云南中考数学 第一部分 教材知识梳理 第三章 第四节 二次函数课件.ppt

第三章函数 第四节二次函数 第一部分教材知识梳理 中考考点清单 形如y a b c是常数 a 0 的函数叫做二次函数 特别地 当a 0 b c 0时 y ax2是二次函数的特殊形式 ax2 bx c 1 二次函数的图象与性质 向上 向下 小 大 减小 增大 增大 减小 2 抛物线y ax2 bx c a 0 与a b c的关系 向上 向下 1 解析式三种形式的适用条件 1 当已知抛物线上任意三点时 通常设一般式y ax2 bx c 2 当已知抛物线的顶点坐标 h k 和抛物线上另一点时 通常设顶点式y a x h 2 k 3 当已知抛物线与x轴交点坐标 x1 0 和 x2 0 时 通常设为两点式y a x x1 x x2 2 待定系数法求解析式的步骤 1 根据已知设合适的二次函数的解析式 2 代入已知条件 得到关于待定系数的方程组 3 解方程组 求出待定系数的值 从而写出函数的解析式 3 二次函数的平移由于抛物线的开口方向与开口大小均由二次项系数a确定 所以两个二次函数如果a相等 那么其中一个图象可以由另一个图象平移得到 1 二次函数与一元二次方程 2 二次函数与不等式由函数值y 0 或y 0 即得到一元二次不等式ax2 bx c 0 或ax2 bx c 0 此时确定不等式的解集就转化为求抛物线相应点横坐标的取值范围 1 与几何图形的综合应用二次函数与几何图形的综合应用题型很多 最常见的类型有存在性问题 动点问题 涉及的内容有方程 函数 等腰三角形 直角三角形 相似三角形 平行四边形 菱形等多种知识 解决这类综合应用问题 对应策略如下 a 存在性问题 注意灵活运用数形结合思想 可先假设存在 然后再借助已知条件求解 如果有解 求出的结果符合题目要求 则假设成立 即存在 如果无解 推出矛盾或求出的结果不符合题目要求 则假设不成立 即不存在 b 动点问题 通常利用数形结合 分类和转化思想 借助图形 切实把握图形运动的全过程 动中取静 选取某一时刻作为研究对象 然后根据题意建立方程模型或者函数模型求解 2 实际应用 1 与二次函数有关的实际应用问题 解题步骤 一建 根据题设抽象出函数图象 并建立直角坐标系 二找 找出问题中的变量和常量以及它们之间的函数关系 三列 列出函数关系式 并确定自变量的取值范围 四解 应用二次函数的图象及性质解决实际问题 五验 检验结果的合理性 特别是检验是否符合实际意义 2 考查方向 与实际问题结合 建立二次函数模型 求解最值 如与桥梁 隧道等建筑物结合 求解二次函数最值与两对称点间的线段长 与经济利润问题结合 构造二次函数 求解最大利润 与其他函数相结合 常考类型剖析 类型一二次函数的图象及性质类型二二次函数图象与a b c的关系类型三二次函数解析式的确定类型四二次函数与几何图形结合 例1对于二次函数y 2 x 1 x 3 下列说法正确的是 a 图象的开口向下b 当x 1时 y随x的增大而减小c 当x 1时 y随x的增大而减小d 图象的对称轴是直线x 1 类型一二次函数的图象及性质 解析 函数y 2 x 1 x 3 由函数解析式可知a 0 图象开口向上 又函数与x轴交点为 1 3 函数对称轴为直线x 1 当x 1时 y随x的增大而减小 故c正确 故选c 拓展题1 15南宁改编 如图 已知经过原点的抛物线y ax2 bx c a 0 的对称轴为直线x 1 下列结论中 a b c 0 当 2 x 0时 y 0 1是方程ax2 bx c 0的一个根 正确的个数是 a 0个b 1个c 2个d 3个 拓展题1图 解析 由图象知 当x 0时 y 0 当x 1时 y 0 即a b c 0 故 正确 抛物线过原点 对称轴为x 1 抛物线与x轴负半轴的交点为 2 0 由图象知 当 2 x 0时 图象位于x轴下方 即y 0 故 正确 x 1是函数y ax2 bx c的对称轴 故 1不是方程ax2 bx c 0的根 故 错误 拓展题1图 故选c 拓展题2 14珠海 如图 对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于 1 0 3 0 两点 则它的对称轴为 x 2 解析 由图象知抛物线与x轴的交点坐标为 1 0 3 0 则抛物线的对称轴为x 2 拓展题2图 例2抛物线y ax2 bx c a 0 的图象如图所示 则下列说法正确的是 a b2 4ac 0b abc 0c 1d a b c 0 类型二二次函数图象与a b c的关系 例2题图 解析 由图象与x轴有2个交点可判断a错误 根据图象的开口方向 对称轴 与y轴的交点可判断a0 即abc 0 故b错误 c正确 由当x 1时 y a b c 0可判断d错误 例2题图 故选c 拓展题3 15兰州 二次函数y x2 x c的图象与x轴有两个交点a x1 0 b x2 0 且x1 x2 点p m n 是图象上一点 那么下列判断正确的是 a 当n 0时 m 0b 当n 0时 m x2c 当n 0时 x1 m x2d 当n 0时 m x1 解析 本题考查二次函数与不等式的关系和数形结合思想的应用 如解图 二次函数y x2 x c开口向上 点p m n 为图象上一点 当n 0时 点p在x轴的上方 即点p在点a的左边或者在点b的右边的抛物线上 即m x1或者m x2 故b d选项均不正确 当n 0时 点p在x轴下方 即p点位于点a b之间的抛物线上 端点除外 所以x1 m x2 拓展题3解图 故选c 拓展题4 15泉州 在同一平面直角坐标系中 函数y ax2 bx与y bx a的图象可能是 解析 本题考查一次函数与二次函数的图象性质 故选c 例3已知抛物线的顶点坐标为m 1 2 且经过点n 2 3 则此二次函数的解析式为 类型三二次函数解析式的确定 y 5 x 1 2 2 解析 已知抛物线的顶点坐标为m 1 2 设此二次函数的解析式为y a x 1 2 2 a 0 把点 2 3 代入解析式 得 a 2 3 即a 5 此函数的解析式为y 5 x 1 2 2 拓展题5 15河北 如图 已知点o 0 0 a 5 0 b 2 1 抛物线l y x h 2 1 h为常数 与y轴的交点为c 1 l经过点b 求它的解析式 并写出此时l的对称轴及顶点坐标 拓展题5图 思路分析 1 把b的坐标代入二次函数的解析式即可求得h的值 进而可以求出二次函数的对称轴和顶点坐标 2 首先在二次函数解析式中令x 0 将yc表示为h的函数 根据二次函数的性质即可求得yc最大值和h的值 再根据二次函数的增减性比较y1和y2 3 根据当oa被分成1 4两部分 即可求得分点的坐标 分点一定在二次函数图象上 代入二次函数解析式即可求得h的值 然后求得二次函数与x轴的另外一个交点 判断另一个交点是否在oa上 从而判断线段oa被l所分的分点是否唯一 解 把b 2 1 代入y x h 2 1得 2 h 2 1 1 解得 h 2 则二次函数的解析式是y x 2 2 1 对称轴是x 2 顶点坐标是 2 1 2 设点c的纵坐标为yc 求yc的最大值 此时l上有两点 x1 y1 x2 y2 其中x1 x2 0 比较y1与y2的大小 解 在y x h 2 1中令x 0 解得y h2 1 即yc h2 1 h2 1 1 则yc的最大值是1 此时c的坐标是 0 1 把c 0 1 代入y x h 2 1得 h2 1 1 解得 h 0 则函数的解析式是 y x2 1 对称轴是y轴 开口向下 则当x1 x2 0时 y1 y2 3 当线段oa被l只分为两部分 且这两部分的比是1 4时 求h的值 解 当oa被分成1 4两部分时 则分点是 1 0 或 4 0 当l经过点 1 0 时 代入二次函数解析式得 1 h 2 1 0 解得 h 0或 2 当h 0时 二次函数对称轴是y轴 与x轴的交点是 1 0 和 1 0 满足条件 当h 2时 二次函数对称轴是x 2 与x轴的交点是 1 0 和 3 0 不满足条件 当l经过点 4 0 时 代入二次函数解析式得 4 h 2 1 0 解得 h 3或 5 当h 3时 二次函数的对称轴是x 3 则二次函数与x轴的交点是 4 0 和 2 0 不满足条件 当h 5时 二次函数的对称轴是x 5 则二次函数与x轴的交点是 4 0 和 6 0 满足条件 综上所述 h的值是0或 5 例4 15黔东南州 如图 已知二次函数y1 x2 x c的图象与x轴的一个交点为a 4 0 与y轴的交点为b 过a b的直线为y2 kx b 1 求二次函数y1的解析式及点b的坐标 类型四二次函数与几何图形结合 例4题图 思路分析 1 将点a 4 0 代入抛物线解析式 即可得到c的值 从而确定抛物线的解析式 令抛物线x 0 可得点b的坐标 2 观察图象 当直线在抛物线的上方时 对应的x即为所求 3 由等腰三角形性质 取底边ab的中点c 过c作cf ab交x轴于e 交y轴于f 利用三角形相似确定点e f的坐标即可 解 点a 4 0 在抛物线y1 x2 x c上 42 4 c 0 解得c 3 抛物线解析式为y1 x2 x 3 例4题图 点b是抛物线y1与y轴的交点 点b的坐标为 0 3 2 由图象写出满足y1 y2的自变量x的取值范围 解 根据图象可知 当x 4或x 0时 y1 y2 3 在两坐标轴上是否存在点p 使得 abp是以ab为底边的等腰三角形 若存在 求出p点的坐标 若不存在 说明理由 解 取ab的中点c 点a 4 0 点b 0 3 点c 2 过点c作cf ab 交x轴于e 交y轴于f 例4题解图 c e f 在rt abo中 ao 4 bo 3 ab 5 c是ab的中点 ac bc ace aob 90 eac bao aec abo 又 fbc abo fcb aob abo fbc 方法指导 对于等腰三角形的存在探究问题 解题步骤如下 1 假设结论成立 2 设出点坐标 求边长 根据题意 直接或间接设出所求点的坐标 若所求的点在抛物线上时 该点的坐标可以设为 x ax2 bx c 若所求的点在对称轴上时 该点的坐标可以设为 y 若所求的点在已知直线y kx b上时 该点的坐标可以设为 x kx b 并用所设点坐标表示出相应的边长 常利用相似三角形的性质或勾股定理求解 3 当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时 需分情况讨论 具体方法如下 当定长为腰 找已知直线上满足条件的点时 以定长的某一端点为圆心 以定长为半径画弧 若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时 交点即为所求的点 若所画弧与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时 满足条件的点不存在 当定长为底边时 作出定长的垂直平分线 若作出的垂直平分线与已知直线有交点 则交点即为所求的点 若作出的垂直平分线与已知直线无交点 则满足条件的点不存在 以上方法即可找出所有符合条件的点 4 计算 在求点坐标时 大多时候利用相似三角形的性质求解 如果图形中没有相似三角形 可以通过添加辅助线构造相似三角形 有时也可利用直角三角形的性质进行求解 拓展题6 15龙东地区 如图 抛物线y x2 bx c交x轴于点a 1 0 交y轴于点b 对称轴是x 2 1 求抛物线的解析式 拓展题6图 解 根据题意得c 3 0 则把a 1 0 c 3 0 分别代入y x2 bx c可得 2 点p是抛物线对称轴上的一个动点 是否存在点p 使 pab的周长最小 若存在 求出点p的坐标 若不存在 请说明理由 解 存在点p 使 pab的周长最小 点a与点c关于x 2对称 连接bc与对称轴交于一点 则该点即为所求的点p 如解图 拓展题6解图 根据抛物线的对称性可得点c的坐标为 3 0 在y x2 4x 3中 令x 0 得y 3 点b坐标为 0 3 拓展题6解图 设直线bc的解析式为y kx b k 0 将b 0 3