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第十四章 一次函数14.1 变量与函数14.1.1 变量知能新视窗在一个变化过程中，有些量的数值发生变化变量常量始终不变具有相对性知识结构学点博览学点1 变量和常量在一个变化过程中，有些量的值是按照某种规律变化的，我们称它为变量，有些量的数值是始终不变的，我们称它为常量理解要点：（1）判断一个量是常量还是变量的方法，需看两个方面：看它是否在一个变化的过程中；看它在这个变化过程中的取值情况（2）变量与常量必须存在同一个变化过程中，常量是相对于某一过程或另一个变量而言的如：圆的半径R和周长C的关系式C=2R中，其中C、R可取不同数值是变量，而圆周率和2都保持不变，是常量（3）在某一个变化过程中，变量、常量都可以有多个，常量可以是一个实数，也可以是一个代数式（数值始终保持不变）学点2 变量与常量的关系常量与变量是相对的，变量是随不同的问题而有所不同，在这个式子中是变量，也许在其它式中就是常量，也就是说一个量是否是变量、常量是相对的，要看具体问题而定。理解要点：（1）相对性：例如，在汽车行驶中有三个量：路程S，行驶时间t,速度v，当速度v一定时，路程S与时间t是变量，速度v是常量；当行驶时间t一定时，路程S与速度v是变量，行驶的时间是常量;当路程S一定时，速度v与时间t是变量，路程S是常量（2）常量也可以是常数，如C=2R中是常数 名师开小灶金考点考点1 判断变化过程中的变量和常量常量和变量是普遍存在的，它们只是相对于某个变化过程而言的两个概念，因此对它的判别应紧扣定义及相应的实际情境例1指出下列各关系式中的常量与变量（1）圆的面积公式S=r2（S是圆的面积，r是半径）中，变量是 ，常量是 （2）求补角的公式y=180x中，变量是 ，常量是 （3）ABC的底边是a，底边的高为h，则ABC的面积S=ah，若h为一定长，则此式中，变量是 ，常量是 点拨根据变量、常量的定义，抓住“变“与”不变”来解答解答（1）S和r， （2）y和x，180 （3）S和a, 和h方法规律根据实际问题情境，判断“量”的变化与否，数值发生变化的量是变量，否则为常量考点2 常量和变量的相对性常量是相对于某一过程或另一个变量而言的，绝对的常量是不存在的例2（1）设圆柱的底面半径R不变，圆柱的体积V与圆柱的高h的关系式是V=R2h在这个式子中，常量和变量分别是什么？（2）设圆柱的高h不变，圆柱的体积V与圆柱的底面半径R的关系式是V=R2h中在这个式子中，常量和变量分别又是什么？点拨常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程，并非一成不变。要视具体问题而定。解答（1）常量是和R，变量是V和h（2）常量是和h，变量是V和R温馨提示在不同的研究过程中，作为常量和变量的身份往往又是可以相互转化的 名师开小灶金钥匙能力拓展例1向平静的湖面投一石子，使形成以落水点为圆心的一系列同心圆，在这个变化过程中，哪些是变量？有没有常量？点拨在该现象发生的过程中，要分清哪些量数值发生了变化，哪些量数值始终保持不变解答向平静的湖面投石头后，这一系列的同心圆的半径发生了变化，圆的面积和周长也发生了变化，（其它的变化忽略不记）因此圆的半径、面积和周长是变量；由同心圆的面积和周长公式S=r2C=2R，可知和2是常量，因为在这个变化过程中它的数值始终保持不变方法规律（1）确定某个变化过程的常量和变量一般从数值是否发生变化入手（2）写出同心圆的面积和周长公式是判断此过程中有没有常量的关键综合运用例2某玩具厂计划生产一种玩具小狗，每日最高产量为40只，且每日产出的产品全部出售，已知生产x只玩具小狗的成本为R元，售价每只为P元，且R、P与x的关系式为R=500+30x，P=170-2x（1）上面两个关系式中，分别写出常量和变量（2）若获得的利润为y元，指出在求利润的关系中的变量点拨（1）可取不同数值的量是变量，而保持不变的量是常量（2）P、R均可用x表示解答（1）R、P、x为变量，500，30，170，-2为常量（2）y=Px-R，但P、R均可用x来表示，所以变量为x、y解题关键（1）在一个变化过程中，抓住“变”与“不变”是确定哪些量是变量和常量的关键（2）弄清哪些量可以用另外的变量来表示，是指出利润关系中的变量的关键。图表信息例3如表：n1234y21436587这里变量是 ，常量是 点拨观察分析表格中数据变化规律，表示出y与n之间关系解答y=2n(2n-1)所以填n,y,2,2,-1方法规律根据表格中提供的信息列出关系式，再确定变量和常量14.1.2 函数知能新视窗知识结构函数自变量函数值变量与具体数值 学点博览学点1 函数的概念一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数理解要点（1）对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，指的是x在自变量的取值范围内，x的每一个确定的值，y都有唯一确定值与其对应，否则y就不是x的函数，例如y2=x(x0），当x=4时，y对应的值为2或-2，不唯一，则y不是x的函数，不同的变量x的取值，y的值可以相同，例如y=x2，当x=1和x=-1时，y的对应值都是1（2）取值的变量叫自变量，通过一定关系随自变量变化而变化的变量叫自变量的函数学点2 函数值在一个函数关系式中，如果当x=a时y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值理解要点：（1）对于一个函数，可能有若干个函数值，x取不同值，函数值可能不等，因此应该说明自变量x取什么值时的函数值（2）函数与函数值的区别:函数是变量，例如:y=2x,y是可以随着x的变化而变化的量，变量y是变量x的函数；函数值是变量所取的某个具体数值，一个函数可能有许多不同的函数值，例如当x=1时，函数y=2x的函数值等于2，当x=-1时，函数y=2x的函数值等于-2（3）当已知函数解析式和自变量的值时，求函数值就是求代数式的值；当已知函数解析式，又给出函数值时，求相应的自变量的值，实质就是解关于自变量的方程当给定函数值的一个取值范围时，求相应自变量的取值范围，就是解不等式（组）（4）当自变量确定时，函数值是唯一确定的，但当函数值唯一确定时，对应的自变量可以是多个，如y=x2-1中当x=0时，y=-1，而当y=3时，x=2学点3 自变量取值范围使函数有意义的自变量取值的全体叫函数的自变量取值范围理解要点 （1）确定自变量的取值范围时，一要使函数关系有意义，二要使实际问题有意义函数解析式是整式时，自变量可以取全体实数如y=2x-1中自变量x可取一切实数；函数解析式是分母中含有字母时，自变量的取值应使分母不为0。如y=中分母，要满足x+10；函数解析式是二次根式时，自变量的取值应使被开方数不小于0，如y=中的被开方数，要满足x+10；对于实际问题中的函数关系除使表达式有意义外，还要使实际问题有意义如多边形内角和是边数n的函数，即y=(n-2)180，如果只从解析式有意义的角度去考虑，可取任意实数，但我们知道多边形的边数n必须是大于2的正整数 名师开小灶金考点考点1 函数的判定是不是函数必须满足（1）有两个变量，如果只出现一个变量或多个变量时，就不是函数；（2）一个变量的数值随着另一个变量的数值变化而变化；（3）自变量每一个确定的值、函数都有一个并且只有一个值与之对应例1下列关于变量x、y的关系中:2x-3y=1 y=3|x| y2=x+1 中y是x的函数的是 （填序号）点拨紧扣函数的概念，满足上述三个条件解答规律总结函数的判定要紧扣函数的定义，即对于每一个自变量x都有唯一的y值与之对应考点2 求函数值函数值是对具体数值而言，一个函数可能有许多不同的函数值，一个函数值对应的自变量可以是多个例2已知y=3x-1（1）求当x=1,-1时的函数值；（2）求当y=,-2时，x的值点拨:把x或y代入函数解析式求出相应代数式的值或解关于x的方程解答（1）当x=1时 y=3x-1=31-1=2当x=-1时,y=3x-1=3(-1)-1=-4（2）当y=时,3x-1= 解得x= 当y=-2时，3x-1=-2 解得x=-方法规律1、求函数值，实质上就是求代数式的值2、求函数自变量的值，实质上就是解关于自变的方程考点3 求函数关系式及自变量取值范围确定自变量的取值范围时，不仅要考虑函数关系式有意义，而且要注意实际问题有意义例3（2007西宁）用一根16cm长的细铁丝围成一个等腰三角形，若底边长为ycm，一腰长为xcm（1）写出底边长y与腰长x的函数关系式；（2）求自变量x的取值范围点拨（1）根据等腰三角形的周长与边长的关系，写出函数关系式；（2）由几何图形本身的限制条件和三角形边与边的关系，确定自变量x的取值范围16-2x02xy解答（1）根据题意得 y=16-2x（2） 解得自变量x的取值范围为4x8方法规律确定函数自变量取值范围除了保证函数关系式有意义外，还必须保证函数式附属的几何图形有意义或反映的实际问题有意义 名师开小灶金钥匙综合拓展例1求下列函数自变量的取值范围（1）y=(3x-2) (2)y=(3) (4)y=点拨自变量x的取值范围要使所给的函数关系式有意义解答（1）全体实数 （2）x5（3）x3 (4)x-3且x4方法规律（1）若函数关系式是整式，则自变量取全体实数；（2）若函数关系式分母中含有自变量，它的取值要使分母不为0；（3）若函数关系式为偶次根式，则自变量取值不能使被开方数为负数；（4）多种情况综合取它的公共部分综合运用例2（2007十堰）一旅游团来到十堰境内某旅游景点，看到售票处旁边的公告栏，如图11.1.2-1所示，请根据公告栏内容回答下列问题:公 告 栏各位游客:本景点门票价格如下:1、一次购买10张以下（含10张），每张门票180元。2、一次购买10张以上，超过10张的部分，每张门票6折优惠图11.1.2-1（1）若旅游团人数为9人，门票费用是多少？若旅游团人数为30人，门票费用又是多少？（2）设旅游团人数为x人，写出该旅游团门票费用y（元）与人数x的函数关系式（直接填写在下面的横线上） ，（x=0,1,2,，10）； ，（x10，且x为整数）点拨（1）当0x10时，门票费用为180x，当x10时，10人门票费用为（18010）元，超过10人的部分的门票费用为18060%（x-10）元，两者的和就是超过10人应付门票费用解:（1）1809=1620（元） 18010+18060%（30-10）=3960（元）（2）y=解题关键弄清没有超过部分和超过部分计费方法是解题关键，没有超过部分仍按每张门票180元，超过部分按每张门票180元的6折动静结合在解答动点问题的过程，中常常以静制动，动中取静例1已知正方形ABCD的边长为1，E为CD的中点，P为正方形ABCD边上一个动点，动点P从A点出发，沿ABCE运动，到达E点，若P经过的路程为自变量x，APE的面积为函数y，则当y=时，x的值等于 点拨根据动点P经过正方形不同的边所走的路程进行分类，确定自变量取值范围及相应函数关系式解答（1）当0x1时，y=x,当y=时，x=（2）当1x2时，y=-x,当y=时，x=（3）当2x，y=-x,当y=时，x=而2x，故x=（舍去）所以当y=时，x=或方法规律按边确定自变量取值范围，动中取静写出相应的函数关系式14.1.3 函数的图象知能新视窗知识结构函数函数的图象函数的表示法函数图象的应用函数图象的画法列表法解析法图象法互相转化列表描点连线 学点博览学点1 函数的图象一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对相应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象理解要点：1图象上每一点的横坐标和纵坐标一 定是这个函数的自变量x和函数y的一组对应值2以自变量x的一个值和函数y的对应值为坐标的点必然在这个函数的图象上3函数图象是一个由点组成的曲线，其中所有点的横坐标的集合恰好是自变量的取值范围，各点纵坐标，分别是自变量取值为横坐标时对应的函数值学点2 函数图象的画法描点法画函数图象 一般步骤是：列表、描点、连线理解要点:1列表:给出自变量和函数值的一些对应值；2描点:以表中对应值为坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点；3连线:按自变量由小到大顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来学点3 函数的表示法函数的表示法有三种:列表法、解析法和图象法，它们分别从数和形的角度反映了函数的本质理解要点:1函数的三种表示法（1）列表法:把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法（2）解析法:两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数学运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法（3）图象法:用图象表示函数关系的方法叫做图象法2函数三种表示法的优缺点（1）列表法:列表法可以清楚地列出一些自变量和函数的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果。但列表法有局限性，列出的对应值是有限的，而且在表格中也不容易看出自变量与函数之间的对应规律；（2）解析法:解析式法可以从数量关系的角度明确自变量的对应关系，根据它可由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然，但在实际问题中，并非所有的函数关系，都能用解析法表示（3）图象法:图象法可以直观形象地反映函数的变化趋势，而且对于一些无法用解析式表达的函数，图象可以充当重要角色，同时又是研究函数性质的有力工具，但是，由图象观察只能得到近似的数量关系在解决问题时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面地认识问题，需要综合地运用这三种表示法，来深入研究函数的性质 名师开小灶金考点考点1 函数图象的认识函数的图象读图与识图的关键是弄清函数图象上点的意义即横坐标与纵坐标的意义。图11.1.3-1例1如图11.1.3-1，乌鸦口渴到处找水喝，它看到了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌牙喝不着水，沉思一会后，聪明的乌鸦衔来了一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水。在这则乌鸦喝水的故事中，设从乌鸦看到瓶的那刻起向后的时间为x，瓶中水位的高度为y，下列图象中最符合故事情景有是（ ） 点拨从四个选项中收集相关信息，找出与题设给定的故事情景相吻合解答选D注意的问题1原瓶中无石子就有水，反映在图象上是y轴上的一个点；2瓶中水位的高度随着时间推移，石子入瓶数量增多而缓慢上升，反映在图象上是一斜曲线；3是乌鸦喝不着，深思一会儿，反映在图象上是一条与x轴平行的线段；4乌鸦喝到了水后，瓶中水位下降，不可能比原有水面高度低考点2 画函数图象函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是曲线、抛物线等，它形象直观地反映两个变量之间的关系，是研究函数的重要工具。例 用描点法画出函数y=的图象。点拨:用描点法画函数图象的步骤是：列表、描点、连线。解答（1）列表:x00.51234y=00.711.41.72（2）描点:在坐标平面内描出表中对应值组成的点；12345120图11.1.3-2（3）连线:用平滑曲线，按自变量由小到大的顺序把所描各点连接起来，就得到y=的图象，如图11.1.3-2所示温馨提示1列表时一定要在自变量的取值范围内取值，取值原则是取比较合适的关键点，2描点时要把关键点准确地描出，3连线时画出的图象不能超出自变量的限制区域考点3 函数的表示法函数的不同表示法之间可以互相转化，有时需要几种方法同时使用。例 对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华温度表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系，从温度计的刻度上可以看出，摄氏温度x（）与华氏温度y（）有如下的对应关系:x（）-100102030y（）143250688610203001020304050607080-10Ax()y()图11.1.3-3（1）试确定y与x之间的函数关系式，并画出函数的图象；（2）某天，南昌的最高气温是25澳大利亚悉尼的最高气温是80，问这一天哪个地区的最高气温较高？点拨（1）表中通过5组数值反映了摄氏温度x（）与华氏温度y（）之间的对应关系，从中可以发现摄氏温度每增加10，华氏温度增加18，则摄氏温度每增加1，华氏温度增加1.8，由此可以确定y与x之间的函数关系式，并根据表格画出函数图象。（2）将两地温度统一为同一个温度单位比较或利用函数图象进行比较解:（1）根据题意，得 y=32+1.8x，画函数图象如图11.1.3-3所示（2）当x=25时，y=32+1.825=77则这天南昌的最气温是77，因此悉尼的最高气温较高也可根据函数图象进行比较当x=25时，图象上点A的纵坐标略小于80，则表明悉尼的最高气温度较高方法规律函数的三种表示方法之间在一定条件下可以相互转化，和谐对应 名师开小灶金钥匙图象信息例（2007襄樊）学校离小明家距离为2千米，某天他放学后骑自行车回家，行驶了5分钟后，因故停留10分钟，然后又行驶了5分钟到家。在图11.1.3-4中能大致描述他回家过程中离家的距离s（千米）与所用时间t（分）之间的函数关系的是（ ）A.B.图11.1.3-4点拨本题可分三个时间段，在图象上也对应由3条线段组成，其中关键又在第二段小 明因故停留10分钟，此时间段时间t增加，但路程s不变，在图象上则表现为一段与x轴平行的线段 解答选D方法点评本题函数图象是由几条线段组成的折线，其中每条线段的左、右两端的横坐标之差表示了相应的时间段的长，纵坐标表示小明离家的距离综合运用例 某校办工厂现在每年产值是15万元，计划今后每年增加2万元，（1）写出年产值y（万元）与年数x之间的函数关系式；（2）画出函数图象；（3）求5年后的年产值 点拨画函数图象时，不能超过函数自变量的取值范围 解答 （1）函数关系式为y=15+2x，其中自变量的取值范围是x0（2）列表:x0123456y=15+2x15171921232527描点、连线，得出函数图象，如图11.1.3-5所示12345670369121518212427xy图11.1.3-5（3）当x=5时，y=15+25=25，求5年后的产值，也可以从函数图象上看:x=5时，y=25，所以5年后的年产值是25万元方法点评画函数图象应注意自变量的取值范围，这里自变量x0，由此可知，函数图象应是一条射线而不能画成线段或直线，当函数图象有端点时，若端点不在函数图象上，则用空心圈表示它，若端点在函数图象上，则要画成实心点能力拓展例 已知函数y=2x+3（1）试判断点A（-1，1），B（，-1）是否在此函数图象上；（2）若点P（m,-3）是此函数图象上的一点，求P点的坐标。点拨（1）将A、B两点的坐标分别代入解析式y=2x+3，看是否满足此解析式，从而判断各点是否在函数图象上；（2）把x=m，y=-3代入y=2x+3中建立关于m的一元一次方程，求出m的值解答（1）当x=-1时，y=2(-1)+3=1满足函数解析式；当x=时，y=2+3=4-1，不满足函数解析式，所以点A在此函数图象上，而点B不在此函数图象上(2)因为点P（m，-3）在函数y=2x+3上，所以2m+3=-3，解得m=-3，所以点P的坐标为（-3，-3）方法规律函数图象上点的坐标满足函数的解析式，反之，坐标满足函数解析式的点在此函数图象上，也可以由函数解析式求出函数图象上的点的坐标数形结合例（2007德阳）某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件，他们一天生产零件y（个）与生产时间t（小时）的函数关系如图11.1.3-6所示 图11.1.3-6（1）根据图象填空:甲、乙中， 先完成一天的生产任务；在生产过程中， 因机器故障停止生产 小时。当t= 时，甲、乙两人生产的零件个数相等（2）谁在哪一段时间内的生产速度最快？求该段时间内，他每小时生产零件的个数 点拨（1）图象分别反映了甲、乙两名工人生产零件个数y随着生产时间t变化的情况，由函数图象可知，其中一段平行于x轴的线段表示甲工人有一段时间因机器故障停止生产，而两条折线段的交点说明在某时刻甲、乙两人生产的零件个数相等（2）谁在哪一段时间内，生产零件个数多，则谁的生产速度快解答（1）甲，甲，乙 3，5.5（2）甲在47时的生产速度最快为=10（个）方法规律阅读函数图象，利用获取信息解决相关问题的一般方法:一读懂题意 二看懂图象 三由形思数，由数想形，进行数形结合14.2一次函数14.2.1 正比例函数知能新视窗知识结构正比例函数图象的画法正比例函数的性质图象分布的象限增减性k的符号观察归纳 学点博览学点1 正比例函数形如y=kx（k是常数，k0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数理解要点:1由正比例函数定义可知:函数是正比例函数其解析式可化为y=kx（k是常数，k0）的形式2正比例函数解析式y=kx，（k是常数，k0）的结构特征:（1）k是常数，k0；（2）x的次数是1 （3）自变量x的取值范围:一般情况下，正比例函数中自变量的取值范围是全体实数学点2 正比例函数的图象一般地，正比例函数y=kx（k是常数，k0）的图象是一条经过原点的直线，称它为直线y=kx理解要点:1正比例数y=kx（k是常数，k0）的图象是经过原点（0，0），和（1，k）两点的一条直线，在坐标平面内经过原点（0，0）的直线（与x轴、y轴不重合）是正比例函数的图象2画正比例函数y=kx（k是常数，k0）图象的步骤:（1）列表:X01Y0k（2）描点:在坐标平面内描出点（0，0），点（1，k）；（3）连线:过点（0，0），点（1，k）连成一条直线3.满足函数解析式y=kx（k是常数，k0）的点（x,y）在其对应的图象即直线l上，反之，直线l上的点的坐标（x,y）满足y=kx（k是常数，k0）也就是说，直线l上的点与满足函数关系式y=kx（k是常数，k0）的点（x,y）是一一对应的学点3 正比例函数的性质正比例函数y=kx（k是常数，k0）的性质:（1）当k0时，直线y=kx经过一、三象限，从左到右上升，即随着x的增大，y也增大；（2）当k0时，直线y=kx经过二、四象限，从左到右下降，即随着x的增大，y反而减小理解要点:正比例函数y=kx（k是常数，k0）中，k的符号，图象的分布位置，增减性三者之间，只要知道其中一个问题，就可以对另外两个问题作判断:正比例系数k（k0）的符号图象分布的象限增减性 名师开小灶金考点考点1 正比例函数学习正比例函数定义时，要弄清解析式中各个字母的意义，知道哪些是常量，哪些是变量，哪个是自变量，哪个是函数还应知道对自变量次数和系数的限制条件分别为1和k0例1下列函数中，哪些是正比例函数？（1）y=- （2）y= （3）y=6x2+x（1-6x） （4）y=3x+1点拨首先看函数解析式能否经过恒等变形，转化为y=kx（k0）的形式，如果能，那么它就是正比例函数方法总结:将函数解析式经过恒等变形满足是否符合正比例函数解析式y=kx（k0）的结构特征若符合则是正比例函数，否则不是。解答（1）y=-，即y=-x，其中k=-,y=-是正比例函数；（2）y=不是整式，不能转化为y=kx（k0）的形式，y=不是正比例函数；（3）y=6x2+x(1-6x)经过恒等变形，转化为y=x，其中k=1，y=6 x2+x(1-6x)是正比例函数；（4）y=3x+1，不是y=kx的形式，y=3x+1不是正比例函数考点2 正比例函数图象正比例函数的图象是过原点的直线，而两点确定一条直线，因此，画y=kx（k0）的图象时，除原点外，只要确定一点即可例2在同一坐标系中，画出函数y=3x，y=-3x的图象点拨画函数y=3x的图象，取（0，0）、（1，3）较简便，画函数y=3x的图象，取（0，0）、（1，-3）较简便解答1列表:x01y=3x 03x01y=-3x 0-32描点、连线如图1.1.2.1-1所示0-1-2-3-5-4-1-2-3-4-551234678yx123456y=-3xy=3x图11.2.1-1 方法规律正比例函数图象恒过（0，0）与（1，k）两点，画函数图象时通常取这两个点比较简便，但要结合具体情况，当k不是整数时，应取x值使kx、x均为整数，使作图方便、准确，如画y=x的图象时，可过点（0，0）和（3，2）两点画直线即可。如画y=3x（1x10）的图象，可过（1，3）和（10，30）两点画线段考点3 正比例函数性质研究一个正比例函数性质，要根据其函数关系式，再结合图象，即要研究其一般性质，又要研究它的图象位置情况，图象是上升还是下降，以此研究其函数与自变量的对应关系例3已知y=是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值为 点拨 y=是正比例函数的条件是m2-3=1且2m-10，要使y随x的增大而减小，还应满足2m-10，综合上述条件可得m的值 解答根据正比例函数的定义和性质，y=是正比例函数且y随x的增大而减小的条件是： 解得m=-2, 当m=-2时, y=是正比例函数且y随x的增大而减小方法规律根据正比例函数定义和性质，列不等式组求解 名师开小灶金钥匙能力拓展例1函数具有下列两条性质:（1）它的图象是一条经过原点的直线；（2）y随x的增大而减小0-1-2-3-4-1-2-3-41234yx1234y=-0.5x请你举出一个满足上述条件的函数，写出解析式，画出图象。点拨由条件（1）可知该函数是正比例函数； 由条件（2）可知正比例系数k0解答函数解析式:y=-5x列表:x02y0-1描点、连线 如图11.2.1-2所示. 图11.2.1-2解题关键熟练掌握正比例函数图象和性质是解决正比例函数问题的关键，对于答案不唯一的问题，只要写出一个符合题目要求的答案即可数形结合例2已知正比例函数y=(2m-1)x的图象上两点A（a1,b1），B（a2,b2），当a1a2时有b1b2，则m的取值范围是（ ） Am Bm Cm2 Dm0点拨用画示意图的方法探索当a1a2时，有b1b2所表达的意思解答当a1a2时，有b1b2，表明正比例函数y=(2m-1)x，当x增大时，y反而减小，2 m-10，从而m ，选A方法规律对于直线（如正比例函数图象），由一般的两点坐标数值的变化能反映出函数的取值情况即函数的增减性图表信息例3某校厨房有一太阳能热水器，其水箱的最大蓄水量为1200升，已知水箱的蓄水量y（升）与匀速注水时间x（分钟）的情况有如下关系:x（分钟）02468y（升）080160240320x（分钟）y（升）801602403202846图11.2.1-3（1）根据上表中的数据，在坐标系中描点、连线后你发现这点在哪一种图形上？猜一猜符合这个图形的函数解析式，并验证上表各点的坐标是否满足函数解析式（2）求自变量x的取值范围点拨描点观察，合理猜想解答（1）描点如图11.2.1-3所示，观察图象可以发现这些点在一条过原点的直线上（图中虚线部分），猜想y与x的函数关系式为y=kx(k0)，将点（2，80）代入得k=40，通过验证发现点（4，160）、（6，240）也符合y=40x（2）自变量x的取值范围是0x30方法总结1猜想的结论不一定正确，一定要进行验证（证明），否则会犯以偏概全的错误2函数的图象不能超出自变量的取值范围，此题函数图象是线段而不是直线综合运用例4已知y+a与x-b成正比例（其中a、b为常数），且当x=1时y=3；当x=2时y=5，试确定y与x之间的函数关系式，并判断是否是正比例函数点拨 y+a与x-b成正比例满足正比例函数的一般形式y=kx(k0)，这里把（y+a）和（x-b）分别看成整体，代入x、y对应的值，即可求解解:y+a与x-b成正比例设y+a=k（x-b），（k是常数，k0）得:y=kx-（kb+ a）当x=1时y=3；当x=2时y=5 解得y与x之间的关系式为y=2x+1，不是正比例函数解题关键先把y+a= k（x- b）化为y=kx-（kb+ a）（k0）再把（kb+a）看作一个整体是解本题的关键14.2.2 一次函数知能新视窗图象分布的象限一次项函数的性质k、b的符号观察归纳一次函数知识结构 一次函数的图象 一次函数解析式的确定学点博览学点1 一次函数一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k0）的函数，叫做一次函数理解要点:（1）一次函数解析式的结构特征是：k0；x的次数是1；常数b可以是任意实数（2）自变量x的取值范围：一般情况下，一次函数中自变量的取值范围是全体实数，但在实际问题中，自变量的取值范围要使实际问题有意义（3）若已知变量y是x的一次函数，则可设函数关系式为y=kx+b（k0）反之亦然（4）正比例函数与一次函数的关系一次函数正比例函数图11.2.2-1当b=0时，y=kx+b即y=kx，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数但一次函数不一定是正比例函数，用集合表示正比例函数与一次函数的关系如图11.2.2-1所示.学点3 一次函数的图象一次函数y=kx+b的图象是一条直线，我们称它为直线y=kx+b理解要点:1一次函数y=kx+b的图象，可以看作直线y=kx平移|b|个单位长度而得到（当b0时，向上平移；当b0时，向下平移），正比例函数y=kx的图象是过点（0，0）的一条直线，而一次函数y=kx+b的图象是过点（0，b）的一条直线2、一次函数图象的画法：由于两点确定一条直线，因此画一次函数图象时，通常先在坐标系中描出适合关系式的两点，再连成直线，为了方便，一般选取两个特殊点：直线与y轴的交点（0，b），直线与x轴的交点（-，0）但也不必一定选取这两个特殊点学点4 直线y=kx+b（k0）的位置关系与k、b符号之间的关系直线y=kx+b（k0）的位置是由k和b符号来决定的，其中k的符号决定直线从左到右呈上升趋势还是下降趋势；b的符号决定直线与y轴的交点的位置是在y轴的正半轴上还是在y轴的负半轴上，还是在原点理解要点：学点5 两条直线的位置关系若直线 l1和l2的解析式分别为y=k1x+b1和y=k2x+b2，则它们有平行、相交和重合三种位置关系理解要点：直线l1和l2位置关系可由其系数确定（1）当k1k2时，直线l1与直线l2相交（l1与l2有且只有一个交点）；（2）当k1=k2，且b1b2时，直线l1与直线l2平行（l1与l2没有交点）；（3）当k1=k2且b1=b2时，直线l1与直线l2重合（l1与l2有无数个交点）在（1）中，可通过解方程组，求出交点坐标学点6 一次函数解析式的确定确定一个一次函数，需要确定一次函数y=kx+b（k0）中的常数k和b，解决这类问题一般方法是待定系数法理解要点：1待定系数法：先设出函数的解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法。其中的未知数也称为待定系数，如正比例函数y=kx中k，一次函数y=kx+b中的k和b，都是待确定的系数2用待定系数法求函数解析式的一般步骤：（1）设出含有待定系数的解析式；（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于待定系数方程（组）；（3）解方程（组），求出待定系数；（4）将求出的待定系数的值代入所设的解析式3用待定系数法确定正比例函数和一次函数的解析式应具备的条件：确定正比例函数y=kx(k0)的解析式，只需已知一组自变量及对应的函数值；而确定一次函数y=kx+b(k0)的解析式则需要两组 名师开小灶金考点考点1 一次函数函数是一次函数其解析式可化为y=kx+b（k,b为常数，k0)的形式例：下列函数中是一次函数的序号是 ，是正比例函数的序号是 。（1）y=- (2)y= (3)y=3x2+7 (4)y=8+2（x-4） (5)y=2(x-3)点拨先变形，后根据一次函数和正比例函数的定义进行判断解答（1）y=-，即为y=-x，其中k=-,b=0y=-是正比例函数，也是一次函数。 （2）y=，不是整式，不能化成为y=kx+b的形式 y=不是一次函数，也就不是正比例函数 （3）y=3x2+7，x的次数是2次，y=3x2+7不是一次函数，也不是正比例函数 （4）y=8+2(x-4) 能变形为y=2x 是正比例函数，也是一次函数 （5）y=2(x+3) 能变形为y=2x+3 是一次函数，但不是正比例函数综上所述（1）、（4）、（5）是一次函数，（1）、（4）是正比例函数方法规律先看函数解析式能否通过恒等变形，转化为y=kx+b（k,b为常数，k0)的形式，若能，则是一次函数，当b=0，则该函数是正比例函数考点2 正比例函数和一次函数的关系例2已知函数y=(m-3)x3-|m|+m+2（1）当m为何值时，y是x的正比例函数？（2）当m为何值时，y是x的一次函数？点拨在一次函数定义中，只需关注k0和x的次数是1即可，而在正比例函数定义中不但要关注k0和x的次数是1,而且还要关注b=0解答（1）由正比例函数定义可知，m的值应满足 解得m=-2所以当m=-2时，y=(m-3)x3-|m|+m+2是正比例函数（2）由一次函数定义可知，m的值应满足 解得m=2，所以当m=2时，y=(m-3)x3-|m|+m+2是一次函数方法规律根据一次函数和正比例函数的定义，列不等式组求解考点3 一次函数的图象一方面，一次函数y=kx+b的图象可以用描点法画出；另一方面，一次函数y=kx+b的图象经过点（0，b）且平行于y=kx（k0）的一条直线，因此在画它的图象同正比例函数类似，只要确定图象上两点即可例3已知函数y=2x-4（1）画出它的图象；（2）观察图象，求当x取何值是y0, y=0, y0？点拨先找图象上的两点，由这两点确定的直线即为求作的该一次函数的图象，再观察图象得出当x取何值时y0, y=0, y02-2O24-4-2xy图11.2.2-2 解答（1）x02y-40画出图象如图11.2.2-2所示（2）观察图象，当x2时，y0；当x=2时，y=0;当x2时, y0.方法规律函数解析式y=kx+b满足条件的两点（x1,y1）和（x2,y2）一次函数的图象直线L画出选取（1） 由第（2）小题可知，本题最好取直线与坐标轴的两个交点（2）函数值的范围是：在x轴的上方，所有的y值都大于0；在x轴上，所有的y值都等于0；在x轴的下方，所有的y值都小于0考点4 一次函数的性质一次函数y=kx+b(k0，k,b为常数)的性质理解是一个重点，我们应把图象和k值正、负结合起来理解。例4已知一次函数y=kx-k，且y随x的增大而减小，则该函数图象经过（ ）A第一、二、三象限 B第一、二、四象限C第二、三、四象限 D第一、三、四象限点拨由一次函数y=kx-k的函数值y随x的增大而减小，可断定k和-k的符号综合k,-k的符号确定函数y=kx-k的图象在直角坐标系中的位置解答 一次函数y=kx-k的函数值y随x的增大而减小，k0, -k0该函数图象经过一、二、四象限，选B方法规律本题先根据一次函数的性质确定k和b（即-k）的符号，再确定函数图象经过的象限考点5 一次函数解析式的确定确定一次函数解析式关键是要求出一次函数y=kx+b(k0)中的常数k和b，通常用待定系数法例5（2007贵州）一个函数图象过点（1，2），且y随x增大而增大，则这个函数的解析式为（任写一个） 点拨设此一次函数的解析式为y=kx+b，因为它的图象过点（1，2），所以满足y=kx+b，从而得到关于k、b的方程再由y随x的增大而增大，得k0,在k的取值范围内任取k值代入到关于k、b的方程中，得b的值解答设一次函数解析式为y=kx+b（k0），将（1，2）代入y=kx+b中，得k+b=2y随x的增大而增大，k0，在k的取值范围内任取k值，如k=1，得b=1满足条件的一个解析式为y=x+1方法总结1“点在线上，坐标满足解析式”是确定函数解析式的基本方法。2开放性的题目答案不唯一，只要写出符合要求的答案即可 名师开小灶金钥匙能力拓展例1 已知一次函数y=kx+b中自变量x的取值范围为-2x6，相应函数值的范围为-11y9，求此函数解析式点拨一次函数的增减性全由k决定，所以必须对k的取值范围进行讨论。解答对k的取值分两种情况进行讨论：（1）当k0时，则y随x的增大而增大有当x=-2时，y=-11；当x=6时，y=9代入y=kx+b，得， 解之得函数解析式为y=x-6（2）当k0时，则y随x的增大而减小，有当x=-2时，y=9；当x=6时，y=-11代入y=kx+b，得 ，解之得 函数解析式为y=-x+4 综上所述，符合条