（新高考）2020版高考数学二轮复习专题强化训练（二十一）导数及其应用理.docx

专题强化训练(二十一)导数及其应用12019全国卷已知函数f(x)lnx.(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线ylnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线yex的切线解：(1)f(x)的定义域为(0,1)(1，)因为f(x)0，所以f(x)在(0,1)，(1，)单调递增因为f(e)10，f(e2)20，所以f(x)在(1，)有唯一零点x1，即f(x1)0.又01，flnx1f(x1)0，故f(x)在(0,1)有唯一零点.综上，f(x)有且仅有两个零点(2)因为，故点B在曲线yex上由题设知f(x0)0，即lnx0，连接AB，则直线AB的斜率k.曲线yex在点B处切线的斜率是，曲线ylnx在点A(x0，lnx0)处切线的斜率也是，所以曲线ylnx在点A(x0，lnx0)处的切线也是曲线yex的切线22019北京卷已知函数f(x)x3x2x.(1)求曲线yf(x)的斜率为1的切线方程；(2)当x2,4时，求证：x6f(x)x；(3)设F(x)|f(x)(xa)|(aR)，记F(x)在区间2,4上的最大值为M(a)当M(a)最小时，求a的值解：(1)由f(x)x3x2x得f(x)x22x1.令f(x)1，即x22x11，得x0或x.又f(0)0，f，所以曲线yf(x)的斜率为1的切线方程是yx与yx，即yx与yx.(2)令g(x)f(x)x，x2,4由g(x)x3x2得g(x)x22x.令g(x)0得x0或x.x，g(x)，g(x)的情况如下：x2(2,0)04g(x)g(x)600所以g(x)的最小值为6，最大值为0.故6g(x)0，即x6f(x)x.(3)由(2)知，当a3；当a3时，M(a)F(2)|g(2)a|6a3；当a3时，M(a)3.综上，当M(a)最小时，a3.32019江苏卷设函数f(x)(xa)(xb)(xc)，a，b，cR，f(x)为f(x)的导函数(1)若abc，f(4)8，求a的值；(2)若ab，bc，且f(x)和f(x)的零点均在集合3，1,3中，求f(x)的极小值；(3)若a0,0b1，c1，且f(x)的极大值为M，求证：M.解：(1)因为abc，所以f(x)(xa)(xb)(xc)(xa)3.因为f(4)8，所以(4a)38，解得a2.(2)因为bc，所以f(x)(xa)(xb)2x3(a2b)x2b(2ab)xab2，从而f(x)3(xb).令f(x)0，得xb或x.因为a，b，都在集合3,1,3中，且ab，所以1，a3，b3.此时，f(x)(x3)(x3)2，f(x)3(x3)(x1)令f(x)0，得x3或x1.列表如下：x(，3)3(3,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极小值为f(1)(13)(13)232.(3)因为a0，c1，所以f(x)x(xb)(x1)x3(b1)x2bx，f(x)3x22(b1)xb.因为00，则f(x)有2个不同的零点，设为x1，x2(x1x2)由f(x)0，得x1，x2.列表如下：x(，x1)x1(x1，x2)x2(x2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的极大值Mf(x1)解法一：Mf(x1)x(b1)xbx13x2(b1)x1bx1()33.因此M.解法二：因为0b1，所以x1(0,1)当x(0,1)时，f(x)x(xb)(x1)x(x1)2.令g(x)x(x1)2，x(0,1)，则g(x)3(x1)令g(x)0，得x.列表如下：xg(x)0g(x)极大值所以当x时，g(x)取得极大值，且是最大值，故g(x)maxg.所以当x(0,1)时，f(x)g(x).因此M.42019郑州质量预测二已知函数f(x)(x2x)lnax，g(x)x3(1a)x22axb，a，bR.(1)求函数g(x)的单调区间；(2)若f(x)g(x)恒成立，求b2a的最小值解：(1)函数g(x)的定义域为(，)g(x)2x22(1a)x2a(2x2)(xa)，由g(x)0x1或xa，若a1，则当x(，a)时，g(x)0，g(x)在(，a)上为增函数，当x(a，1)时，g(x)0，g(x)在(a，1)上为减函数，当x(1，)时，g(x)0，g(x)在(1，)上为增函数当a1，则g(x)0，g(x)在(，)上为增函数若a1，则当x(，1)时，g(x)0，g(x)在(，1)上为增函数，当x(1，a)时，g(x)0，g(x)在(1，a)上为减函数，当x(a，)时，g(x)0，g(x)在(a，)上为增函数(2)f(x)g(x)g(x)f(x)0，设F(x)g(x)f(x)，则F(x)(2x1)lnx(x2x)2x22(1a)xa(2x1)(lnxx1a)，因为x(0，)，所以令F(x)0，得lnxx1a0.设h(x)lnxx1a，则h(x)在(0，)上单调递增，当x0时，h(x)；当x时，h(x).所以存在唯一x0(0，)，使得h(x0)0，即ax0lnx01.当0xx0时，F(x)0，所以F(x)在(0，x0)上单调递减；当xx0时，F(x)0，所以F(x)在(x0，)上单调递增所以当x(0，)时，F(x)minF(x0)(xx0)lnx0x(1a)xax0b(xx0)lnx0x(x0lnx0)x(x0lnx01)x0bxxx0b.因为f(x)g(x)恒成立，所以F(x)minxxx0b0，即bxxx0.b2axxx02axxx02lnx02.设(x)x3x2x2lnx2，x(0，)，则(x)x22x1，当0x1时，(x)0，所以(x)在(0,1)上单调递减；当x1时，(x)0，所以(x)在(1，)上单调递增所以当x(0，)时，(x)min(1).所以当x01，即a1x0lnx02，bxxx0时，(b2a)min.52019合肥质检二已知函数f(x)a(x1)ln(x1)x2ax(a0)是减函数(1)试确定a的值；(2)已知数列an，an，Tna1a2a3an(nN*)，求证：ln(n2)Tn1.解：(1)f(x)的定义域为(1，)，f(x)aln(x1)2x.由f(x)是减函数得，对任意的x(1，)，f(x)aln(x1)2x0恒成立设g(x)aln(x1)2x，则g(x)，由a0知，11，当x时，g(x)0；当x时，g(x)0，g(x)在上单调递增，在上单调递减，g(x)在x1时取得最大值又g(0)0，对任意的x(1，)，g(x)g(0)恒成立，即g(x)的最大值为g(0)，10，解得a2.(2)由f(x)是减函数，且f(0)0可得，当x0时，f(x)0，f(n)0，即2(n1)ln(n1)n22n.两边同时除以2(n1)2得，即an，从而Tna1a2a3an，所以ln(n2)Tnln2ln(n2)ln(n1)(n1)ln2.下面证2ln(n2)ln(n1)(n1)ln210，记h(x)2ln(x2)ln(x1)(x1)ln21，x1，)，h(x)ln2ln2ln2.yx在2，)上单调递增，h(x)在2，)上单调递减，而h(2)ln2(23ln2)(2ln8)0，当x2，)时，h(x)0恒成立，h(x)在2，)上单调递减，即x2，)时，h(x)h(2)2ln4ln33ln2ln2ln30，当n2时，h(n)0.h(1)2ln3ln22ln2lnln0，当nN*时，h(n)0，即2ln(n2)ln(n1)(n1)ln21.由可得，ln(n2)Tn1.62019武汉4月调研已知函数f(x)a(aR，a为常数)在(0,2)内有两个极值点x1，x2(x1x2)(1)求实数a的取值范围；(2)求证：x1x20，由题意，知yh(x)在(0,2)内存在两个零点h(x)exa，则当a0时，h(x)0，h(x)在(0,2)上单调递增，h(x)至多有一个零点，不合题意当a0时，由h(x)0，得x1lna，由1lna0，得a.()若1lna0，即a时，h(x)在(0，1lna)上单调递减，在(1lna,2)上单调递增，则h(x)minh(1lna)alna，当a1时，h(x)minalna0，不合题意，舍去当1a时，h(x)minalna0，x0时h(x)0，从而h(x)在(0,1lna)和(1lna,2)上各有一个零点yh(x)在(0,2)上存在两个零点()若1lna2，即ae时，h(x)在(0,2)上单调递减，h(x)至多有一个零点，舍去()若1lna2且h(2)0，即ae时，h(x)在(0，1lna)上有一个零点，而在(1lna,2)上没有零点，舍去综上可得，1a，即实数a的取值范围为.(2)令H(x)h(x)h(22lnax)，0x1lna，则H(x)h(x)h(22lnax)ex1ae22lnax1aex12a2a2a0，H(x)在(0,1lna)上单调递增，从而H(x)0，即h(x)h(22lnax)0，h(x1)h(22lnax1)0，而h(x1)h(x2)，且h(x)在(1lna,2)上单调递增，h(x2)h(22lnax1)，x222lnax1，x1x22.解：(1)由题意，函数f(x)的定义域为(0，)，其导函数f(x)lnxa(x1)，记h(x)f(x)，则h(x).当a0时，h(x)0恒成立，所以h(x)在(0，)上单调递增，且h(1)0，所以任意x(1，)，h(x)f(x)0，故a0不成立当a0时，若x，则h(x)0；若x，则h(x)0.所以h(x)在上单调递增，在上单调递减所以h(x)maxhlnaa10.令g(a)lnaa1，则g(a)1.当0a1时，g(a)1时，g(a)0.所以g(a)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增所以g(a)g(1)0，故a1.(2)当a1时，f(x)xlnxx2，则f(x)1lnxx.由(1)知f(x)1lnxx0恒成立，所以f(x)xlnxx2在(0，)上单调递减，且f(1)，f(x1)f(x2)12f(1)不妨设0x1x2，则0x112，只需证x22x1.因为f(x)在(0，)上单调递减，所以只需证f(x2)f(2x1)，又f(x1)f(x2)1，所以只需证1f(x1)1.令F(x)f(x)f(2x)(其中x(0,1)，则F(1)1.所以欲证f(2x1)f(x1)1，只需证F(x)F(1)，x(0,1)，F(x)f(x)f(2x)1lnxx1ln(2x)2x，整理得F(x)lnxln(2x)2(1x)，x(0,1)，令m(x)F(x)，则m(x)0，x(0,1)，所以F(x)lnxln(2x)2(1x)在区间(0,1)上单调递增，所以任意x(0,1)，F(x)lnxln(2x)2(1x)F(1)，x(0,1)，故x1x22.82019长沙一模已知函数f(x)ex(1alnx)，其中a0，设f(x)为f(x)的导函数(1)设g(x)exf(x)，若g(x)2恒成立，求a的取值范围；(2)设函数f(x)的零点为x0，函数f(x)的极小值点为x1，当a2时，求证：x0x1.解：(1)由题设知，f(x)ex(x0)，g(x)exf(x)1alnx，g(x)(x0)当x(0,1)时，g(x)0，g(x)在区间(0,1)上单调递减，当x(1，)时，g(x)0，g(x)在区间(1，)上单调递增，故g(x)在x1处取得最小值，且g(1)1a.由于g(x)2恒成立，所以1a2，得a1，即a的取值范围为1，)(2)设h(x)f(x)ex，则h(x)ex.设