（新课标）高三数学一轮复习 第8篇 第6节 圆锥曲线的综合问题课时训练 理.doc

【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习 第8篇 第6节 圆锥曲线的综合问题课时训练 理 【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线间的综合问题2、4、7、10直线与圆锥曲线的综合问题1、6、9、12、13圆与圆锥曲线的综合问题8、11、14、15、16、17圆锥曲线与其他知识的综合3、5基础过关一、选择题1.(2014泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的(b)(a)充分而不必要条件(b)必要而不充分条件(c)充要条件(d)既不充分也不必要条件解析:直线与双曲线相切时,只有一个公共点,但直线与双曲线相交时,也可能有一个公共点,例如:与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线只有一个交点.故选b.2.已知双曲线x24-y2b2=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(a)(a)5(b)42(c)3(d)5解析:抛物线y2=12x的焦点是(3,0),c=3,b2=c2-a2=5.双曲线的渐近线方程为y=52x,焦点(3,0)到y=52x的距离d=5.故选a.3.椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左顶点为a,左、右焦点分别为f1、f2,d是它短轴上的一个端点,若3df1=da+2df2,则该椭圆的离心率为(d)(a)12(b)13(c)14(d)15解析:设d(0,b),则df1=(-c,-b),da=(-a,-b),df2=(c,-b),由3df1=da+2df2得-3c=-a+2c,即a=5c,e=ca=15.4.(2015海口调研)抛物线y2=-12x的准线与双曲线x29-y23=1的两条渐近线所围成的三角形的面积等于(a)(a)33(b)23(c)2(d)3解析:y2=-12x的准线方程为x=3,双曲线x29-y23=1的渐近线为y=33x.设抛物线的准线与双曲线的两条渐近线的交点分别为a、b,由x=3,y=33x,求得a(3,3),同理b(3,-3),所以|ab|=23,而o到直线ab的距离d=3,故所求三角形的面积s=12|ab|d=12233=33.5.(2014河南省中原名校模拟)设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0),离心率e=2,右焦点f(c,0),方程ax2-bx-c=0的两个实数根分别为x1,x2,则点p(x1,x2)与圆x2+y2=8的位置关系(c)(a)在圆内(b)在圆上(c)在圆外(d)不确定解析:由e=2得a=b,故c=2a,所以方程ax2-bx-c=0化为ax2-ax-2a=0,即x2-x-2=0,故x1+x2=1,x1x2=-2.x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=12-2(-2)=1+22,显然(1+22)2=9+428,所以点p(x1,x2)在圆外.6.椭圆ax2+by2=1与直线y=1-x交于a、b两点,过原点与线段ab中点的直线的斜率为32,则ab的值为(a)(a)32(b)233(c)932(d)2327解析:设a(x1,y1),b(x2,y2),中点为m(x0,y0),将y=1-x代入ax2+by2=1,得(a+b)x2-2bx+b-1=0,故x1+x2=2ba+b,x0=ba+b,y1+y2=2-2ba+b=2aa+b,y0=aa+b,kom=y0x0=ab=32.二、填空题7.设椭圆c1的离心率为513,焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线c2上的点到椭圆c1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线c2的标准方程为.解析:对于椭圆c1,a=13,c=5,曲线c2为双曲线,c=5,a=4,b=3,则标准方程为x216-y29=1.答案:x216-y29=18.(2014哈师大附中模拟)双曲线c:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点为f(c,0),以原点为圆心,c为半径的圆与双曲线在第二象限的交点为a,若此圆在a点处切线的斜率为33,则双曲线c的离心率为.解析:如图,由题知abo=30,所以aob=60,oa=c,设a(x0,y0),则x0=-ccos 60=-c2,y0=csin 60=32c,由双曲线定义知2a=(-c2-c)2+(32c)2-(-c2+c)2+(32c)2=(3-1)c,e=ca=3+1.答案:3+19.(2014太原五中模拟)直线l过椭圆x22+y2=1的左焦点f,且与椭圆相交于p、q两点,m为pq的中点,o为原点.若fmo是以of为底边的等腰三角形,则直线l的方程为.解析:法一由椭圆方程得a=2,b=c=1,则f(-1,0).在fmo中 ,|mf|=|mo|,所以m在线段of的中垂线上,即xm=-12,设直线l的斜率为k,则其方程为y=k(x+1),由y=k(x+1),x22+y2=1得x2+2k2(x+1)2-2=0,即(2k2+1)x2+4k2x+2(k2-1)=0,xp+xq=-4k22k2+1,而m为pq的中点,故xm=12(xp+xq)=-2k22k2+1=-12,k2=12,解得k=22.故直线l的方程为y=22(x+1),即x2y+1=0.法二设p(x1,y1),q(x2,y2),m(x0,y0),由题意知kpq=-kom,由p、q在椭圆上知x122+y12=1,x222+y22=1,两式相减整理得kpq=y1-y2x1-x2=-x1+x22(y1+y2)=-x02y0,而kom=y0x0,故x02y0=y0x0,即x02=2y02,所以kpq=22,直线pq的方程为y=22(x+1),即x2y+1=0.答案:x2y+1=010.(2014高考山东卷)已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为2c,右顶点为a,抛物线x2=2py(p0)的焦点为f.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|fa|=c,则双曲线的渐近线方程为.解析:抛物线x2=2py的准线方程为y=-p2,与双曲线的方程联立得x2=a2(1+p24b2),根据已知得a2(1+p24b2)=c2,由|fa|=c,得p24+a2=c2,由可得a2=b2,即a=b,所以所求双曲线的渐近线方程是y=x.答案:y=x三、解答题11.如图,等边三角形oab的边长为83,且其三个顶点均在抛物线e:x2=2py(p0)上.(1)求抛物线e的方程;(2)设动直线l与抛物线e相切于点p,与直线y=-1相交于点q,证明以pq为直径的圆恒过y轴上某定点.(1)解:依题意,|ob|=83,boy=30.设b(x,y),则x=|ob|sin 30=43,y=|ob|cos 30=12.因为点b(43,12)在x2=2py上,所以(43)2=2p12,解得p=2.故抛物线e的方程为x2=4y.(2)证明:由(1)知y=14x2,y=12x.设p(x0,y0),则x00,y0=14x02,且l的方程为y-y0=12x0(x-x0),即y=12x0x-14x02.由y=12x0x-14x02,y=-1,得x=x02-42x0,y=-1.所以q为x02-42x0,-1.设m(0,y1),令mpmq=0对满足y0=14x02(x00)的x0,y0恒成立.由于mp=(x0,y0-y1),mq=x02-42x0,-1-y1,由mpmq=0,得x02-42-y0-y0y1+y1+y12=0,即(y12+y1-2)+(1-y1)y0=0.(*)由于(*)式对满足y0=14x02(x00)的y0恒成立,所以1-y1=0,y12+y1-2=0,解得y1=1.故以pq为直径的圆恒过y轴上的定点m(0,1).12.(2014长葛三模)已知圆c1的圆心的坐标原点o,且恰好与直线l1:x-2y+35=0相切,点a为圆上一动点,amx轴于点m,且动点n满足on=33oa+(1-33)om,设动点n的轨迹为曲线c.(1)求曲线c的方程;(2)直线l与直线l1垂直且与曲线c交于b、d两点,求obd面积的最大值.解:(1)设动点n(x,y),a(x0,y0),因为amx轴于m,所以m(x0,0),设圆c1的方程为x2+y2=r2,由题意得r=|35|1+4=3,所以圆c1的方程为x2+y2=9.由题意,on=33oa+(1-33)om,所以(x,y)=33(x0,y0)+(1-33)(x0,0),所以x=x0,y=33y0,即x0=x,y0=3y.将a(x,3y)代入x2+y2=9,得动点n的轨迹方程为x29+y23=1.(2)由题意可设直线l:2x+y+m=0,设直线l与椭圆x29+y23=1交于b(x1,y1),d(x2,y2),联立方程y=-2x-m,x2+3y2=9得13x2+12mx+3m2-9=0,=144m2-134(3m2-9)0,解得m20,b0)的左焦点f引圆x2+y2=a2的切线,切点为t,延长ft交双曲线右支于点p,若t为线段fp的中点,则该双曲线的渐近线方程为.解析:如图所示,设双曲线的另一个焦点为f,连接ot、pf.ft为圆的切线,ftot,且|ot|=a,又t、o分别为fp、ff的中点,otpf且|ot|=12|pf|,|pf|=2a,且pfpf.又|pf|-|pf|=2a,|pf|=4a.在rtpff中,|pf|2+|pf|2=|ff|2,即16a2+4a2=4c2,c2a2=5.b2a2=c2a2-1=4,ba=2,即渐近线方程为y=2x,即2xy=0.答案:2xy=015.(2014保定二模)设椭圆e:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为e=22,且过点(-1,-62).(1)求椭圆e的方程;(2)设椭圆e的左顶点是a,若直线l:x-my-t=0与椭圆e相交于不同的两点m、n(m、n与a均不重合),若以mn为直径的圆过点a,试判定直线l是否过定点,若过定点,求出该定点的坐标.解:(1)由e2=c2a2=a2-b2a2=12,可得a2=2b2,则椭圆e的方程为x22b2+y2b2=1(ab0),代入点(-1,-62)可得b2=2,a2=4,故椭圆e的方程为x24+y22=1.(2)由x-my-t=0得x=my+t,把它代入e的方程得(m2+2)y2+2mty+t2-4=0,设m(x1,y1),n(x2,y2),y1+y2=-2mtm2+2,y1y2=t2-4m2+2,x1+x2=m(y1+y2)+2t=4tm2+2,x1x2=(my1+t)(my2+t)=m2y1y2+tm(y1+y2)+t2=2t2-4m2m2+2.因为以mn为直径的圆过点a,所以aman,所以aman=(x1+2,y1)(x2+2,y2)=x1x2+2(x1+x2)+4+y1y2=2t2-4m2m2+2+24tm2+2+4+t2-4m2+2=3t2+8t+4m2+2=(t+2)(3t+2)m2+2=0.因为m、n与a均不重合,所以t-2,所以t=-23,直线l的方程是x=my-23,直线l过定点t(-23,0),由于点t在椭圆内部,故满足直线l与椭圆有两个交点,所以直线l过定点t(-23,0).探究创新16.(2014邯郸二模)如图所示点f是抛物线y2=8x的焦点,点a、b分别在抛物线y2=8x及圆(x-2)2+y2=16的实线部分上运动,且ab总是平行于x轴,则fab的周长的取值范围是.解析:由抛物线方程知准线l:x=-2,焦点f(2,0),圆的圆心c(2,0),半径r=4.作出抛物线的准线l