 4 uC t t s 以为例 说明电压的变化与时间常数的关系 当t 0时 uC 0 U0 当t 时 uC 0 368U0由于波形衰减很快 实际上只要经过4 5 的时间就可以认为放电过程基本结束 0 368U0 换路 电路由电源接入或断开 元件参数或电路结构突然改变 过渡过程 电路由一种稳定状态向另一种稳定状态过渡的过程 时间常数 RC它决定了uC衰减的快慢RC大 表示衰减的慢 RC小 表示衰减的快 电阻在电容放电过程中消耗的全部能量为 换路定律 二 RL电路的零输入响应 已知iL 0 I0 求iL t uL t t 0 解 1 定性分析 t 0 储磁场能 t 0 换路 t 0 衰减到零 列出KCL方程 得到微分方程 通解为 代入初始条件iL 0 I0求得 最后得到 三 结论 RC电路 或RL电路 电压与电流的零输入响应都是从它的初始值按指数规律衰减到零 2表达式 X 0 初始值 时间常数 二者零输入响应 时间常数具有对偶性 RC GL L R 例1 电路如图 a 所示 已知电容电压uC 0 6V t 0闭合开关 求t 0时uC t iC t iR t 解 在开关闭合瞬间 电容电压不能跃变 得到 将连接电容两端的单口网络等效于一个电阻 为 电阻中的电流iR t 可以用与iC t 同样数值的电流源代替电容 用电阻并联的分流公式求得iR t 例2 已知uC 0 18V 求 uC t i1 t t 0 例3 已知i 0 2A 求 i t u t t 0 6 2一阶电路的零状态响应 一 RC电路的零状态响应 已知 uC 0 0 求uC t i t t 0 零状态响应 电路中动态元件的初始状态为零 电路只在外加激励作用下产生的响应 1 uC t 的零状态响应是从零按指数规律上升到它的稳态值uC t uC uC t O 2 当t 4 uC Us是电容C开路时uC的值 表示为iC 0 解 1 定性分析 uC 0 0 Us 4 2 定量分析 解一 解二 二 RL电路的零状态响应 解 定性分析 已知 iL 0 0 求iL t uL t t 0 1 iL的零状态响应是从零按指数规律上升到它的稳态值iL 当t 4 iL IS 是电感短路时的值 2 iL零状态响应的快慢 取决于电路的时间常数 L R 越小 上升越快 定量分析 解一 解二 三 结论 uC t 和iL t 的零状态响应是从零按指数规律上升到它的稳态iL iC t 和uL t 是按指数规律衰减到零 2 状态量 初始状态为零对应的变量 X 稳态值 时间常数 3 非状态量 iC t 和uL t 求解方法 先求状态量 再求非状态量 例1电路如图 a 已知uC 0 0 t 0打开开关 求 t 0的uC t iC t 及电阻电流i1 t 解 在开关打开瞬间 电容电压不能跃变 得到 将连接电容两端的单口网络等效为戴维南电路图 b 电路的时间常数为 当电路达到新的稳定状态时 电容相当开路得 根据图 a 所示电路 用KCL方程得到 例2电路如图 a 所示 已知电感电流iL 0 0 t 0闭合开关 求 t 0的iL t uL t i t 解 电感电流不能跃变 即 将连接电感的单口网络用诺顿等效电路代替 得图 c 一阶电路的全响应 一 全响应 由动态元件的初始储能和外施激励共同引起的响应 称为全响应 例 已知电路如图 a 所示 uC 0 U0 t 0时开关倒向2端 求 uC t t 0 以电容电压uC t 为变量 列出图 b 电路微分方程 其解为 代入初始条件 求得 于是得到电容电压表达式 第一项是对应微分方程的通解uCh t 称为电路的固有响应或自由响应 将随时间增长而按指数规律衰减到零 也称为暂态响应 第二项是微分方程的特解uCp t 其变化规律与输入相同 称为强制响应 当t 时uC t uCp t 也称为稳态响应 固有响应 与输入无关 由电路本身决定 暂态响应 在过渡过程 0 4 的响应 强制响应 与外加激励有关 稳态响应 在过渡过程完成以后的响应 注意 线性动态电路中任一支路电压或电流的全响应等于零输入响应与零状态响应之和 二 线性动态电路的叠加定理 uC 0 三 全响应的三种分解方式 1 全响应 零输入响应 零状态响应 线性动态电路的叠加定理说明 2 全响应 暂态响应 稳态响应 3 全响应 全解 通解 特解 1 适用于任意线性动态电路 2 电路中储能元件的等效叠加 33 RC电路的全响应 1 uC的变化规律 全响应 电源激励 储能元件的初始能量均不为零时 电路中的响应 根据叠加定理全响应 零输入响应 零状态响应 34 稳态分量 零输入响应 零状态响应 暂态分量 结论2 全响应 稳态分量 暂态分量 全响应 结论1 全响应 零输入响应 零状态响应 稳态值 初始值 6 6三要素法 一 一阶电路电压或电流的全响应 1 当x 0 x 则其波形为由其初始值按指数规律下降到其稳态值 即 一般式 2 当x 0 x 时 则其波形为由其初始值按指数规律上升到其稳态值 即 二 三要素法 对于渐近稳定的一阶电路 各支路的电压或电流的全响应都是从其初始值按指数规律变化到 上升或下降到 其稳态值 初始值 三个要素 稳态值 时间常数 三 三个要素的求法 1 初始值x 0 例 已知t 0时电路已处于稳态 求uC 0 i1 0 i2 0 换路定律 uC 0 uC 0 电容电压连续iL 0 iL 0 电感电流连续 2 再求i1 0 i2 0 画t 0 等效电路 解 1 先求uC 0 画t 0 等效电路 例2 已知t 0时电路已处于稳态 求i1 0 iL 0 uL 0 1 4 t 0 iL uL i1 10V 0 1H 解 1 先求iL 0 推知iL 0 iL 0 2A 2 再求i1 0 uL 0 41 电容电路 注 换路定则仅用于换路瞬间来确定暂态过程中uC iL初始值 换路定则 电感电路 42 3 初始值的确定 求解要点 2 其它电量初始值的求法 初始值 电路中各u i在t 0 时的数值 1 uC 0 iL 0 的求法 1 先由t 0 的电路求出uC 0 iL 0 2 根据换路定律求出uC 0 iL 0 1 由t 0 的电路求其它电量的初始值 2 在t 0 时的电压方程中uC uC 0 t 0 时的电流方程中iL iL 0 43 暂态过程初始值的确定 例1 由已知条件知 根据换路定则得 已知 换路前电路处稳态 C L均未储能 试求 电路中各电压和电流的初始值 44 暂态过程初始值的确定 例1 iC uL产生突变 2 由t 0 电路 求其余各电流 电压的初始值 45 例2 换路前电路处于稳态 试求图示电路中各个电压和电流的初始值 换路前电路已处于稳态 电容元件视为开路 电感元件视为短路 由t 0 电路可求得 46 例2 换路前电路处于稳态 试求图示电路中各个电压和电流的初始值 解 由换路定则 47 例2 换路前电路处稳态 试求图示电路中各个电压和电流的初始值 解 2 由t 0 电路求iC 0 uL 0 由图可列出 带入数据 iL 0 uc 0 48 例2 换路前电路处稳态 试求图示电路中各个电压和电流的初始值 解 解之得 并可求出 49 计算结果 电量 50 结论 1 换路瞬间 uC iL不能跃变 但其它电量均可以跃变 3 换路前 若uC 0 0 换路瞬间 t 0 等效电路中 电容元件可用一理想电压源替代 其电压为uc 0 换路前 若iL 0 0 在t 0 等效电路中 电感元件可用一理想电流源替代 其电流为iL 0 2 换路前 若储能元件没有储能 换路瞬间 t 0 的等效电路中 可视电容元件短路 电感元件开路 2 求稳态值x 画t 时的等效电路 将t 0时电路的电容开路 或电感短路 作直流分析 求出x 3 求时间常数 先求输出电阻R0 R0C 先求R0 52 求换路后电路中的电压和电流 其中电容C视为开路 电感L视为短路 即求解直流电阻性电路中的电压和电流 1 稳态值的计算 响应中 三要素 的确定 例 53 1 由t 0 电路求 在换路瞬间t 0 的等效电路中 注意 2 初始值的计算 54 1 对于简单的一阶电路 R0 R 2 对于较复杂的一阶电路 R0为换路后的电路除去电源和储能元件后 在储能元件两端所求得的无源二端网络的等效电阻 3 时间常数 的计算 对于一阶RC电路 对于一阶RL电路 注意 55 R0的计算类似于应用戴维宁定理解题时计算电路等效电阻的方法 即从储能元件两端看进去的等效电阻 如图所示 四 三要素求解步骤 1 画t 0 时的等效电路 求X 0 3 画t 时的等效电路 求X 4 画t 0时No网络 求Ro 计算 5 代入三要素公式 2 画t 0 时的等效电路 求X 0 换路定律 uC 0 uC 0 iL 0 iL 0 先求R0 R0C 五 元件L C的等效电路 例1图 a 所示电路处于稳定状态 t 0时开关闭合 求 t 0的电容电压uC t 和电流i t 并画波形图 解 1 求uC 0 2 求uC 电容开路 运用叠加定理求得 3 求 计算与电容相连接的电阻单口网络ab的输出电阻 它是三个电阻的并联 a b 4 代入三要素一般表达式 求得电容电压后 电阻电流i t 可以利用欧姆定律求得 也可以用叠加定理分别计算2A电流源 10V电压源和电容电压uC t 单独作用引起响应之和 由于电路中每个响应具有相同的时间常数 不必重新计算 用三要素公式得到 值得注意的是该电阻电流在开关转换时发生了跃变 i 0 1A i 0 1 667A 因而在电流表达式中 标明的时间范围是t 0 而不是t 0 电阻电流i t 还可以利用三要素法直接求得 例2 图示电路中 开关转换前电路已处于稳态 t 0时开关S由1端接至2端 求 t 0时的电感电流iL t 电阻电流i2 t i3 t 和电感电压uL t 解 1 求iL 0 开关转换前 电感相当于短路 2 求iL 3 求 4 计算iL t uL t i2 t 和i3 t 65 例1 电路如图 t 0时合上开关S 合S前电路已处于稳态 试求电容电压和电流 1 确定初始值 由t 0 电路可求得 由换路定则 66 2 确定稳态值 由换路后电路求稳态值 3 由换路后电路求时间常数 67 uC的变化曲线如图 68 用三要素法求 S 9mA 6k 2 F 3k t 0 C R 69 例2 由t 0 时电路 电路如图 开关S闭合前电路已处于稳态 t 0时S闭合 试求 t 0时电容电压uC和电流iC i1和i2 求初始值 70 求时间常数 由右图电路可求得 求稳态值 71 关联 例3 图 a 所示电路 在t 0时闭合开关 求 电容电压uC t 和电流i2 t 的零状态响应 解 开关闭合后 与电容连接的单口网络用图 c 所示的戴维南等效电路代替 其中 用外施电源法求图 b 单口网络的输出电阻Ro 时间常数为 代入三要素公式得到 从图 a 电路中开关闭合后的电路求得电流i2 t 1 1 1 2V 2i1 0 8F i1 t 0 例4 已知t 0时电路已处于稳态 求i1 t t 0 6 6阶跃函数和阶跃响应 二 阶跃函数的作用 1 代替开关 2 分段常量信号可表示为一系列阶跃信号之和 分段常量信号 一些阶梯形状波形和矩形脉冲波形 三 阶跃响应 定义 电路在阶跃信号作用下的零状态响应 RC US 非时变性的表现 四 非恒定电压 电流作用下一阶电路的响应 例1 已知p t 波形 求uC 解一 uC 0 00 t0 充电t t0 放电 p t o t0 t US 对p t 对p t 例2已知 uS t 5 t 2 V uC t 10V t 0 3 68 求 uC t i t t 0 例3已知NR是只含电阻的电路 并知uC的单位阶跃响应为 V 求 在同样的激励情况下 若uC 0 2V时的uC t 和uR t V 例4图示RC分压器电路模型