沿着“大长河”露营.doc

2012*大学第四次建模模拟承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： *大学 参赛队员 (打印并签名) ：1、 * 2、 * 3、 * 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 日期： 2012 年 月 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：沿着“大长河”露营摘要问题要求我们给出最优的排程方案，尽可能多地安排旅行次数，并且尽可能少地使旅行中的船只相遇。通过对问题的分析并结合实际情况，我们认为在这六个月中游客到来的概率服从正态分布，并将其划分为两种时段即游客高峰时段（第天至第天）和非高峰时段。在高峰时段，由于受露营地数目的限制，我们采用极端排程方案建立模型，并成功地给出了高峰期的旅游排程方案。同时也发现了每年的最大旅游次数和露营地数目之间的关系，并计算出了当时对应的。在非高峰时段，由于游客数目较少，为了使在满足条件的基础上为游客留下足够的空间安排自己的计划我们建立了基于速度控制的非高峰时期的旅行方案模型，作为管理者只要为每条船确定每天最小的行驶距离即可，旅行中游客可以自由安排具体的计划。在游客高峰阶段，由于旅行安排比较紧密，每日的行驶路程较远（37.5英里45英里），故应尽量为游客安排机动帆船；在非高峰阶段，由于每日行驶的距离比较短，应尽量为游客准备橡胶筏。关键字： 正态分布 极端排程 速度控制一、 问题重述在一条长为225英里且顺流而下的河上，人们开始了他们的水上露营旅游。本次旅游可以选择两种不同的船只：一种为平均4英里/小时的以浆作为动力的橡胶筏；另一种为平均8英里/小时的机动帆船。目前，每年在六个月的旅游开放时段内(一年的其余部分的天气对于河流旅行来说太冷)，共可安排X次旅行。整个旅行河道上共有Y处露营地，露营地均匀的分布在整个河道，整个旅行从开始到结束会经历6至18个夜晚。所以，我们提出了两个问题。问题一：如何安排一个最优的混合旅行方案，在露营地一定的条件下，不同的时间(单位为夜)和推动方式(马达或浆)，最大限度的利用露营地，同时使得行驶的船只最少的接触到在河上其它的船只。问题二：对河流的承载能力提出相关的意见，以及向河流的管理者描述我们自己的主要发现。二、问题分析本题要求给出某种排程方式，使得在河流旅行中能够尽可能多地安排旅行次数。游客可以选择平均4英里/小时的以桨作为动力的橡胶筏或者平均8英里/小时的机动帆船旅行，同时要求每一次旅行都要尽可能少地接触到河上的其它船只以尽可能地享受野外经历。这里，我们可以首先弱化“要尽可能少地接触到河上的其它船只”这个条件。又由于我们仅知道两种不同交通工具的时速，题中并没有关于行驶时间的规定，那么我们可以认为其行驶时间可以由我们根据要求而定。我们又知道速度和时间的乘积为每天行驶的路程，那么为了简化模型我们在建模过程中可以用每条船每天行驶的路程来表示交通方式（不同交通方式代表了不同的行驶速度）和行驶时间的综合结果，而并不再出现交通方式及每天的行驶时间。 对漂流季节的游客及露营地情况的分析由题意可知，在大长河每年有六个月适宜河流旅行，而在其他六个月由于天气太冷而不适宜进行。那么，由常识可知在适宜进行河流旅行的六个月中，刚开始的一段时间和即将结束的一段时间里天气是偏冷的，前来露营的游客是比较少的；而在这六个月的中间时段天气是温暖的，前来露营的游客是比较多的。也就是说，在这六个月中前来露营的游客人数会由于天气原因先由零逐渐增加至最值，再逐渐减少至零。因此，我们认为在适宜河流旅行的六个月中不同时间游客到来的概率先由零逐渐增加至最值，在逐渐减少至零。根据以上考虑，我们假设在适宜河流旅行的六个月中不同时间游客到来的概率服从正态分布，其概率密度函数为，利用Matlab作出其图形为（程序见附录一，其中横坐标代表0180天，纵坐标表示相应概率）：图1对于露营地，可以均匀分布在河流的两岸也可以均匀地分布在河岸的其中一边，为了尽可能减少游客遇到其他船只的次数（即为了减少游客露营时可以隔河相望的情况）我们假定所有露营地均匀地分布在河岸的同一边,示意图如下： 共225英里 下水点 1 2 Y-1 Y 结束点 共Y个露营地图2也就是说，如图共225英里的距离被分为段，任意一段的长度为英里。 对极端排程方案的说明：所谓极端排程方案是我们自己定义的一种排程方式，这种方案是用于解决在总资源量一定时为了使其利用率达到最大时所适用的较简单的方案。以本题为例对其具体工作方式进行说明：假设在将来的几天内，每天都会有条船从下水点出发，为了使将来一段时间内露营地的利用率达到最大，我们的方法是首先确定这条船第一天的行驶路程并根据第一天行程由短到长将船编号为,，并且在第一天晚上使船抵达露营地。第二天至船到达结束点为止要求条船每天行驶的距离相同并且使第日晚上船抵达露营地。第天出发的船标记为，,，并且它们的行程安排完全重复第一天的条船，这样在一段时间后，所有的露营地会以100%的利用率被使用。下面我们以为例，作图表示船的排程方案第一天：出发点 1 2 3 4 5 6 7 8 结束点 图3第二天：出发点 1 2 3 4 5 6 7 8 结束点 图4 对游客人数处于高峰阶段时的分析 由题意我们知道，由于漂流的受欢迎度上升，在旅游的高峰期（即在第90天附近时）游客所要求的旅行次数肯定已超过了目前河流的承载能力。在高峰期阶段，为了能够尽可能多地安排旅行次数，同时又考虑到露营地数目的限制，我们应该使露营地的使用率达到最大（即每天晚上使用的露营地占总露营地比例最大）。为了建模的方便，我们将峰值附近（即第90天附近）从第天开始至第天为止的天看做高峰期，每天的游客数目看成定值，并且这个数目是我们每天所能安排的最大的旅行次数。三、模型假设 整个过程中不考虑天气、河道水流量等非人为因素； 适宜河流旅行的六个月每月均为30天，即每年适宜漂流时间共180天； 每年适宜河流旅行季节不同时间游客到来的概率服从正态分布； 露营地仅分布于河流的同一侧； 所有游客都会严格遵从出发前的要求，不会自行更改；四、符号说明:河流长度；：相邻两露营地间的距离；：第天出发的第条船；：模型一中船只每天行走的最大距离；:在高峰期每天出行的旅游船最大数目；：在高峰期的天内河流中出行的船只数；增大旅行次数后，公园每年的河流旅行次数；：在高峰期时天时间内安排的河流旅行次数；：在非高峰期将时间轴划分为小段取的天数；：在模型二中天时间游客的总人数；：天时间中每天平均的游客数；:模型二中，为每条船规定的每天行驶的最小距离；五、模型分析及求解5.1模型一 基于极端排程方案的高峰期旅行方案模型：根据对极端排程方案的说明，我们知道此方案能够使某一固定资源（此处为露营地数量）的利用率达到最大，而且方法相对比较简单。又根据对于高峰期游客人数的分析，可知高峰期时应尽量使露营地的使用率达到最大，二者正好吻合。因此，我们就利用极端排程方案来确定高峰期的旅行方案。假设船第一天的行驶距离为，且,那么每天可安排的旅行船数为,也有。其余船只在第一天行驶的距离为,从第二天开始至到达结束点这条船每天行驶的距离均为。若船在第天到达结束点，那么在高峰期的天内河流中出行的船只数为，且露营地的利用率为100%。模型可表述为：同时，我们知道在地天结束时，河道上的船只数为,露营地的利用率达到100%，则有：； 经过化简后得：； 在这天内，一共安排的旅行次数为 在此处，我们要尽可能多地安排旅行次数，因此每日应该安排尽可能多的船只旅行，又由于露营地数目的限制，所有船只应以最少的时间花费完成旅行，因此此处的应该取最小值为6，且每天从出发点出发的旅行船只数目应尽可能大。高峰期是从第天开始至第天为止的天，在这一段时间内会有次河流旅行，又由游客的到来人数服从正态分布知： ； 由此我们可以求出公园每年的河流旅行次数。下面我们假定（即从第84天到第96天为高峰期），则可知积分，设，根据三式我们可以相应地求出对应的及,结果如下表（过程见附录二）：203040Z33750667537.5英里45英里这种情况下，选用不同交通工具需要的行驶时间如下：交通工具橡胶筏（4公里/小时）机动帆（8公里/小时）所需时间（小时）9.411.254.75.6由表可知：当采用橡胶筏作为交通工具时，每天要行驶9.411.25小时；当采用机动帆船作为交通方式时，每天要行驶4.75.6小时。由实际情况可知，在这种情况下肯定要为游客安排机动帆船作为交通工具。我们同时注意到，虽然我们在问题分析中提到弱化“要尽可能少地接触到河上的其它船只”这个条件，而且我们在模型建立的过程中也确实没有将其考虑在内，但是由于我们所使用的极端排程方案自身的特点，在游客高峰期所得方案完全能够满足不会使任意两条船在旅游中途相遇。即我们所建立的模型中，任意两条旅游船只在中途相遇的情况为零。综上，我们在高峰期提出的安排方案为：在高峰期自第天至第天，公园每天安排条机动帆船进行河流旅行，第一天这些帆船分别行驶公里的距离到第个露营地过夜；从第二天开始至抵达结束点为止，所有机动帆船都要行驶公里的距离，当天晚上在距离当天早上个露营地的位置过夜；第一天出发的船中前条会在第六天到达结束点，其余船只会在第七天到达结束点，以后出发的船依此类推。并且在第六天晚上露营地的利用率就可以达到100%并一直持续到第天，在此阶段中任意两条船都不会在旅行的中途相遇。5.2模型二 基于速度控制的非高峰时期的旅行方案模型在游客高峰期之前及之后，由于游客人数不会像高峰期那样出现大量集中的情况，露营地数量不会那么明显地限制旅游船只的数量。因此，我们希望提出一种旅行方案既能满足题目要求又能使游客尽可能自由地安排自己计划的旅行方案，即基于速度控制的旅行方案。在游客高峰期之前和之后的非高峰期（即第1至第天和第至第180天），我们选定每天为一个时间段（是比较小的一个数，且当人数的变化越快时的取值越小），在第一个模型中我们知道可以求出每年的河流旅行次数，那么我们就可以求出在这天内的旅游次数（例如第0至第天的旅游次数为），对其进行求平均。由于后一天会有一定数量的船只下水旅行，同时又为了避免两船只相遇，我们规定每一条船每天至少行驶的距离,使得前一天出发的船后面有足够的露营地供后一天出发的船只使用，而后一天出发的船只又不会超过前一天出发的船只而造成相遇的情形。数学模型为：据此就可以完成对非高峰期的旅游的排程方案，我们只要为每一条船确定最小的行驶距离即可，至于具体安排可供每一条船上的游客自由安排，最大限度地满足游客的意愿。六、模型评价6.1模型优点： 模型将游客到来的规律看作正态分布，非常真实地反应了实际情况； 模型中用船只每天的行驶距离来综合代替交通方式的选择和船只每天的行驶时间，使模型更加简便； 两个模型对我们划分的两种不同的时段都给出了很好的旅游排程方案。6.2模型缺点：正态分布概率密度函数的值设定为25，结果有大约77%的游客都会在第90天前后的12天之内出现，说明的值太小了； 由于正