六年级奥数46、几何公式.doc

46、几何公式【平面图形计算公式】一般的平面图形计算公式，如下表。【立体图形计算公式】(1)柱体公式。（2）锥体公式。正n棱锥（如图113）的公式：圆锥的公式（圆锥如图114所示）：（3）棱台、圆台公式。正n棱台（如图115）的公式：圆台（如图116）的公式：（4）球的计算公式。球的图形如图117所示。S表=4r2；附录：其他常用公式【整数约数个数公式】一个大于1的整数，约数的个数等于它的质因数分解式中，每个质因数的个数（指数）加1的连乘积。例如，求4500的约数个数。解 4500=2232534500的约数个数是（2+1）（2+1）（3+1）=36（个）。【约数之和的公式】一个大于1的自然数N，将它分解质因数为为自然数，则N的所有约数的和为S（N），可用下列公式计算：例如 求1992的所有约数的和。解 S（1992）=S（2331831）=5040【分数拆项公式】在奥赛中，为使计算简便，经常用到下面四个分数拆项公式：（1）连续两个自然数积的倒数，可拆成较小的自然数的倒数，减去较大的自然数的倒数。即（2）连续三个自然数的积的倒数，可拆成前两个自然数的积的倒数，减去后两个自然数的积的倒数的差的一半。即（3）连续四个自然数的积的倒数，可拆成前三个自然数的积的倒数，（4）一般分数拆项公式。当n、d都是自然数时，有【堆垛计算公式】（1）三角形堆垛。计算每堆三角形物体总个数S时，可将底边个数”乘以（n+1）再乘以（n+2），然后除以6。用式子表示就是例如，“一些桔子堆成三角形堆垛，底边每边4个，顶尖1个（如图118）。桔子总数是多少个？”解 依据三角形堆垛公式，得=20（个）。（2）正方形堆垛。计算底层为正方形的堆垛物体总个数S时，可将底边个数n乘以底边数加05的和，再乘以底边个数加1的和，最后将乘积除以3。用式子表示，就是例如，“一些苹果堆成正方形堆垛（如图119），底层每边放4个，顶尖放一个。苹果总数是多少个？”解 依据公式，得（3）长方形堆垛。计算底层为长方形（近似于横放的三棱柱形，图120。）的堆垛物体的总个数S时，可将底层宽边的个数n1，长边的个数n2，按照下面的公式计算：例如，“有一盘馒头，底边宽5个，长边上放8个，如图120所示，这盘馒头共有多少个？”解 此题中，n1=5，n2=8。依据长方形堆垛公式，得=45+55=100（个）或者是（4）梯形堆垛。计算梯形的堆垛（近似于棱台形堆垛）物体总个数S时，可将最上层总数S1，加上最下层总数S2后，乘以层数n，再除以2。（梯形堆垛如图121所示。）用式子表示就是例如，“一些酒坛，堆成梯形的堆垛（图121），最上层为32只，最下层为45只，共堆有14层（每层差1只）。酒坛的总数是多少只？”解 依计算公式，得【数线段条数的公式】若线段AB上共有n个分点（不包括A、B端点），则AB线段上共有的线段条数S，计算的公式是：S=（n+1）+n+（n-1）+3+2+1例如，求下图（图122）中所有线段的条数。解 在线段AB上，共有五个分点。根据数线条数的公式，得S=（5+1）+5+4+3+2+1注意：这一公式，还可以用来数形如图123的三角形个数。在这个图形中，因为底边BC上有4个分点，可依据数线段条数的计算公式，得三角形的个数为【数长方形个数的公式】若长方形的一边有m个小格，另一边有n个小格，那么这个图形中长方形的总个数S为S=（m+m-1+m-2+3+2+1）（n+n-1+n-2+3+2+1）例如，请数出下图124中共有多少个不同的长方形。解 长方形ABCD长边上有6个小格，宽边上有4个小格。根据数长方形总数的公式，可得=2110=210（个）。（答略）注意：这一公式，还可以用来数形如图125中的梯形的个数。显然，这个图形中除了ADE以外，其余均为大大小小的梯形。最大的梯形下底上有五个小格，腰边上有4个小格。利用数长方形个数的计算公式，可得梯形的总个数S为=1510=150（个）。（答略）【数正方形个数的公式】若一个长方形的长被分成了m等份，宽被分成了n（nm）等份（长和宽上的每一份长度是相等的），那么这个长方形中的正方形总数S为：S=mn+（m-1）(n-1)+（m-2）(n-2）+（m-n+1）1特殊的，当一个正方形的边长被分成n等分时，则这个图形中正方形的总个数S为：例1 求下图中正方形的总个数（如图126）。解 图中AB边上有7个等分，AD边上有3个等份。根据在长方形中数正方形个数的公式，可得：S73+62+51=21+12+5=38（个）。（答略）例2 求下图（图127）中的正方形有多少个。解 图形中正方形每边上有4等分。根据数正方形个数的计算公式，得（答略）【平面内n条直线最多分平面部分数的公式】平面内有n条直线，其中注意两条直线都不平行，每条直线都与其他直线相交，且不交同一点。那么，这几条直线将平面划分的部分数S为 例 平面内有8条直线，它们彼此都相交，但不交于同一点，求这8条直线能把平面划分出多少个部分？解 根据平面内n条直线，最多分平面部分数的计算公式，得S=2+2+3+4+5+6+7+8【n个圆将平面分成最多的部分数公式】若平面上有n个圆，每个圆都与其他圆相交，且不交于同一点，那么这个圆将平面划分的最多的部分数S为S=2+12+22+（n-1）2=n2-n+2例 在一个平面上有20个圆，这20个圆最多可将平面划分为多少个部分？解 根据平面内n个圆将平面划分成最多的部分数的计算公式，可得S=2+12+22+192=202-20+2=400-20+2=382（块）（答略）【格点面积公式】每个小方格的面积都是1个面积单位的方格纸上，纵横两组平行线的交点，叫做“格点”，这样的方格纸，叫做“格点平面”。在格点平面上求图形的面积，可以按照上面的公式去计算：图形面积=图形内部格点数+图形周界上的格点数2-1。例 如图128，求格点平面内A、B两个图形的面积。解 A图内部无格点，B图内部有9个格点；A图周界上有9个格点，B图周界上有7个格点。根据格点面积公式，得：