高等数学, 李伟版 , 课后习题答案第九章.pdf

习题习题 9 9 1 1 A A 1 判断下列论述是否正确 并说明理由 1 像定积分那样 二重积分也是通过 分割 近似 求和 取极限 所得的极限值 它是一个数 2 要使二重积分 D yxf d 存在 函数 f x y在区域D上必须连续 3 二重积分有着与定积分类似的性质 特别当 0f x y 时 有0d D yxf 若0 yxf 且 yxf不恒为零 则有0d D yxf 4 二重积分的中值定理告诉我们 若 f x y在有界闭区域D上连续 那么 D yxf d 相对应的柱体体积等于以D为底 高为D上某一点 处函数值的平顶柱 体的体积 答 答 1 正确 这是由二重积分的定义所决定的 2 不正确 函数在有界闭区域上连续仅仅是二重积分 D yxf d 积分存在的一个充 分条件 而不是必要条件 如果函数 yxf 在D上有界 且 yxf 间断点的集合是xOy 面上一个面积为零的集合 则二重积分 D yxf d 存在 如 积分区域为D 1 22 yx 被积函数为 00 01 x x yxf 显然 yxf 在D上不连续 但是根据二重积分几何 意义 得 2 d D yxf 3 前者正确 这是二重积分性质之一 保号性 后者不正确 如 0 1 0 0 22 22 yx yx yxf 显然0 yxf 且 yxf不恒为零 但是0d 1 22 yx yxf 它不小于零 如果增 加条件 函数 yxf连续 则该结论就可以成立 后面将有类似习题 习题 9 1 B 3 4 正确 这就是二重积分中值定理的几何意义 d Dfyxf D 其中 D 是区域D的面积 但是要注意 如果将 Df 看作一个柱体的体积 需要 0 yxf 2 用二重积分的几何意义计算二重积分 D yx d1 22 的值 其中D 1 22 yx 解 解 因为被积函数01 22 yxz 所以该二重积分表示以球面 22 1yxz 为 顶 区域1 22 yxD 如图 的曲顶柱体 上半球体 的体积 于是 3 2 3 14 2 1 d1 3 22 D yx 3 比较下列二重积分的大小 1 D yx d 2 与 D yx d 3 其 中D由 直 线 11 yx 及1 yx围成 2 D yx d与 D yx d 3 其中 100 yxyxyxD 3 D yx d 22 与 D yx d 22 其中 41 22 yxyxD 4 D yx d 22 与 D yx d 1 22 的大小 其中D为圆盘1 22 yx 解 解 1 在区域D上 由于1 yx 则 32 yxyx 于是 D yx d 2 D yx d 3 所以后者大 2 在区域D上 由于10 yx 则 3 yxyx 于是 D yx d D yx d 3 所以后者大 3 在区域D上 由于1 22 yx 则 2222 yxyx 于是 D yx d 22 D yx d 22 所以前者大 4 在区域D上 由于10 22 yx 有0 22 yx 01 22 yx 从而 22 yx1 22 yx 于是 D yx d 1 22 D yx d 22 所以前者大 4 估计下列二重积分的值 1 D xyI d 1 其中 1110 yxyxD 2 D yxI d 34 22 其中D 1 22 yx 解 解 1 设1 xyyxf 在区域D上 显然有2 0 yxf 又0 11 f 2 11 f 所以函数1 xyyxf 在区域D 上 的 最 小 值 为0 m 最 大 值 为2 M 而 区 域D的 面 积2 由 m Myxf D d 得40 I 2 设34 22 yxyxf 由 08 02 yf xf y x 在区域D的 内部得驻点0 yx 且3 00 f 在区域D的边界1 22 yx上 2 1 22 1 34 34 2222 yyxyxf yxyx 11 y 不难看到在区域D的边界1 22 yx上 函数 yxf 的最小值为 4 1 m 最大值为7 1 M 所以函数 yxf 在区域D上的最小值为3 m 最大值为7 M 而区域D的面 积 由 m Myxf D d 得 73 I 注 由于以上两题被积函数都是连续的 注 由于以上两题被积函数都是连续的 因此估值范围分别可以表示为 因此估值范围分别可以表示为 40 I与与 73 I 习题习题 9 9 1 1 B B 1 设有一张平面薄板 不计其厚度 占有xOy面上的闭区域D 薄板上分布有面密度为 yx 的电荷 且 yx 在D上连续 试用二重积分表示该板上全部电荷量Q 解 解 将区域D用曲线网任意分割成n小块 T ni 21 i 既代表第k小块 同时也表示它的面积 在 i 上任 取一点 ii 当这小块的直径很小时 由于函数 yx 连续 则它在 i 变化不 大 于是用点 ii 处的电荷密度近似代替该小块上的电荷密度 将这小块看作分布着 均匀电荷 则该小块的电荷量 iiii Q 于是板上全部电荷量 n i iii n i i QQ 11 记 是分割T对应的所有小区域的直径最大者 则 n i iii Q 1 0 lim 而由函数 yx 在D上连续 所以二重积分 D yx d 存在 且 D yx d n i iii 1 0 lim 所以 D yxQ d 2 若平面区域D关于y轴对称 且函数 yxf满足 yxfyxf 即函数 yxf 关于变量x是奇函数 用几何意义说明0d D yxf 解 解 用y轴将区域D分为对称的两块 1 D与 2 D 则 21 d d d DDD yxfyxfyxf 由于 yxfyxf 即在 1 D与 2 D中关于y轴对称点上函数值符号相反 根据几何意义 1 d D yxf 是以 yxfz 不妨设 0 1 Dyxyxf 为 顶 1 D为 底 的 曲 顶 柱 体 体 积 而 2 d D yxf 是 以 yxfz 这 时 0 2 Dyxyxf 为顶 而以 2 D为底的曲顶柱体体积的负值 并且这两块立体区 域关于y轴对称 其体积值相等 如果记Vyxf D 1 d 则Vyxf D 2 d 所以 0d d d 21 VVyxfyxfyxf DDD 3 如果函数 yxf 在有界闭区域D上连续 0 yxf 且 yxf 不恒为零 证明 0d D yxf 证 明 证 明 由0 yxf 且 yxf 不 恒 为 零 不 妨 设0 00 yxf 其 中 000 yxP D 由于函数 yxf 在D上连续 根据连续函数性质 则存在一个正 数 当DPUDyx 0 恒有 2 yxf 记区域DPU 0 的 面积为 其中0 再由0 yxf 则0 2 d 2 d d DDD yxfyxf 4 设函数 yxf 在有界区域D上连续 222 00 Dx yxxyyr 求极限 D r yxf r d 1 lim 2 0 解 解 因为函数 yxf 在有界区域D上连续 根据二重积分中值定 理 2 d rfyxf D 其中D 显然当 0r时 有 00 yx 再次利用连续性 有 limd 1 lim 00 0 0 2 0 yxffyxf r D r 习题习题 9 9 2 2 A A 1 下列论述是否正确 并说明理由 1 区域D称为X型区域 如果D在x轴上的投影为区间 a b 过 ba内的任意一 点作x轴的垂线自下而上穿过区域D时 与边界最多有两个交点 该垂线最早穿过的边界 为下边界 最后穿过的边界为上边界 类似地有Y型区域的特点 2 计算累次积分 b a xy xy yyxfx 2 1 d d时 先把 f x y看作y的一元函数计算定积分 得到x的一元函数 F x 然后再计算关于x的定积分 b a xxFd 3 一个二重积分 D yxf d 在直角坐标系下计算时 是按照X型区域还是按照Y型 区域化为累次积分 要取决于被积函数的特点 4 化直角坐标下的二重积分为极坐标下的二重积分时 要先把区域的边界方程用极坐 标表示 从而把积分区域用极坐标表示出来 并把被积函数用极坐标表示 得到被积函数为 cos sin f 的二重积分 dd sin cos D f 5 一个二重积分 D yxf d 是按照直角坐标计算 还是按照极坐标计算 要取决于 积分区域的特点 答 答 1 正确 这就是 X型 或 Y型 区域的定义 2 正确 这是累次积分 b a xy xy b a xy xy xyyxfyyxfx dd d d 2 1 2 1 的含义 3 不正确 首先要考虑积分区域的特点 如果是 X型区域 一般采取 先对y 再 对x 的累次积分 如果是 Y型区域一般采取 先对x 再对y 的累次积分 其次要兼 顾到被积函数 形如 D x yxdde 2 D yx x x dd sin D yxxddsin 2 的积分无论积分区域D的形 状如何都不能先对x求积分 4 前者正确 这些都是利用极坐标计算二重积分时要做的准备工作 也是关键步骤 后者不正确 被积函数应为 sin cos f 5 不正确 主要是考虑积分区域的特点 如果积分区域的边界与圆周有关 或边界本 身是由极坐标方程给出 一般优先考虑用极坐标计算 但是这不是绝对的 如 若区域D为 2 22 yx 1 y 二重积分 D yxydd利用直角坐标计算比利用极坐标计算要简单 另 外计算 D yxf d 时 考虑用哪种坐标计算也要兼顾到被积函数 一般被积函数中出现 22 yx 优先考虑用极坐标计算 2 将二重积分yxyxf D dd 在直角坐标系下化为累次积分 其中区域D分别是 1 由直线xy 1 x及2 y围成 2 由折线yx 及直线1y 围成 3 由不等式21 x xyx2 2 确定 4 xyxyxD2 22 0 2 xy 解 解 1 先对y积分 原式 2 1 2 d d x yyxfx 先对x积分 原式 2 11 d d y xyxfy 2 先对y积分 原式 1 0 10 1 1 d dd d xx yyxfxyyxfx 先对x积分 原式 1 0 d d y y xyxfy 3 先对y积分 原式 2 1 2 2 d d x x yyxfx 先对x积分 原式 4 2 2 2 11 d dd d y y y xyxfyxyxfy 4 先对y积分 原式 2 1 2 0 1 00 22 d dd d xxx yyxfxyyxfx 先对x积分 原式 1 0 11 2 d d y y xyxfy 3 利用直角坐标计算下列二重积分 1 yxx D dd 其中区域D由直线1 yx 0 x及0 y围成 2 yxxy D dd 其中区域D由直线xy xy 2及0 y围成 3 yx y x D dd 其中区域D由双曲线1 xy及直线4 x 1y 围成 4 yxx D xy dde 其中区域D为3110 yx 5 D yx y y dd sin 其中区域D由直线xyxy2 及 y围成 解 解 1 3 1 2 1 d dddd 1 0 2 1 0 1 0 xxxyxxyxx x D 6 1 2 1 0 2 dddd y y D xxyyyxxy 6 1 2d 2d 2 2 1 1 0 1 0 222 yyyyyyy 3 1 3 1 1 4 1 dddd x D y y x xyx y x 4 1 2 4 1 4 1 1 1 3 4 d 2d 2 xx xxxxxyx x 3 17 4 1 0 3 1 0 3 1 3 1 1 0 d e edededddexxyxxyxx xxxyxy D xy 3 2 e 3 e3 5 0 00 2 cos 2 1 dsin 2 1 d sin ddd sin yyyx y y yyx y y y y D 1 4 若区域D是xOy面上矩形区域bxa dyc 证明 b a d c D yygxxfyxygxfd d dd 并由此计算二重积分yx y x D x dd 1 e 2 其中01 xyxD 10 y 证明 证明 b a d c D xygxfyyxygxfd ddd d c b a yxxfyd d g b a d c yygxxfd d 1 0 0 1 1 0 0 1 1 ln e 2 1 1 d dedd 1 e 22 2 y y y xxyx y x xx D x 2ln e1 2 1 5 在直角坐标系下交换下列累次积分的次序 1 1 00 d d x yyxfx 2 1 1 1 0 2 d d x yyxfx 3 e 1 ln ln d d y y xyxfy 4 2 1 2 0 1 00 d dd d yy xyxfyxyxfy 解 解 1 积分区域由xyyxx 010围成 如图 所以 1 00 d d x yyxfx 1 0 1 2 d d y xyxfy 2 积分区域由 2 1011xyyxx 围成 如图 所以 1 1 1 0 2 d d x yyxfx 1 0 1 1 2 2 d d y y xyxfy 3 积分区域由yxyxyylnlne1 围成 如图 所以 e 1 ln ln d d y y xyxfy 1 0 e e 0 1 e e d dd d xx yyxfxyyxfx 4 积分区域 21 DDD 其中 1 D由 10 yy 0 x yx 围成 2 D由yxxyy 2021 两块区域 拼成的区域D如图 所以 yy xyxfyxyxfy 2 0 2 10 1 0 d dd d 1 0 2 2 2 d d x x yyxfx 6 在极坐标系下 将下列二重积分化为累次积分 1 yxyxf D dd 其中积分区域 22 4Dx y xy 0 y 2 yxyxf D dd 22 其中积分区域D 22 2 x y xyax 0 a 3 yx y x f D dd cotarc 其中积分区域 21 2222 yyxyxyxD 4 yxyxf D dd 22 其中积分区域 2 2 yxyyxD 解 解 1 极坐标系下 方程4 22 yx化为2 积分区域如图 所以 yxyxf D dd 0 2 0 d sin cos df 2 极坐标系下 方程axyx2 22 化为 cos2a 函数 222 yx 积分区域如图 所以 yxyxf D dd 22 2 2 cos2 0 2 d d a f 3 极坐标系下 方程1 22 yx化为1 方程yyx2 22 化为 sin2 而函数 y x cotarc 积分区域如图 由 sin2 1 有 2 1 sin 得 6 或 6 5 所以 yx y x f D dd cotarc 6 5 6 sin2 1 d d f 4 极坐标系下 方程yx 化为 sectan 方程 2 2yx 化为2 函数 22 yx 积分区域如图 由 2 2yx yx 得交点 11 于是 4 所以 yxyxf D dd 22 4 0 2 sectan d d f 7 利用极坐标计算下列二重积分 1 D yx yx 22 1 dd 其中积分区域 1 22 yxyxD 2 yxxy D dd 3 其中积分区域 001 22 yxyxyxD 3 yxyx D dd 22 其中积分区域 02 22 yxyxyxD 4 yxy D dd 其中积分区域 22 yyxyxD 5 yx x y D dd arctan 2 其中积分区域 41 22 yxyxyxD 解 解 1 1 0 2 2 0 1 0 222 1ln 2 1 2d 1 d 1 dd D yx yx 2ln 2 24 1 sin 24 1 sind sin 6 1 dsincosddd 2 0 4 2 0 33 1 0 5 2 0 3 yxxy D 3 9 16 3 2 3 8 dcos 3 8 dddd 2 0 3 cos2 0 2 2 0 22 yxyx D 4 3 2 2 5 2 dsin 5 2 dsinddd 0 3 sin 0 2 3 0 yxy D 15 8 5 64 6 1 dddd arctan 3 4 4 32 1 2 2 1 2 4 4 2 yx x y D 8 将下列直角坐标系下的累次积分化为极坐标系下的累次积分 1 1 0 2 2 d d x x yyxfx 2 2 0 2 0 2 d d xx yyxfx 3 1 00 22 d d x yyxfx 4 1 1 11 22 2 d d x x yyxfx 解 解 1 积分区域由 2 210 xyxyxx 围成 如图 方程xy 0 x 的极坐标表示是 4 方程 2 2xy 的 极坐标表示是2 所以 1 0 2 2 d d x x yyxfx 2 4 2 0 d sin cos d f 2 积分区域由 2 2020 xxyyxx 围成 如图 方程 2 2xxy 的极坐标表示是 cos2 所以 2 0 2 0 2 d d xx yyxfx 2 0 cos2 0 d sin cos d f 3 积分区域由xyyxx 010围成 如图 方程1 x的极坐标表示是 sec 方程xy 0 x 的极坐 标表示是 4 所以 1 00 22 d d x yyxfx 4 0 sec 0 2 d d f 4 积分区域由 2 1111xyxyxx 围成 如图 方程 2 11xy 的极坐标表示是 sin2 方程xy 的极坐标表示是 4 及 4 3 所以 1 1 11 22 2 d d x x yyxfx 4 3 4 sin2 0 d d f 9 将下列极坐标系下的累次积分化为直角坐标系下的两个累次积分 1 2 0 1 0 d sin cos d f 2 2 sin2 0 d df 解 解 1 积分区域D在极坐标系下由射线2 0 及圆 1 围成 如图 而1 的直角坐标系下的方程是1 22 yx 所以在直角坐标系下 先对y积分 2 0 1 0 d sin cos d f 1 0 1 0 2 d d x yyxfx 先对x积分 2 0 1 0 d sin cos d f 1 0 1 0 2 d d y xyxfy 2 积分区域D在极坐标系下由射线 2 及圆 sin2 围成 如图 而 sin2 的直角坐标系下的方程是yyx2 22 所以在直角坐标系下 先对y积分 2 sin2 0 d df 0 1 11 11 2 2 d d x x yyxfx 先对x积分 2 sin2 0 d df 2 0 0 2 2 d d yy xyxfy 10 计算下列累次积分 1 1 0 1 ded 2 y x xy 2 2 0 2 2 2 dcosd y xyyy 解 解 1 因为先对x积分 2 e x 的原函数不是初等函数 即 积不出来 所以应当交换积分次序 因此 1 00 1 0 1 dedded 22x x y x yxxy 1 0 1 0 2 e de 2 2 x x xx e 1 1 2 1 2 虽然先对x积分不困难 但是再对y积分有一定的困难 试着先对y积分 则 2 00 2 2 0 2 2 dcosddcosd 2 x y yyyxxyyy 2 0 2 0 2 0 0 2 cos 2 1 dsin 2 1 dsin 2 1 xxxxy x 2 1 习题习题 9 9 2 2 B B 1 设有一平面薄板所占的闭区域是由圆周 22 2xy 及坐标轴所围成的位于第一象限内的 部分 其面密度为 22 ln 1 xy 求该薄板的质量 解 解 薄板的质量 D yxyxMdd 1ln 22 1 d 1ln 4 d 1ln d 2 2 0 2 2 0 2 0 2 3ln3 4 d2 1ln 1 4 2 0 2 2 0 2 0 22 23ln3 4 2 求下列空间区域 的体积V 其中 分别是 1 由旋转抛物面 22 1yxz 与平面yz21 围成 2 由旋转抛物面 22 yxz 与球面 22 2yxz 围成 解 解 1 由 yz yxz 21 1 22 消去z得yyx2 22 并且在 yyx2 22 上 22 121yxy 所以所求体积为 yxyyxV yyx dd 21 1 2 2 2 22 yxyxy yyx dd 2 2 2 2 22 2 0 44 2 0 sin2 0 2 d sin 4 16 sin 3 16 2d sin2 d2 222 1 4 3 3 8 dsin 3 8 2 0 4 2 由 22 22 2yxz yxz 消去z得1 22 yx 并且在1 22 yx上 22 2yx 22 yx 所以所求体积为 yxyxyxV yx dd 2 22 1 22 22 d 2 d4 2 1 0 2 2 0 1 0 4 2 32 4 2 3 1 2 6 7 3 24 3 证明 yyfyb n yyfyxx b a n b a x a n d 1 d d 1 其中 yf为连续函数 证明 证明 对左式交换积分次序 有 b a b y n b a x a n xyfyxyyyfyxxd dd d 11 b a b y n yyfyx n d 1 yyfyb n b a n d 1 4 证明 2 1 4 0 22 1 0 4 1 22 22 2 d dd d xx x yyxxfxyyxxfx df 2 2 1 2 其中 uf为连续函数 证明 证明 根据积分区域形状及要证明的结果 将左式改写为 极坐标化累次积分 有 2 1 4 0 22 1 0 4 1 22 22 2 d dd d xx x yyxxfxyyxxfx 2 1 222 2 0 2 1 22 2 0 2 1 d d dco sd co sd fff 5 选择适当的坐标系计算下列二重积分 1 yx y x D dd 1 其中D由抛物线 2 1xy 直线xy2 及y轴围成 2 yxyx D dd1 22 其中D是圆域xyx 22 3 yxyx D dd 2 其中42 22 yxxyxD 0 y 4 yxyx D dd sin 22 其中 22 yxyxD 5 yxyx D dd 其中 1 yxyxD 6 D y yxdde 2 其中 0 yxxyxD 解 解 1 利用直角坐标计算 先对y积分 1 0 2 1 0 1 2 d 21ln ln 2 d 1 ddd 1 2 xxxxxy y x xyx y x x x D 1 0 2 1 0 22 d 21ln 2 1 2 d 2ln 2 1 xxxx d 21 2 21ln d2 2ln 2 2 1 1 0 2 1 0 2 1 0 1 0 22 x x x xxxxxx d 21 1 12 2 1 3ln12ln23ln3 2 1 1 0 x x x 21ln 8 1 1 4 1 2 1 2ln3ln 1 0 1 0 2 xx 2 1 2ln3ln 8 9 3ln 8 1 2 1 2ln3ln 2 利用极坐标计算 d1ddd1 2 2 cos 0 222 yxyx D 2 2 3 2 2 cos 0 2 32 d sin1 3 1 d 1 3 1 3 2 3 2 3 dsin 3 2 3 2 0 2 9 4 3 3 利用极坐标计算 方法 1 2 2 cos2 24 2 0 2 0 242 dsincosddsincosdddyxyx D 2 52 2 0 2 d cos1 sincos 5 32 dsincos 5 32 cos 8 1 cos 3 1 cos 3 1 5 32 2 8 2 32 0 3 15 52 8 1 3 1 3 1 5 32 方法 2 2 cos2 0 24 0 2 0 242 dsincosddsincosdddyxyx D 15 52 8 1 5 32 15 64 dsincos 5 32 dsincos 5 32 2 7 0 2 方法 3 利用直角坐标计 则 0 2 2 0 2 2 2 4 0 22 22 dddddd xxx D yyxxyyxxyxyx 0 2 22 2 0 22 d2 2 1 d 4 2 1 2xxxxxxx 15 52 5 4 15 64 52 2 1 5 32 3 32 2 0 54 xx 4 利用极坐标计算 则 0 2 2 0 22 sindd sin ddyxyx D 2 cos 2 1 2 0 2 5 利用直角坐标计算 记 1 D是区域D位于第一象限部分 并注意用奇 偶函数在对 称区域上的积分性质 则 yxxyxxyxyx DDD dd4dd4dd 11 3 2 3 1 2 1 4d 1 4dd4 1 0 1 0 1 0 xxxyxx x 6 这是反常二重积分 一般可以按普通二重积分方法计算 根据区域特点应当利用直角坐标计算 并且只能先对x积分 则 00 deddde 22y y D y xyyx 0 0 22 e 2 1 de yy yy 2 1 6 计算下列累次积分 1 1 0 2 22 2 d d xx x yx y x 2 1 00 2 ded 2 x y yx 3 4 2 22 1 de 1 dde 1 d x y x x x y x y y xy y x 解 解 1 根据积分区域形状及被积函数特点 利用极坐标计算 2 4 cos2 0 1 0 2 2 4 22 dcos2dd d d 2 xx x yx y x 2 4 sin2 22 2 根据积分区域形状及被积函数特点 利用直角坐标计算 并且先交换积分次序 有 1 0 2 2 1 0 1 2 1 00 2 de 1 dedded 2 2 22 yyxyyx y y y x y 1 0 2 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 2 1 0 2 dede 2 2 edede 22222 yyy y yyyyy yyyyy 1 0 2 1 0 2 2 1 0 2 21 0 2 2222 ededee yyyy yyyyyy e 1 3 根据积分区域形状及被积函数特点 利用直角极坐标计算 并且先交换积分次序 有 2 de 1 dde 1 dde 1 d 2 1 4 2 22 1 y y y x x y x x x y x x y yy y xy y x 2 1 2 1 d e ede 2 yy yy y y x e2e2 7 计算二重积分 D yxyxyfxdd 1 22 其中D由曲线 3 xy 及直线1 x和1 y 围成 其中 uf为连续函数 解 解 用辅助线 3 xy 将积分区域D分成两块 1 D与 2 D 其中 1 D关于x轴对称 2 D关于y 轴对称 用奇 偶函数在对称区域上的积分性质 则 D yxyxyfxdd 1 22 21 dd 1 dd 1 2222 DD yxyxyfxyxyxyfx 0dd20d d dd 0 10 22 3 11 x DD yxxyxyxxyfyxx 0 1 5 0 1 4 5 2 d2xxx 5 2 8 设函数 xf在闭区间 0 a 上连续 证明 2 00 d d d2xxfyyfxfx aaa x 证明 证明 作区域ayaxD 00 用直线xy 将D分成两 部分 其中 1 D是位于xy 下方部分 2 D是位于xy 上方部分 考虑二重积分yxyfxf D dd 一方面 2 00000 d d d d d dd aaaaa D xxfxxfxxfyyfxxfyxyfxf 另一方面 由区域 1 D 2 D关于xy 对称 则 21 dd dd DD yxxyfyxyxf 于是 yxyfxfyxyfxfyxyfxf DDD dd dd dd 21 yxyfxfyxyfxfyxxfyf DDD dd 2dd dd 222 2 aa x yyfxfx 0 d d 所以 2 00 d d d2xxfyyfxfx aaa x 9 若函数 yxf 在区域D上连续 且满足 xyyxf D yxyxfdd 其中D是 由抛物线 2 xy 与两直线1 x和0 y围成的区域 求 yxf 解 解 设ayxyxf D dd 则 xyyxf a 于是 DD yxaxyyxyxfdd dd 312 1 d 2 d d 1 0 2 5 0 1 0 2 a xax x yaxyx x 于是 312 1a a 得 8 1 a 所以 8 1 xyyxf 习题习题 9 9 3 3 A A 1 判断下列论述是否正确 并说明理由 1 计算三重积分有三种坐标可以选择 直角坐标 柱面坐标与球面坐标 对给定的一 个三重积分 应首先看是否能用直角坐标 否则再看能否用柱面坐标 如果都不可以 最后 再考虑用球面坐标 2 对给定的三重积分 一般当积分区域是由以原点为顶点的圆锥面及球面围成的立体 被积函数为 222 f xyz 时 通常用球面坐标计算 3 对给定的三重积分 如果不适合用球面坐标 但积分区域在坐标平面上的投影及被 积函数适合于用极坐标计算二重积分时 一般采用柱面坐标计算该三重积分 4 既不适合用球面坐标 也不适合用柱面坐标计算的三重积分就只能考虑用直角坐标 来计算 这时也有 先一后二 法和 先二后一 法供选择 5 先二后一 法只适用于被积函数为 zf 且用平行与xOy面的平面截积分区域 截得的截痕面积由初等数学知识可以计算的三重积分 答 答 1 不正确 一般要根据积分区域选择坐标系 如区域由球面 或球面与圆锥面围成 首选球面坐标系 如果区域由圆柱面 圆锥面 旋转抛物面及球面等 它们都是旋转面 围 成 首选柱面坐标系 其它情况首选直角坐标系 2 正确 这是因为以原点为顶点的圆锥面及球面在球面坐标系下方程简单 但是被积 函数不一定非的为 222 f xyz 形式 3 正确 这样的区域一般都是由圆柱面 圆锥面 旋转抛物面及球面等旋转面围成 这些曲面的方程在柱面坐标系下简单 或者当将三重积分化为 先一后二 形式后 由 xy D yxz yxz yxzzyxf 2 1 dd d 中的二重积分用极坐标计算简单 所以从三重积分直接划 为累次积分来看 采用柱面坐标系也是简单的 4 正确 当球面坐标与柱面坐标都不能使用时 当然只有直角坐标了 但是在直角坐 标系下的 先一后二 法通常都是直接化为累次 三次 积分 5 不正确 对固定的z值 只要积分二重积分 z D yxzyxfdd 好计算 都可以用 先 二后一 法 例如对三重积分zyxyxzddd 22 其中 由不等式 4 222 zyx 10 z确定 它的被积函数不具有 zf的形式 但是该积分用 先二后一 法是最好的 选择 事实上 在区间 10 任取一点z 用zz 平面截积分 区域 截面为 z D 222 4zyx 于是 1 0 2222 d dd ddd z D zyxyxzzyxyxz 12 37 4 12 d 4 2 d dd 1 0 32 1 0 22 1 0 2 0 1 0 3 2 zzzzzz z 2 将三重积分 zyxzyxfddd 在直角坐标系下化为累次积分 其中积分区域 分别是 1 由平面0 x 0 y 1 z及yxz 围成 2 由双曲抛物面xyz 及平面1 yx 0 z围成的立体 3 由圆柱面1 22 yx 旋转抛物面 22 yxz 及平面0 z围成第一卦限部分 4 由圆锥面 22 zxy 及旋转抛物面 22 2yxz 所围成的闭区域 解 解 1 将积分区域 投影到xOy面上为 xy Dxyx 1010 再将 xy D投影到x 轴上是区间 10 于是用不等式表示 为 11010 zyxxyx 所以 zyxzyxfddd 1 0 1 0 1 d dd x yx zzyxfyx 2 将积分区域 投影到xOy面上为 xy D 10 x xy 10 再将 xy D投影到x轴上是区间 10 于是用 不等式表示 为 xyzxyx 01010 所以 zyxzyxfddd 1 0 1 00 d dd xxy zzyxfyx 3 将积分区域 投影到xOy面上为 xy D 01 22 xyx 0 y 再将 xy D投影到x轴上是区间 10 于是用不等式表示 为 222 01010yxzxyx 所以 zyxzyxfddd 1 0 1 00 222 d dd xyx zzyxfyx 4 将积分区域 投影到xOy面上为 xy D1 22 yx 再将 xy D投影到x轴上是区间 11 于是用不等式表示 为 22 1111xyxx 2222 2yxzyx 所以 zyxzyxfddd 1 1 1 1 2 2 2 22 22 d dd x x yx yx zzyxfyx 3 将下列三重积分在柱面坐标系下化为累次积分 1 vzyxfd 其中 由不等式 22 3xyz 确定 2 vzyxfd 其中 由圆柱面xyx2 22 及两平 面0 z 1 z围成 3 vyxfd 22 其中 由不等 22 10yxz 式 确定 4 vzyxfd 222 其中 为半球体zzyx2 222 1 z 解 解 1 将积分区域 投影到xOy面上为 xy D3 22 yx 而方程 22 yxz 在柱面坐标系下为 z 于是在柱面坐标系用 不等式表示积分区域 为 3020 3 z 所以 vzyxfd 2 0 3 0 3 d sin cos ddzzf 2 将积分区域 投影到xOy面上为 xy Dxyx2 22 而方程xyx2 22 在柱面 坐 标 系 下 为 cos2 于 是 在 柱 面 坐 标 系 用 不 等 式 表 示 积 分 区 域 为 22 10cos20 z 所以 vzyxfd 2 2 cos2 0 1 0 d sin cos dd zzf 3 将积分区域 投影到xOy面上为 xy D1 22 yx 而方 程 22 1yxz 在柱面坐标系下为 2 1 z 于是在柱面坐标 系用不等式表示积分区域 为 1020 2 10 z 所以 vyxfd 22 2 0 1 0 1 0 2 d ddzf 4 将积分区域 投影到xOy面上为 xy D1 22 yx 而方程 zzyx2 222 1 z 在柱面坐标系下为 2 11 z 于是在柱面坐标系用不等式表示积分区域 为 1020 2 111 z 所以 vzyxfd 222 2 0 1 0 11 1 22 2 d ddzzf 4 将下列三重积分在球面坐标系下化为累次积分 1 vzyxfd 其中 为 0 2222 aazyx 0 x 0 y 0 z 2 vzyxfd 222 其中 为zzyx2 222 22 yxz 3 vyxfd 22 其中 为41 222 zyx 3 22 yxz 解 解 1 在球面坐标系下方程 2222 azyx 化为ar 积分区域用不等式表示为 ar 0 2 0 2 0 所以 vzyxfd 2 0 2 00 2 dsin cos sinsin cossin dd a rrrrrf 2 在球面坐标系下方程zzyx2 222 化为 cos2 r 方程 22 yxz 化为 4 积分区域用不等式表示为 cos20 4 020 r 所以 vzyxfd 222 2 0 4 0 cos2 0 2 dsin ddrrrf 3 在球面坐标系下方程1 222 zyx化为1 r 方程4 222 zyx化为2 r 方程 3 22 yxz 化为 6 积分区域用不等式表示为 6 020 21 r 所以 vyxfd 22 2 0 6 0 2 1 222 dsin sin ddrrrf 5 选择恰当坐标系计算下列三重积分 1 vxyzd 其中 由平面0101 zyyx 及xz 围成 2 vyxd 2 其中 由平面1xyz 及三个坐标面围成 3 vzxd 2 其中 由抛物柱面 2 xy 及三平面yzzy 01围成 4 2 d z v 其中 为闭区域 22 yxz 21 z 5 vzxd 其中 由平面0 z与圆锥面 22 1yxz 围成 6 vyxd 22 其中 由半球面 22 11yxz 及平面1z 围成 7 vzd 其中 为闭区域 2222 2yxzyx 8 vyd 其中 为闭区域yyx2 22 10 z 9 vz d 1 其中 由不等式1 222 zyx及 22 yxz 确定 10 vzyxd 222 其中 为球体zzyx 222 解 解 1 选择直角坐标系 于是 zyzxyxvxyz x dddd 1 0 1 00 1 0 3 1 0 1 0 3 16 1 d 4 1 dd 2 1 xxyyxx 2 选择直角坐标系 于是 vyxd 2 zyxyx xyx ddd 1 0 1 0 1 0 2 1 0 1 0 2 d 1 d x yyxyxx 1 0 1 0 321 0 32 2 d 1 6 1 d 32 1 x x xxxx yy xx x xxxxx 1 0 5432 d 33 6 1 360 1 6 1 5 3 4 3 3 1 6 1 3 选择直角坐标系 因为积分区域关于yOz面对称 被积函数是关于x的偶函数 所以原积分对于位于第一卦限 区域上积分的 2 倍 于是 zzxyxvzx x y ddd2d 1 0 1 0 22 2 1 0 1 22 2 dd x yyxx 1 0 62 d 1 3 1 xxx 27 2 9 1 3 1 3 1 4 选择直角坐标系 并且用 先二后一 法 于是 2 1 2 1 2 1 22 ln d d dd d z z z z z yx z v z D 2ln 5 选择柱面坐标系 因为积分区域关于yOz面对称 被积 函数中的x是关于x的奇函数 所以0d vx 于是 2 0 1 0 1 0 ddddd zzvzvzx 1 0 1 0 322 d 2 d 1 2 1 2 12 4 1 3 2 2 1 6 方法 1 选择柱面坐标系 于是 vyxd 22 1 0 23 2 0 1 0 11 1 3 d12ddd 2 z 15 4 3 2 5 4 3 2 2d sin sin2dcossin2sin 5 2 0 32 2 0 3 ttttttt 方法 2 选择球面坐标系 于是 vyxd 22 2 0 4 0 cos2 sec 34 dsinddrr 4 0 553 d seccos32 sin 5 2 r dtantandcos cos cos32 5 2 4 0 3 4 0 57 15 4 4 1 6 1 8 1 48 1 128 1 32 5 2 tan 4 1 6 cos 8 cos 32 5 2 4 0 4 0 68 方法 3 选择直角坐标系 并且用 先二后一 法 于是 vyxd 22 2 1 2 0 2 0 3 2 1 22 d dd d dd 2 zzyxyx zz Dz 15 4 53 4 2 d 44 2 d 2 4 2 2 1 5 4 3 2 1 432 2 1 22 z z z zzzzzzz 7 方法 1 选择柱面坐标系 由 22 22 2yxz yxz 消去z 得1 22 yx 于是 vzd 2 0 1 0 2 2 dddzz 2 4 1 2 1 2 d22 2 2 1 0 2 方法 2 选择球面坐标系 于是 vzd 2 0 4 0 2 0 3 dcossinddrr 24 4 sin 2 1 2 4 0 2 8 选择柱面坐标系 于是 vyd 0 sin2 0 1 0 2 dsinddz 0 s i n2 0 2 ds ind 0 4 ds in 3 8 22 1 4 3 3 16 dsin 3 16 2 0 4 9 方法 1 选择球面坐标系 于是 vz d 1 2 0 4 0 1 0 2 d cos1 sinddrrr dcossinddsind 2 1 0 3 4 0 1 0 2 4 0 rrrr dcossin 4 1 dsin 3 1 2 4 0 4 0 3 2 24 19 sin 8 1 2 2 1 3 1 2 4 0 2 方法 2 选择柱面坐标系 于是 vz d 1 2 0 2 1 0 1 2 d 1 ddzz 2 1 0 322 d2212 2 1 0 22 d 21 2 1 1 2 3 2 24 19 23 2 2 1 3 2 2 1 0 432 2 32 10 选择球面坐标系 于是 vzyxd 222 2 0 2 0 cos 0 4 dsinddrr 15 cos 6 1 5 2 dsincos 5 2 2 0 6 2 0 5 习题习题 9 9 3 3 B B 1 旋转抛物面 222 4aazyx 将球体azzyx4 222 分成两部分 位于旋转抛物 面内部分的体积记作 1 V 位于旋转抛物面外部分的体积记作 2 V 证明 1 V 2 V 37 27 证明 证明 利用柱面坐标系证明 在柱面坐标系下方程 222 4aazyx 化为 22 4aaz 方程azzyx4 222 化为azz4 22 或 22 42 aaz 由 azz aaz 4 4 22 22 先消去 有045 22 aazz 即0 4 azaz 得az az4 舍去 于是a3 1 V a a a aa zv 3 0 4 42 2 0 2 22 1 dddd a a a a 3 0 22 2 d42 2 33 0 2 322 4 2 6 37 4 3 1 4 2aa a a a 333 2 6 27 6 37 2 3 4 aaaV 所以 27 37 6 27 6 37 3 3 2 1 a a V V 即 1 V 2 V 37 27 2 若 uf可微 且1 0 0 0 ff 求极限 4 0 1 lim t t vzyxfd 222 其中 由不等式 2222 tzyx 确定 解 解 因为 vzyxfd 222 2 000 2 d sindd t rrfr tt rrfrrrfr 0 2 2 000 2 d 4d dsind 所以 4 0 1 lim t t 3 2 0 4 0 2 0 222 lim d 4 limd t tft t rrfr vzyxf t t t 1 0 0 lim 0 f t ftf t 3 将三重积分 vzyxd 222 分别在直角坐标系 柱面坐标系 球面坐标系下化为 累次积分 并在直角坐标系下化为 先二后一 的积分 其中 是zzyx4 222 00 yx 解 解 在直角坐标系下 积分区域在xOy面上的投影区域为 xy D4 22 yx 00 yx 且 由zzyx4 222 解得 22 42yxz 所以直角坐标系下的累次积分为 vzyxd 222 2 0 4 0 42 42 222 222 22 d dd xyx yx zzyxfyx 在柱面坐标系下 方程 22 42yxz 改写为 2 42 z 而4 22 yx改 写 为2 且 22222 zzyx 所以柱面坐标系下的累次积分为 vzyxd 222 2 0 2 0 42 42 22 2 2 d dd zzf 在球面坐标系下 方程zzyx4 222 改写为 cos4 且 2222 rzyx 所以球面坐标系下的累次积分为 vzyxd 222 2 0 2 0 cos4 0 22 dsin dd rrrf 在直角坐标系下 将 投影到z轴上为区间 40 在 40 上用zz 平面截 截 面为 z D 222 4zzyx 00 yx 所以在直角坐标 系下的 先二后一 的积分是 vzyxd 222 4 0 00 4 222 222 d dd yx zzyx zyxzyxf 4 计算下列三重积分 1 zyxzyxddd 其中 由平面1 zyx及三个坐标面围成 2 vzyxd 2 其中 由不等式1 222 zyx确定 3 v z de 其中 由不等式1 222 zyx确定 4 vyd 其中 由不等式41 222 zyx 22 zxy 确定 5 vyd 其中 是由xOy面上区域 2 10 xy 绕y轴旋转而成的闭区域 解 解 1 该积分如果直接计算 比较繁琐 当