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四边形变身术瓯海区塘下中学 金乐和、林齐、徐正茂、贾圣强指导师：陈晓秋四边形变身术，在保证四边形面积不变的情况下，利用剪切、图形变换等方法对图形进行重构，得到新的平面图形。一 问题背景将一个任意三角形进行剪切后运用图形变换对三角形进行重构，可得到平行四边形（图1）。当然，三角形还能重构得到其它特殊四边形，如梯形（图2），如矩形（图3）等。以三角形为原图形，能重构得到平行四边形，梯形，还能得到特殊的平行四边形-矩形。我们想，运用类似的方法，将任意四边形进行重构是否能得到平行四边形？是否能得到特殊的平行四边形，如矩形，菱形，正方形？这重构的过程满足怎样的规律呢？二 问题探究通过对具体图形构造，我们来回答以上三个问题。1.任意四边形平行四边形(图4)。作法：取四边形ABCD各边AD,AB,BC,DC的中点E,F,G,H连接EG,FH.。EG与FH相交于点O。将四边形EOHD绕点E逆时针旋转180，四边形FBGO绕点F逆时针旋转180，将四边形OGCH平移至如图位置。2.任意四边形矩形（图5）。作法： 取四边形ABCD各边AD,AB,BC,DC的中点E,F,G,H 连结FH。过点E，点G分别作ENFH，MGFH。 将四边形ENHD绕点E逆时针旋转180，将四边形MFBG绕点F逆时针旋转180，将四边形MGCH平移至如图位置。根据四边形四条边地位元的等同性，经过步骤后，连结EG，过点F，点H作EG的垂线段交EG于点M,N。将四边形ENHD绕点E逆时针旋转180，将四边形FBGM绕点F逆时针旋转180，将四边形NGCH进行平移至如图位置。也能得到矩形，（图6）.3.任意四边形菱形（图7）作法： 取各边的中点 连结FH，取FH的中点O，以点E为圆心，OH为半径作圆交FH于点N；以点G为圆心，OH为半径作圆交FH于点M，如图将四边形ABCD分成四块。 以点E为旋转中心，将四边形ENHD逆时针旋转180；以点F为旋转中心，将四边形FBGM旋转180；将四边形MGCH平移至如图位置。根据四边形四条边地位元的等同性，我们还可以做出图8，图9。说明1：拖动顶点ABCD中的任意顶点，发现有些时候菱形不一定存在。故能重构得到菱形的四边形需满足一定条件：以图7为例，任意四边形ABCD需满足条件点E到FH的距离FH。 说明2：正方形作为特殊的菱形。我们思考在图7的基础上，能否外加一个条件使得变身后的图形变身为正方形？菱形到正方形，只需加条件ENFH，GMFH。但任意一个四边形，并不能做出既满足EN=GM又满足ENFH，GMFH。还是对四边形ABCD加一些条件吧。图7，拖动点A，点B，点C，点D中的任意一点，当ENFH时，所变成的四边形为正方形，如图11。当然，正方形的四边形ABCD，需满足条件：点E,点G到FH的距离EN,GM等于FH。4.任意四边形一般梯形图12。作法：取四边形各边中点。连结FH。在FH上任意取点M和点N。连结EM，GN。将四边形EMHD绕点E逆时针旋转180，将四边形FBGN绕点F逆时针旋转180，将四边形EGCH平移至如图位置。5.任意四边形直角梯形如图13。作法：取四边形各边中点。过点E作EMFH，在FH上任意取点N，连结GN。将四边形EMHD绕点E逆时针旋转180，将四边形FBGN绕点F逆时针旋转180，将四边形EGCH平移至如图位置。6.任意四边形等腰梯形如图14（1）。作法：取四边形各边中点。在FH上任意取点M，连结EM，以点G为半径，EM的长度为半径作圆。圆G与FH相交，取点N（其中GN与EM不平行）。将四边形EMHD绕点E逆时针旋转180，将四边形FBGN绕点F逆时针旋转180，将四边形EGCH平移至如图位置。说明：再作等腰梯形图14（1）时，圆G与FH有两个交点。图14（1）取的点N，GN与EM不平行。若另外一组点，连接GN。再经过第（3）步，则可以构造出平行四边形，如图14（2）。三 方法小结经过探究，任意四边形要重构得到特殊四边形，一般作法如下：（1）取四边形各边的中点（2）连结其中一组对边中点，按照一定要求联机，将图形进行分割成四块（3）将分割后的图形经过图形变化构造出要求的特殊图形。通过构图经历，我们发现任意一个四边形都可以重构为平行四边形，梯形，等腰梯形，直角梯形等特殊四边形。第（2）步的联机不同，得出的图形也不同。另外，重构得到菱形四边形需要满足某些条件，详见图7作法及说明1。构造出正方形，对图形的要求更加苛刻，详见如图11作法及说明2。四 问题拓展 任意四边形能构造平行四边形，梯形，及更特殊的图形矩形，等腰梯形，直角梯形等等。任意四边形能否重构得到三角形呢？重构的过程有满足怎样的一般规律呢？ 与前面探究过程一样，我们通过具体图形的构造来回答以上两个问题。1.任意四边形三角形如图15。作法： 取四边形ABCD各边中点点E,F,G,H。 连结EF,在EF上任意取点O，连结OG,OH。 将四边形EOMD绕点E旋转180，将四边形OFBG绕点F旋转180，将四边形OGCM平移至如图位置。2.任意四边形等腰三角形“2.任意四边形等腰三角形”的作法类似于“1任意四边形三角形”的作法。但等腰三角形是特殊的三角形，“2”与“1”的唯一不同就在于作法第步。根据等腰三角形的定义，“（二）”的作法可分为三种情况：情况一、当=时，即只需满足OM=EF，变身后的三角形为等腰三角形。作法：连结EF，以点M为圆心，EF长为半径作圆交EF于点O，连结OM,OG。如图16（1）说明：四边形ABCD需满足EFEM。情况二、当=时，即只需满足OG=OM，变身后的三角形为等腰三角形。作法：连结EF，以EF为对称轴，作点M关于EF的对称点，连结G交EF与点O，连结OM,OG。如图16（2）。说明：拖动四边形ABCD的顶点，发现这种情况下的等腰三角形需要满足一定条件，但什么条件我们仍未找出。情况三、当=时，即只需满足OG=EF，变身后的三角形为等腰三角形。作法：连结EF，以点G为圆心，EF长为半径作圆交EF于点O，连结OM,OG。如图16（3）说明：四边形ABCD需满足EFEG。3.小结经探究，由任意四边形构造出三角形及特殊三角形。一般作法：取四边形各边的中点连结一组相邻边的中点，将剩余两中点向该边联机，将图形分割成四块将分割后的图形经过图形变换构造出要求的图形。五 问题再思考通过问题探究及拓展，任意四边形到特殊四边形、任意四边形到三角形的构造过程，其一般作法可以概括为：取中点联机图形变换。整个过程让我们收获最多的也是对于第步联机的探索。做的过程中，我们还有一些有趣的发现。比如说，在构造图5的过程中，通过几何画板我们测量出EN=MG，FM=NH。在图6中我们测量EN,MG，FM,NH，仍然有同样的结论：EN=MG,FM=NH。根据图形变换的性质，通过重构后的矩形的对边相等，我们容易说明结论成立。以图5为例，2EN=2MG，EN=MG。同理，FN+FM=MH+NH2FM+MN=2NH+MNFM=NH。 那么命题“如图5（1），任意四边形ABCD中，取各边中点E,F,G,H,连结FH，过点E作ENFH，过点G作GMFH则EM=MG，FM=NH。”成立吗？ 答案成立。理由如下。命题成立。分析：只需连结EF,FG,GH,EH构成平行四边形，利用平行四边形的性质就能加以证明。当然，我们也遗留不少问题。现将