（广西课标版）2020版高考数学二轮复习专题能力训练17直线与圆锥曲线文.docx

专题能力训练17直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.过抛物线C:y2=4x的焦点F,且斜率为3的直线交C于点M(M在x轴的上方),l为C的准线,点N在l上且MNl,则M到直线NF的距离为()A.5B.22C.23D.332.与抛物线y2=8x相切倾斜角为135的直线l与x轴和y轴的交点分别是A和B,那么过A,B两点的最小圆截抛物线y2=8x的准线所得的弦长为()A.4B.22C.2D.23.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=33(x-1)或y=-33(x-1)C.y=3(x-1)或y=-3(x-1)D.y=22(x-1)或y=-22(x-1)4.已知倾斜角为30的直线l经过双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的左焦点F1,交双曲线于A,B两点,线段AB的垂直平分线经过右焦点F2,则此双曲线的渐近线方程为.5.(2019北京人大附中信息考试,18)已知抛物线C:y2=2px过点M(2,2),点A,B是抛物线C上不同两点,且ABOM(其中O是坐标原点),直线AO与BM相交于点P,线段AB的中点为Q.(1)求抛物线C的准线方程;(2)求证:直线PQ与x轴平行.6.已知椭圆C的两个顶点分别为A(-2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为32.(1)求椭圆C的方程;(2)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:BDE与BDN的面积之比为45.7.在平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)右焦点的直线x+y-3=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为12.(1)求M的方程;(2)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CDAB,求四边形ACBD面积的最大值.8.(2019四川高三冲刺演练,20)已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点且与此抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,|AB|0)的焦点,点N(x0,y0)(y00)为其上一点,点M与点N关于x轴对称,直线l与抛物线交于异于点M,N的A,B两点,|NF|=52,kNAkNB=-2.(1)求抛物线的标准方程和点N的坐标;(2)判断是否存在这样的直线l,使得MAB的面积最小.若存在,求出直线l的方程和MAB面积的最小值;若不存在,请说明理由.专题能力训练17直线与圆锥曲线一、能力突破训练1.C解析由题意可知抛物线的焦点F(1,0),准线l的方程为x=-1,可得直线MF:y=3(x-1),与抛物线y2=4x联立,消去y得3x2-10x+3=0,解得x1=13,x2=3.因为M在x轴的上方,所以M(3,23).因为MNl,且N在l上,所以N(-1,23).因为F(1,0),所以直线NF:y=-3(x-1).所以M到直线NF的距离为|3(3-1)+23|(-3)2+12=23.2.C解析设直线l的方程为y=-x+b,联立直线与抛物线方程,消元得y2+8y-8b=0.因为直线与抛物线相切,所以=82-4(-8b)=0,解得b=-2,故直线l的方程为x+y+2=0,从而A(-2,0),B(0,-2).因此过A,B两点的最小圆即为以AB为直径的圆,其方程为(x+1)2+(y+1)2=2,而抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,此时圆心(-1,-1)到准线的距离为1,故所截弦长为2(2)2-12=2.3.C解析由题意可得抛物线焦点F(1,0),准线方程为x=-1.当直线l的斜率大于0时,如图,过A,B两点分别向准线x=-1作垂线,垂足分别为M,N,则由抛物线定义可得,|AM|=|AF|,|BN|=|BF|.设|AM|=|AF|=3t(t0),|BN|=|BF|=t,|BK|=x,而|GF|=2,在AMK中,由|BN|AM|=|BK|AK|,得t3t=xx+4t,解得x=2t,则cosNBK=|BN|BK|=tx=12,NBK=60,则GFK=60,即直线AB的倾斜角为60.斜率k=tan60=3,故直线方程为y=3(x-1).当直线l的斜率小于0时,如图,同理可得直线方程为y=-3(x-1),故选C.4.y=x解析如图,MF2为线段AB的垂直平分线,可得|AF2|=|BF2|,且MF1F2=30,可得|MF2|=2csin30=c,|MF1|=2ccos30=3c.由双曲线的定义可得|BF1|-|BF2|=2a,|AF2|-|AF1|=2a,即|AB|=|BF1|-|AF1|=|BF2|+2a-(|AF2|-2a)=4a,即有|MA|=2a,|AF2|=|MA|2+|MF2|2=4a2+c2,|AF1|=|MF1|-|MA|=3c-2a.由|AF2|-|AF1|=2a,可得4a2+c2-(3c-2a)=2a,可得4a2+c2=3c2,即c=2a.故b=c2-a2=a,所以渐近线方程为y=x.5.(1)解由题意得22=4p,解得p=1.所以抛物线C的准线方程为x=-p2=-12.(2)证明设Ay122,y1,By222,y2,由ABOM得kAB=kOM=1,则y2-y1y222-y122=2y2+y1=1,所以y2+y1=2.所以线段AB的中点Q的纵坐标yQ=1.直线AO的方程为y=y1y122x=2y1x.当y2-2时,直线BM的方程为y-2=y2-2y222-2(x-2)=2y2+2(x-2).联立y=2y1x,y-2=2y2+2(x-2),解得x=y12,y=1,即点P的纵坐标yP=1.当y2=-2时,直线BM的方程为x=2.联立y=2y1x,x=2,解得x=2,y=4y1.因为y2+y1=2,所以y1=4.所以y=1,即点P的纵坐标为yP=1.综上可知,直线PQ与x轴平行.6.(1)解设椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(ab0).由题意得a=2,ca=32,解得c=3.所以b2=a2-c2=1.所以椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)证明设M(m,n),则D(m,0),N(m,-n).由题设知m2,且n0.直线AM的斜率kAM=nm+2,故直线DE的斜率kDE=-m+2n.所以直线DE的方程为y=-m+2n(x-m),直线BN的方程为y=n2-m(x-2).联立y=-m+2n(x-m),y=n2-m(x-2),解得点E的纵坐标yE=-n(4-m2)4-m2+n2.由点M在椭圆C上,得4-m2=4n2.所以yE=-45n.又SBDE=12|BD|yE|=25|BD|n|,SBDN=12|BD|n|,所以BDE与BDN的面积之比为45.7.解(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则x12a2+y12b2=1,x22a2+y22b2=1,y2-y1x2-x1=-1,由此可得b2(x2+x1)a2(y2+y1)=-y2-y1x2-x1=1.因为x1+x2=2x0,y1+y2=2y0,y0x0=12,所以a2=2b2.又由题意知,M的右焦点为(3,0),所以a2-b2=3.所以a2=6,b2=3.所以M的方程为x26+y23=1.(2)由x+y-3=0,x26+y23=1,解得x=433,y=-33或x=0,y=3.因此|AB|=463.由题意可设直线CD的方程为y=x+n-533n3,设C(x3,y3),D(x4,y4).由y=x+n,x26+y23=1得3x2+4nx+2n2-6=0.于是x3,4=-2n2(9-n2)3.因为直线CD的斜率为1,所以|CD|=2|x4-x3|=439-n2.由已知,四边形ACBD的面积S=12|CD|AB|=8699-n2.当n=0时,S取得最大值,最大值为863.所以四边形ACBD面积的最大值为863.8.(1)证明由题意可得,直线l的斜率存在,故可设直线l的方程为y=k(x-1)(k0),联立y2=4x,y=k(x-1),得ky2-4y-4k=0,则y1y2=-4kk=-4为定值.(2)解由(1)知,y1+y2=4k,x1+x2=y1+y2k+2=4k2+2,则|AB|=x1+x2+p=y1+y2k+2=4k2+41.联立y=k(x-1),y=x2-4,得x2-kx+k-4=0,M,N两点在y轴的两侧,=k2-4(k-4)=k2-4k+160,且k-40,k1及k4可得k-1或1k0,y1+y2=6m3m2+4,y1y2=-93m2+4.(*)设A(-4,yA),由A,E,D三点共线得yA=-6y1x1-2=-6y1my1-3,同理可得yB=-6y2my2-3.yA+yB=-6y1my1-3+-6y2my2-3=-62my1y2-3(y1+y2)m2y1y2-3m(y1+y2)+9=-62m-93m2+4-36m3m2+4m2-93m2+4-3m6m3m2+4+9=6m,|yA-yB|=-6y1my1-3-6y2my2-3=18|y1-y2|m2y1y2-3m(y1+y2)+9=186m3m2+42-4-93m2+4m2-93m2+4-3m6m3m2+4+9=6m2+1.设AB的中点为M,则点M的坐标为-4,yA+yB2,即(-4,3m),点M到直线EF的距离d=|-4-3m2+1|1+m2=3m2+1=12|yA-yB|=12|AB|.故以AB为直径的圆始终与直线EF相切.10.解(1)因为M过点A,B,所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x+y=0上,且A,B关于坐标原点O对称,所以M在直线y=x上,故可设M(a,a).因为M与直线x+2=0相切,所以M的半径为r=|a+2|.由已知得|AO|=2,又MOAO,故可得2a2+4=(a+2)2,解得a=0或a=4.故M的半径r=2或r=6.(2)存在定点P(1,0),使得|MA|-|MP|为定值.理由如下:设M(x,y),由已知得M的半径为r=|x+2|,|AO|=2.由于MOAO,故可得x2+y2+4=(x+2)2,化简得M的轨迹方程为y2=4x.因为曲线C:y2=4x是以点P(1,0)为焦点,以直线x=-1为准线的抛物线,所以|MP|=x+1.因为|MA|-|MP|=r-|MP|=x+2-(x+1)=1,所以存在满足条件的定点P.11.解(1)由题意知p=1,故抛物线方程为y2=2x.由|NF|=x0+p2=52,则x0=2,y02=4.y00,y0=2.N(2,2).(2)由题意知直线的斜率不为0,则可设直线l的方程为x=ty+b.联立y2=2x,x=ty+b,得y2-2ty-2b=0.设两个交点Ay122,y1,By222,y2(y12,y22),则=