新人教版第二十六章《二次函数》教材分析与教学建议.doc

新人教版第二十六章二次函数教材分析与教学建议广州市美华中学 黎少敏一、教学目标与要求 1. 了解二次函数的一般形式，会用描点法画出二次函数的图象，并通过图象了解二次函数的性质。 2. 会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为的形式，并依此确定图象的顶点、开口方向、对称轴。 3.了解与图象之间的关系，会根据条件确定二次函数的表达式。 4. 了解一元二次方程的根的几何意义，知道一元二次方程的根的三种情况对应着抛物线与x轴的三种位置关系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 5. 会应用二次函数的最值解决简单的实际问题。体会二次函数是一类最优化问题的数学模型。经历数学建模的基本过程。感受数学的应用价值。发展应用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的应用价值。二、本章课时安排本章教学时间约需12课时 ，具体安排如下：261节 二次函数6课时262用函数的观点看一元二次方程1课时263实际问题与二次函数3课时教学活动 小结2课时三、学法教法建议1在教学上要注重引入二次函数概念的现实背景，让学生感受其实际意义，激发学生的学习兴趣；并注意让学生在学习的过程和实际应用中逐步深化对概念的理解和认识。 2. 在研究二次函数的图像和性质时，首先要抓住最简单的二次函数的图像与性质，对于一般的二次函数，常利用配方法，将函数关系式化为的形式，抓住它与的图像之间的联系来研究，要注意在研究具体实例的过程中，体会这种化归（化未知为一直，变复杂为简单）的思想方法 3. 注意把握二次函数图象的特点（对称轴、开口方向、顶点坐标），通过图象去发现和认识二次函数的一些性质，还要善于运用图象，领会和运用数形结合、函数的思想方法（包括利用函数图象求解方程和方程组）。 4. 注意沟通二次函数和一元二次方程联系和相互转化，提供学生进行探究性学习的题材，重视学生对知识综合应用能力的培养。四、二次函数知识点归纳1.二次函数解析式的几种形式：一般式：（a、b、c为常数，a0）顶点式：（a、h、k为常数，a0），其中（h，k）为顶点坐标。交点式：，其中是抛物线与x轴交点的横坐标，即一元二次方程的两个根，且a0，（也叫两根式）。2.二次函数的图象二次函数的图象是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果a相同，那么抛物线的开口方向，开口大小（即形状）完全相同，只是位置不同。任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：左加右减，上加下减，具体平移方法如下表所示。在画的图象时，可以先配方成的形式，然后将的图象上（下）左（右）平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：也是将配成的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与y轴的交点（0，c），及此点关于对称轴对称的点（2h，c）；如果图象与x轴有两个交点，就直接取这两个点（x1，0），（x2，0）就行了；如果图象与x轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，（这两点不是与y轴交点及其对称点），一般画图象找5个点。3.二次函数的性质函数二次函数（a、b、c为常数，a0）（a、h、k为常数，a0）a0a0a0a0图象(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸(1)抛物线开口向下，并向下无限延伸性(2)对称轴是x，顶点是（）(2)对称轴是x，顶点是（）(2)对称轴是xh，顶点是（h，k）(2)对称轴是xh，顶点是（h，k）质(3)当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大(3)当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小(3)当时，y随x的增大而减小；当xh时，y随x的增大而增大。(3)当xh时，y随x的增大而增大；当xh时，y随x的增大而减小(4)抛物线有最低点，当时，y有最小值，(4)抛物线有最高点，当时，y有最大值，(4)抛物线有最低点，当xh时，y有最小值(4)抛物线有最高点，当xh时，y有最大值4.求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法配方法：将解析式化为的形式，顶点坐标为（h，k），对称轴为直线，若a0，y有最小值，当xh时，；若a0，y有最大值，当xh时，。公式法：直接利用顶点坐标公式（），求其顶点；对称轴是直线，若若，y有最大值，当5.抛物线与x轴交点情况：对于抛物线当时，抛物线与x轴有两个交点，反之也成立。当时，抛物线与x轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。当时，抛物线与x轴无交点，反之也成立。五、易错点分析易错点1. 易忽略二次函数的二次项系数不为0这一条件例1已知函数是二次函数，求m的值解：是二次函数 解析 二次函数的一般形式中，二次项系数a0，不少同学易忽略。易错点2 求二次函数的最值时忽略自变量的取值范围例2 已知二次函数时，求它的最大值与最小值。解：函数y取得最小值为当x=-1时，函数y取得最大值为3。解析 通常二次函数自变量的取值范围是全体实数，但有些题目如果给出了自变量的取值范围，则在求函数最值时，一定要考虑此时的自变量取值是否在给定的取值范围内，否则易造成错解。易错点3 函数图象的平移不当例3 二次函数的图像是由函数的图像先向_（左，右）平移_个单位，再向_（上，下）平移_个单位得到的解 先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的。解析 二次函数由一般式化为顶点式时，在配方过程中提公因式和去括号易出现错误，要特别注意。必要时可去掉括号验证。易错点4 在应用二次函数知识解决实际问题时，不能正确理解题意，忽略自变量的取值范围例4 如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm（1）求S与x的函数关系式（2）如果要围成面积为45m2的花圃，问AB的长是多少？解：（1）S=（24-3x）x=24x-3x2（2）45=24x-3x2x=5或x=3若x=3，则AB=3m，则BC=15m10m，舍去答：函数式为S=24x-3x2AB的长为5m解析 忽视墙的最大可用长度为10m，,x的取值范围为，受自变量取值范围的限制，第二问x=3不在此范围内，应舍去。六、广州市近五年与二次函数有关的试题1COABxy图6.（本小题满分14分）（2007，广州，22）如图6，一个二次函数的图象经过点A、C、B三点，点A的坐标为（），点B的坐标为（），点C在y轴的正半轴上，且AB=OC（1）求点C的坐标；（2）求这个二次函数的解析式，并求出该函数的最大值【点评】 本小题主要考查二次函数、二元一次方程组等基础知识，考查数形结合的数学思想，考查计算能力和推理能力满分14分（解略）2（本小题满分14分）（2009，广东广州，25）如图13，二次函数（）的图象与轴交于两点，与轴交于点，的面积为（1）求该二次函数的关系式；（2）过轴上的一点作轴的垂线，若该垂线与的外接圆有公共点，求的取值范围；（3）在该二次函数的图象上是否存在点，使四边形为直角梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由【点评】本小题主要考查二次函数、解直角三角形等基础知识，考查运算能力、推理能力和空间观念满分14分(解略)3（2010广东广州，21，12分）已知抛物线yx22x2（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；xy（3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1x21，试比较y1与y2的大小【点评】二次函数是中考考查的必考内容之一，本题是综合考查二次函数的一些基础知识，需要考生熟悉二次函数的相关基本概念即可解题4. （2011广东广州,24）（14分）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点C(0,1)，且与x轴交于不同的两点A、B，点A的坐标是（1，0）（1）求c的值；（2）求a的取值范围；（3）该二次函数的图象与直线y=1交于C、D两点，设A、B、C、D四点构成的四边形的对角线相交于点P，记PCD的面积为S1，PAB的面积为S2，当0a1时，求证：S1- S2为常数，并求出该常数。解：略。 二次函数单元测试题一、选择题1若抛物线的顶点在第一象限，与轴的两个交点分布在原点两侧，则点（，）在（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2若双曲线的两个分支在第二、四象限内，则抛物线的图象大致是图中的（ ）3如图是二次函数的图象，则一次函数的图象不经过（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 第3题图 第6题图4若点（2，5），（4，5）是抛物线上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是（ ） A直线 B直线 C直线 D直线5已知函数的图象与轴有交点，则的取值范围是（ ）A B C D6函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于一元二次方程ax2+bx+c-3=0的根的情况是（ ）A有两个不相等的实数根 B有两个异号的实数根C 有两个相等的实数根 D没有实数根7现有A，B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），用小莉掷A立方体朝上的数字为x，小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么他们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=x2+4x上的概率为（ ） A B C D8已知a1，点（a1，y1），（a，y2），（a+1，y2）都在函数y=x2的图象上，则（ ） Ay1y2y3 By1y3y2 Cy3y2y1 Dy2y1y39已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，给出以下结论：a+b+c0；ab+c0；b+2a0，其中所有正确结论的序号是（ ）A B C D 第9题图10把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是y=x23x+5，则有（ ）Ab=3，c=7 Bb=9，c=15 Cb=3，c=3 Db=9，c=21二、填空题11如图所示，矩形的窗户分成上、下两部分，用9米长的塑钢制作这个窗户的窗框（包括中间档），设窗宽（米），则窗的面积（平方米）用表示的函数关系式为_；要使制作的窗户面积最大，那么窗户的高是_米，窗户的最大面积是_平方米。12若二次函数的图象经过点（-2，10），且一元二次方程的根为和2，则该二次函数的解析关系式为_。13抛物线如图所示，则它关于轴对称的抛物线的关系式是_。14把函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线是函数_的图象。15若二次函数的值总是负值，则_。16公路上行驶的汽车急刹车时的行驶路程s(m)与时间t(s)的函数关系式为s=20t5t2，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行_m才能停直来。17、老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质，甲：函数的图象不经过第三象限；乙：函数的图象不过第四象限；丙：当x2时，y随x的增大而减小；丁：当x0。已知这四位同学的描述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个二次函数_。18、已知抛物线C1、C2关于x轴对称，抛物线C1、C3关于y轴对称，如果C2的解析式为，则C3的解析式为_。19如图，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，ABBC，且点C在x轴上，若抛物线y=ax2+bx+c以C为顶点，且经过点B，则这条抛物线的关系式为_。三、解答题20圆的半径为3，若半径增加x，则面积增加y。求y与x的函数关系式。21若抛物线的顶点坐标是（1，16），并且抛物线与轴两交点间的距离为8，试求该抛物线的关系式，并求出这条抛物线上纵坐标为10的点的坐标。22某企业投资100万元引进一条农产品加工线，若平计维修、保养费用，预计投产后每年可获利33万元，该生产线投资后，从第1年到第年的维修、保养费用累计为（万元），且，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元。（1）求与之间的关系式；（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？23某瓜果基地市场部为指导该基地种植某蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产情况进行调查的基础上，对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行预测，提供了两个方面的信息，如图所示，请你根据图象提供的信息说明：（1）在3月从份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少元？（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？说明理由。24已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（c，2）,求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3。题目中的矩形框部分是一段墨水污染了无法辨认的文字 （1）根据已知和结论中现有的信息，你能否求出题中的二次函数解析式？若能，请写出求解过程；若不能，请说明理由（2）请你根据已有的信息，在原题中的矩形框中，填加一个适当的条件，把原题补充完整25在某市开展的环境创优活动中，某居民小区要在一块靠墙（墙长15米）的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成，若设花园靠墙的一边长为x(m)，花园的面积为y(m2)。（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）满足条件的花园面积能达到200m2吗？若能，求出此时x的值，若不能，说明理由：（3）根据(1)中求得的函数关系式，判断当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？26足球场上守门员在O处踢出一高球，球从地面1米的A处飞出（A在轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起，据实验，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线的形状