第1讲 易错易混易忘数学问题学生答案.doc

第1讲:几个易错易混易忘数学问题分析例1:设，若，求实数a组成的集合的子集有多少个？易错点分析：此题由条件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的a值产生漏解现象。解析：集合A化简得，由知，故（）当时，即方程无解，此时a=0符合已知条件（）当时，即方程的解为3或5，代入得或。综上满足条件的a组成的集合为，故其子集共有个。练习1:已知集合、，若，则实数a的取值范围是 。答案：或。例2、已知,求的取值范围. 易错点分析：此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于x的函数最值求解，但极易忽略x、y满足这个条件中的两个变量的约束关系而造成定义域范围的扩大。解析：由于，得(x+2)2=1-1，-3x-1，从而x2+y2=-3x2-16x-12=+，因此当x=-1时x2+y2有最小值1, 当x=-时，x2+y2有最大值。故x2+y2的取值范围是1, 例3、是R上的奇函数，（1）求a的值，（2）求的反函数易错点分析：求解已知函数的反函数时，易忽略求解反函数的定义域即原函数的值域而出错。解析：（1）利用（或），求得a=1.（2）由，即，设,则，由于，故，而，所以例4:已知函数为常数）,且方程有两个实根为（1）求函数的解析式； （2）设,解关于的不等式：解（1）将得（2）不等式即为即当当 .例5、已知函数（1）如果函数的定义域为R,求实数m的取值范围。（2）如果函数的值域为R,求实数m的取值范围。易错点分析：此题学生易忽视对是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。另一方面对两个问题中定义域为R和值域为R的含义理解不透彻导致错解。解：（1）据题意知若函数的定义域为R即对任意的x值恒成立，令，当=0时，即或。经验证当时适合，当时，据二次函数知识若对任意x值函数值大于零恒成立，只需解之得或，综上所知m的取值范围为或。（2）如果函数的值域为R即对数的真数能取到任意的正数，令当=0时，即或。经验证当时适合，当时，据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需解之得，综上可知满足题意的m的取值范围是。例6、已知二次函数满足，且对一切实数恒成立. 求； 求的解析式；求证：易错点分析：对条件中的不等关系向等式关系的转化不知如何下手，没有将二次不等式与二次函数相互转化的意识，解题找不到思路。解：（1）由已知令得： （2）令由得： 即则对任意实数恒成立就是 对任意实数恒成立，即： 则（3）由（2）知 故 故原不等式成立例7、记，若不等式的解集为，试解关于t的不等式。易错点分析：此题虽然不能求出a,b,c的具体值，但由不等式的解集与函数及方程的联系易知1,3是方程的两根，但易忽视二次函数开口方向，从而错误认为函数在上是增函数。解：由题意知，且故二次函数在区间上是增函数。又因为，故由二次函数的单调性知不等式等价于即故即不等式的解为：。例8、设无穷等差数列an的前n项和为Sn.()若首项，公差，求满足的正整数k；()求所有的无穷等差数列an，使得对于一切正整数k都有成立.易错点分析：本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.学生在解第()时极易根据条件“对于一切正整数k都有成立”这句话将k取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。解：（I）当时， 由，即 又.（II）设数列an的公差为d，则在中分别取k=1,2,得（1）（2） 由（1）得 当 若成立,若故所得数列不符合题意.当 若 若. 综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：an : an=0，即0，0，0，；an : an=1，即1，1，1，；an : an=2n1，即1，3，5，例9、1、已知在ABC中，sinA（sinBcosB）sinC0，sinBcos2C0，求角A、B、C的大小.2、在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且 （）求角B的大小 （）若，求ABC的面积.易错点分析：本题在解答过程中若忽视三角形中三内角的联系及三角形各内角大小范围的限制，易使思维受阻或解答出现增解现象。解法一 由得所以即因为所以，从而由知从而、.由即由此得所以解法二：由由、，所以即由得 所以即因为，所以由从而，知B+2C=不合要求.再由，得所以2.思维分析根据正弦定理和余弦定理将条件化为三角形边的关系或角的关系解答。（）解法一：由正弦定理得将上式代入已知即故A+B+C=，为三角形的内角，. 解法二：由余弦定理得将上式代入整理得为三角形的内角，. （）将代入余弦定理得例10、设，与的夹角为1与的夹角为2，且的值.易错点分析：此题在解答过程中，学生要将向量的夹角运算与三角变换结合起来，注意在用已知角表示两组向量的夹角的过程中，易忽视角的范围而导致错误结论。解：故有：因，从而练习：已知向量和，且求的值. 解法一：由已知，得又所以解法二：由已知，得，例11、ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且345=。求数量积，；求ABC的面积。思维分析：第1由题意可知3、4、5三向量的模，故根据数量积的定义及运算律将一向量移项平方即可。第2问据题意可将已知三角形分割成三个小三角形利用正弦理解答。解析：|=|=|=1由345=得：34=5两边平方得：9224162=252 =0同理：由45=3求得=由35=4求得=由=0,故=|=由=得cosBOC= sinBOC=|sinBOC=，由=得cosCOA=sinCOA= =|sinCOA=即=练习：（1）（2005全国卷）ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c，已知a,b,c成等比数列，且cosB。（1）求cotA+cotC的值；（2）设，求的值。解：（）由 由b2=ac及正弦定理得 于是 （）由 由余弦定理：b2=a2+c22accosB 得a2+c2=b2+2accosB=5. 例12、已知二次函数f(x)对任意xR，都有f(1x)=f(1x)成立，设向量=(sinx,2)，=(2sinx,)，=(cos2x,1)，=(1,2)，当x0,时，求不等式f()f()的解集.易错点分析】易忽视二次函数的开口方向的讨论和三角、向量、函数三者的综合程度不够。解：设f(x)的二次项系数为m，其图象上的两点为A(1x,y1)、B(1x,y2)，因为=1，f(1x)=f(1x)，所以y1=y2由x的任意性得f(x)的图象关于直线x=1对称，若m0，则x1时，f(x)是增函数；若m0，则x1时，f(x)是减函数。=（sinx，2）（2sinx,）=2sin2x11，=（cos2x，1）(1,2)=