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文档简介

第一讲 三角函数的图像与性质例1、已知函数f(x)=tan(sinx)（1）求f(x)的定义域和值域；（2）在（，）中，求f(x)的单调区间；（3）判定方程f(x)=tan在区间（，）上解的个数。解：（1）1sinx1 sinx。又函数y=tanx在x=k+(kz)处无定义，且（，）,（, ），令sinx=，则sinx=解之得：x=k (kz)f(x)的定义域是a=x|xr，且xk，kztanx在（，）内的值域为（，+），而当xa时，函数y=sinx的值域b满足（，）b，f(x)的值域是（，+）。（2）由f(x)的定义域知，f(x)在0，中的x=和x=处无定义。设t=sinx，则当x0, )（，）（，）时，t0, (,，且以t为自变量的函数y=tant在区间（0，），（，上分别单调递增。又当x0，时，函数t=sinx单调递增，且t0, 当x（，时，函数t=sinx单调递增，且t（, 当x，时，函数t=sinx单调递减，且t（, 当x（，）时，函数t=sinx单调递减，且t（0，）f(x)=tan(sinx)在区间0，,（,上分别是单调递增函数；在上是单调递减函数。又f(x)是奇函数，所以区间（，0，也是f(x)的单调递增区间是f(x)的递减区间。故在区间（，）中,f(x)的单调递增区间为：，（，），（，单调递减区间为。（3）由f(x)=tan得：tan(sinx)=tan()sinx=k+（kz）sinx=k+(kz) 又1sinx1，k=0或k= 1当k=0时，从得方程sinx=当k=1时，从得方程sinx= +显然方程sinx=,sinx= +，在（, ）上各有2个解，故f(x)=tan在区间（，）上共有4个解。说明：本题是正弦函数与正切函数的复合。（1）求f(x)的定义域和值域，应当先搞清楚y=sinx的值域与y=tanx的定义域的交集；（2）求f(x)的单调区间，必须先搞清f(x)的基本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。例2、设的周期，最大值，（1）求、的值；（2）若、为方程的两个根，且、的终边不共线，求的值。 解：(1) ， ， ， 又 的最大值， ， 且 ，由 、解出 a=2 , b=3.(2) ， ， ， ， 或 ， 即 ( 共线，故舍去) ， 或 ， .说明：方程组的思想是解题时常用的基本思想方法；在解题时不要忘记三角函数的周期性。例3、已知函数上的偶函数，其图象关于点对称，且在区间上是单调函数.求的值。解：由是偶函数，得，即，所以,对任意x都成立，且，所以得，依题设，所以解得. 由的图象关于点m对称，得，取得所以， .当k=0时，上是减函数；当k=1时，上是减函数；当时，上不是单调函数.所以，综合得. 例4、已知函数，（i）设是函数图象的一条对称轴，求的值（ii）求函数的单调递增区间命题目的：本小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力. 解：（i）由题设知因为是函数图象的一
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