摆动从动件圆锥凸轮理论轮廓展开线曲率半径研究.pdf

第 5 1 卷第 1期 2 01 5 年1月 机械工程学报 J OURNAL OF M ECHANI CAL ENGI NEERI NG v01 51 N O 1 J a n 201 5 DoI l O 3 9 0 1 J M E 2 0 1 5 0 1 0 1 0 摆动从动件圆锥凸轮理论轮廓展开线曲率半径研究木 陈俊华 2 汤腾跃 马永洲 严利强 f 1 浙江大学机械工程学系杭州3 1 0 0 0 0 2 浙江大学宁波理工学院机 电与能源工程分院宁波3 1 5 1 0 0 摘要 通过分析常用的摆动从动件圆锥凸轮轮廓线曲率半径的设计误差 引入圆锥凸轮从动件运动轨迹的空间坐标表达式 利用偏离角的概念 建立无误差且便于对圆锥凸轮进行分析 设计和作图的 3 D理论轮廓展开线极坐标参数方程 推导得出 基于从动件运动规律及凸轮基准极径的展开线曲率半径解析表达式 并由此建立最小允许的圆锥凸轮基准极径值关于许用曲 率半径值的函数关系式 通过实例分析 绘制展开线上曲率半径的最小值随圆锥凸轮基准极径变化的关系曲线 从而确定圆 锥凸轮的基本参数 与现有摆动从动件圆锥凸轮设计方法的比较印证了该方法的有效性 具有极大的理论价值 关键词 圆锥凸轮 3 D展开 曲率半径 基准极径 中图分类号 T P 3 9 1 T H1 3 2 Re s e a r c h o n t he Ra d i us o f Cur v a t ur e o f Os c i l l a t i n g Fo l l o we r Co n i c a l Ca m S Ex pa ns i o n Pi t c h Cur v e CHEN J u n h u a L TANG T e n g yu e MA Yo n g z h o u YAN Li q i a n g 1 De p a r t me n t o f Me c h a n i c a l E n g i n e e ri n g Z h e j i a n g Un i v e r s i t y Ha n g z h o u 3 1 0 0 0 0 2 I n s t i t u t e o f M e c h a n i c a l a n d E l e c t ric a l E n g i n e e r i n g Ni n g b o I n s t i tut e o f T e c h n o l o g y Z h e j i ang Un i v e r s i t y Ni n g b o 3 1 5 1 0 0 Ab s t r a c t T h e e r r o r s e x i s t i n t h e c u r r e n t l y u s e d me tho d t o c a l c u l a t e r a d i us o f c u r v a t u r e o f a l l o s c i l l a t i n g f o l l o we r c o n i c a l c a m s e x p a n s i o n p i t c h c u r v e a r e a n a l y z e d S p a c e c o o r d i n a t e s o f t h e f o l l o we r S mo t i o n t r a c k are u t i l i z e d a n d wi th the c o n s i d e r a t i o n o f d e v i a t i o n ang l e p o l ar e q u a t i o n o f 3 D e x p ans i o n p i t c h C l l lwe i s e s t a b l i s h e d wh i c h i s e rro r f r e e and C an b e e a s i l y p l o t t e d and u s e d t o a n a l y z e and d e s i g n a c o n i c a l c a m Th e d e d u c e d e x p r e s s i o n o f r a d i u s o f c u r v a t u r e i s b a s e d o n mo t i o n l a w o f the me c h a n i s m and p r i me p o l a r r a d i u s o f the c a m an d t h e f un c t i o n o f mi n i mu m p rime p o l a r r a d i u s o f c o n i c a l c a m wi th r e s 1 e c t t o a l l o wa b l e r a d i u s o f c u r v a t u r e i s e s tab l i s h e d t h r o u g h thi s e x p r e s s i o n Th r o u g h e x a mp l e an a l y s i s t h e r e l a t i o n c u r v e b e t we e n the mi n i mu m r a d i u s o f c u r v a t u r e a n d t h e p ri me p o l a r r a d i u s i s d e s c ri b e d an d g e o me t r i c p a r am e t e r s o f a c o n i c a l c a m are d e s i gn e d Th e f e a s i b i l i t y o fo u r me tho d o l o g y i s v a l i d a t e d b y c o mp a ri n g wi th t h e c u r r e n t l y u s e d o s c i l l a t i n g f o l l o we r c o n i c a l c a m s d e s i gn me t h o d wi th g r e a t t h e o r e t i c a l v a l u e Ke y wo r d s c o n i c a l c a m 3 D e x p an s i o n r a d i u s o f c u r v a t u r e p r i me p o l ar r a d i u s 0 前言 摆动 从动件圆锥 凸轮机构 是一种极 为常见 的 机械结构 圆锥 凸轮机构与其他机构相比 具有体 积小 结构紧凑 刚性好和传动扭矩大等优点 并 且可以控制从动件运动平面和圆锥凸轮轴线的倾斜 角 圆锥凸轮的轮廓线是复杂的空间曲线 因此很 难根据从动件的运动规律进行理论轮廓线的设计 国家 自然科学基金 5 0 5 7 5 2 0 5 国家高技术研究发展计划 8 6 3计划 2 0 0 6 A A0 4 Z 2 3 3 浙江省 自然科学基金 L Y1 2 E 0 5 0 1 4 和 国家海洋局 NB ME 2 0 1 1 C L 0 2 资助项 目 2 0 1 4 0 1 3 0收到初稿 2 0 1 4 0 9 1 6收到修 改稿 为了简化设计过程 圆锥 凸轮 的设计通常是将理论 轮廓线通过某种方式展开并在一个平面内表达 计 算理论轮廓展开线的坐标方程 并且根据许用压力 角 曲率半径等工程条件确定凸轮的几何参数 在摆动从动件圆锥凸轮机构的设计中 已知运 动规律 计 算其 理论轮廓展开线 的最 小 曲率 半径 R 具有极其重要 的意义 为保证 凸轮运动过程 平稳 避免尖项的产生L 1 J 尺 z m i n 必须大于滚子半 径 因此若 Z m i 过小将对滚子的选择增加难度 若 过大 则将导致 凸轮机构 的整体尺寸过大 从而其惯性力增大 导致凸轮与从动件间的接触力 和应力增大 J 为此迫切需要探究一种圆锥凸轮理 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 2 0 1 5年 1月 陈俊华等 摆动从动件圆锥凸轮理论轮廓展开线曲率半径探究 1 3 3 1 推导曲率半径的表达式 将式 7 转化为直角坐标下的参数方程 c s s i n 0 求导 4 实例分析 由于 和 Y关于 均二阶可导 对此参数方程 绘制基准极径与最小曲率半径的关系曲线 设从动件 的运动规律 按式 1 5 所示 的摆 线运动规律变化 其图像如图 4所示 一d y 9 d x d d d 2 y dx d Zy 一 d2x 嵩 3 S d d d I d l 一 厂 可推导其 曲率半径 R 的公式为 厂 l L d x d 2 y d 2 x d e d d d d P f 1 11 2 p 0 一 p P 0 式中P P的一阶导数 P P的二阶导数 的一阶导数 的二阶导数 凸轮的理论轮廓线上 相对于摆杆转动轴 外 凸部分的曲率半径为正值 内凹部分的曲率半径为 负值 在确定圆锥凸轮理论轮廓展开线 的最小 曲 率半径时 的表达式取其绝对值 3 2 根据许用曲率半径确定圆锥凸轮最小基准极径 由于式 1 2 所示 的 关于 的函数存在 一个 最小值 故对于变化 的 可求得 R 脑n i n 关 于 的函 数关系式 z m i Z m i 并得到其反 函数 P o m 脑血 1 3 根据式 1 3 当许用曲 率半径为 胁i J 时 可 以得到允许的最小 凸轮基准极径值 如式 1 4 所示 从而精确地确定圆锥 凸轮的基本参数 尺 1 4 通常情况下 以上 的函数关系式均较为复杂 故实际设计计算通常运用软件辅助进行 去m 0 1 2 0 2 5 1 2 0 1 3 0 脚 一 so 190 1 si n 5 厂 4 2 5 1 3 0 2 5 0 25 0 3 6 0 1 5 式中 S f l e 升程段 曲线函数关系式 S 回程段 曲线函数关系式 凸轮转角 图4 运动规律曲线 由于 S 和 S 的对称性 此处仅考 虑 S 现应用 Ma t l a b软件绘制遵循该运动规律的圆 锥 凸轮理论轮廓展开线最小曲率半径与基准极径 的 关系 曲线并求当许用曲率半径为 6 0 m m 时圆锥 凸 轮的最小允许的基准极径值 取 2 5 1 6 m m a 2 5 1 mm Y 1 0 编写 Ma t l a b程序得到图 5所示的 与最小曲率半径 的 关系曲线 并求出当许用 曲率半径为 6 0mm 时 最 小基准极径为 3 5 2 mm 昌 鐾 鑫 基准极径 m m 图5 P o 与最小曲率半径的关系 曲线 3 D展开 4 2 绘制理论轮廓展开 曲线 将圆锥凸轮基准极径 等于 3 5 2 i il m 及摆杆 一 卫 3 2 1 J 2 一 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 1 4 机械工程学报 第 5 1 卷第 1 期 长度 2 5 1 6 I I ln l 摆杆摆动轴到圆锥凸轮旋转轴的 距离口 2 5 1 II l I Il 圆锥凸轮的锥顶半角 1 0 运 动规律 S 厂 代入式 5 6 即可得到圆锥 凸轮理 论轮廓展开线 的极坐标方程 P 3 5 2 Sl 一 arc si n si n 16 式中 S 1 满足如下关系式 s l f 3 5 2 一s i n 3 5 2 s in 1 0 I 1 l 编写 Ma t la b程序得到在极坐标下的理论轮廓展开 线曲线如 图 6所示 极角 o 极径 P mm 9 0 4 O 0 O 图 6 理论轮廓展 开线 修改程序 中的参数 可求 出当许用 曲率 半径为 特定值时 最小基准极径的值如表 1 所示 表 1 许用曲率半径与最小 P o 的关系 3 D展开 许用 曲率半径 m m 2 0 4 0 6 O 8 0 2 0 6 2 9 0 3 5 2 4 2 2 最小基准极径 l I Lr l l 4 3 与现有设计方法的对比 若参照文献 9 得到凸轮在扇形展开面上 的理 论轮廓线 曲率半径 的计算公式为 f2 厂 z 一 2 zf 厂 c Lo A z 咖s 18 式中 展开面上机构中心距 从动件角位移 从动件冲程角 厂 用于简化计算公式的函数式 1 9 厂 s d 9 d q 弧度制下 f 对 的一阶导数 d d 弧度制下 f 对 的二阶导数 将角度制下 从动件位 移与 圆锥 凸轮转 角之 间 在升程段的函数关系式 50 q l 2060 一 1 si n 20 改写成从动件角位移与圆锥 凸轮转角之间的关系为 r 5 0 r 一 6 0 2 丁 c 嬲m l 2 5 1 6 L 1 2 0一 一2 re n 一1 2 0 J l 2 1 I 川 据此编写 Ma t la b程序 得到如图 7 所示的 与 最小曲率半径 的关系 曲线 并求出当许用 曲率半径 为 6 0 n ll T l时 最小基准极径为 3 6 8 mm 量 彗 蠢 基准极径 P o mm 图7 与最小曲率半径的关系曲线 平面展开 修改程序 中的参数 可求 出当许用 曲率 半径为 特定值 时 最小基准极径的值如表 2所示 表 2 许用曲率半径与最小 的关系 平面展开 许用 曲率半径 I I l I n 2 0 4 0 6 0 8 0 最小基准极径 IT l I n 2 1 8 3 0 4 3 6 8 4 3 8 用两种 方法得到 的 与最小 曲率半径的关系 曲线的对比图如图 8所示 基准极径 P o mm 图 8 P o 与最小曲率半径的关系曲线对 比图 对 比表 1 和表 2数据及 图 8可以看 出 当许用 曲率半径增大时 用两种方法得 出的最小基准极径 的差值也随之增大 当许用 曲率半径达到 8 0 mm 时 用两种方法得出的最小基准极径相差 1 6 l n n l 吕 u 删 瓣薯 f 瑶 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 2 0 1 5 年 1月 陈俊华等 摆动从动件圆锥凸轮理论轮廓展开线曲率半径探究 1 5 误差百分数为 3 8 此误差在实际应用 中将会对机 构造成严重的影响 通过理论计算 若在此实例 的 条件下 仅对比圆锥凸轮的工作段 按照文献 9 中 平面展开法设计的圆锥凸轮相 比按照 3 D 展开法设 计的圆锥 凸轮 其质量增加了 7 7 转动惯量增加 了 1 6 0 由此 在后者满足机构运动要求的前提 下 前者 的理论误差将导致凸轮机构整体尺寸不必 要的过大 从而增加成本 机构重量 运动噪声以 及凸轮与从动件之间的应力 并且降低机构的使用 寿命 此外 为分析从动件运动冲程对于平面展开设 计方法存在误差的影响 依据许用 曲率半径 为 8 0 mm 的设计要求 将从动件运动规律中的升程段函 数关系式依次改为 1 ra 1 2 6 0 一 1 s i n 3 4 5 6 7 2 2 并取 2 5 1 6 ml T l a 2 5 1 r n r n 1 0 编 写 Ma t l a b 程序得到对应 的基于平面展开法 的最小基准 极径值相对于基于 3 D 展开法的最小基准极径值 的 误差 如表 3所示 表 3 运动规律中系数 与最小 误差的关系 系数 k 3 4 5 6 7 最小基准极径误差 r r ff n 4 1 0 1 6 2 2 3 0 由表 3可知 在一定的许用 曲率半径下 随着 从动件运动冲程的增大 基于平面展开法得到的最 小基准极径值与理论值 的误差逐渐增大 若从动件运动规律中的升程段函数关系式为 正等跃度运动规律 基于对称性仅分析加速段 设 其方程式为 一 2 5 2 3 在其 他 条件 不变 的前 提下 编写 Ma t l a b 程序 得到当许用 曲率半径达到 8 0 n l l il 时 用两种方法得 出的最 小基准 极径 相差 3 4 I il l i1 误 差 百分数 为 8 2 若从 动件运动规律 中的升程段 函数关系式 为 简谐运动规律 设其方程式为 一2 5 咖高 2 4 在其他条件不变的前提下编写 Ma t l a b 程序得到当 许用 曲率半径达到 8 0 i l l n时 用两种方法得 出的最 小基准极径相差 8 r f l r f l 误差百分数为 3 3 由此可见 在不同类型的从动件运动规律下 依据平面展开法对于摆动从动件 圆锥凸轮机构理论 轮廓展开线 曲率半径的设计均存在 明显的误差 5 结论 1 现有摆动从动件 圆锥 凸轮理论轮廓线展开 方法在处理从动件轨迹点与凸轮旋转轴线 的偏差的 展开长度时存在误差 并且错误地认为轮廓展开线 上轨迹点的运动路径是圆弧 因此展开线 曲率半径 的计算也不可避免地存在误差 2 通过理论推导和软件辅助设计可知 分别 利用 3 D 展开法和 目前常用的设计方法得到的圆锥 凸轮基准极径与理论轮廓展开线最小 曲率半径的关 系 曲线存在较为明显的偏差 并且随着许用 曲率半 径或从动件运动幅值 的增大 用两种方法得出的最 小基准极径的差值也随之增大 3 相对于常用的设计方法 3 D展开法作为摆 动从动件 圆锥凸轮机构无误差 的设计方法 是对于 计算其理论轮廓展开线 曲率半径的合理改进 可以 有效地减小凸轮尺寸 节约成本 以及增加机构使用 寿命等 具有极其重大的意义 参考文献 1 WI L S O N C E S ADL E R J P Ki n e ma t ics a n d d y n a mi cs o f ma ch i n e r y M Ne w Y o r k P r e n t i ce Ha l l 2 0 0 3 2 N A V A R RO O WU C J AN GE L E S J T h e s iz e mi n i miz a t i o n o f p l a n a r ca m me ch a n is ms J Me ch anis m and Ma ch i n e Th e o ry 2 0 0 1 3 6 3 3 7 1 3 8 6 3 H S I E H J E A p p l ica t io n o f h o mo g e n o u s t r ans f o r ma t i o n m a t r ix t o me a s u r e m e n t o f ca m p r o fi l e s o n co o r d in a t e me a s u r i n g ma ch in e s J I n t e r n a t i o n a l J o u r n a l o f Ma ch in e T o o l s Ma n u f a ct u r e 2 0 0 7 4 7 8 1 5 9 3 1 6 0 6 4 MA KH A NO V S Op t i miz a t io n a n d co r r e ct io n o f t h e t o o l p a t h o f t h e fiv e a x is mi l l in g ma ch i n e P a r t 1 s p a t ia l J Ma t h e ma t ics and C o mp u t e r s i n S im u l a t io n 2 0 0 7 7 5 5 21 0 2 3 0 5 L E E J N L E E R S I n t e rf e r e n ce f r e e t o o l p a th g e n e r a t i o n u s in g e n v e l o p in g e l e me nt f o r fi v e ax is ma ch in in g o f s p a t i a l cam J Ma t e r ia l s P r o ce s s in g T e ch n o l o g y 2 0 0 7 1 8 8 1 2 1 0 1 3 6 NG UY E N V T M D J F l e x i b l e ca m p r o fi l e s y n the s i s me t h o d u s i n g s mo o thi n g s p l i n e cu r v e s J Me ch ani s m and Ma ch i n e T h e o ry 2 0 0 7 4 2 7 8 2 5 8 3 8 7 李俭 殷国富 圆锥滚子直动从动件圆锥凸轮机构廓面 方程的解析方法 J 机械设计 2 0 0 3 2 0 1 1 1 3 1 5 LI J ian YI N Gu o f u An a l y t ica l me t h o d o f p r o fi l e e q u a t io n o f co n ica l ca m with tr an s l a t in g co n ica l r o l l e r f o l l o we r J J o u r n a l o f Ma ch i n e D e s i g n 2 0 0 3 2 0 1 1 学兔兔 w w w x u e t u t u c o m 1 6 机械工程学报 第 5 1 卷第 1 期 l 3 1 5 8 葛荣雨 冯显英 褚 良敏 等 圆锥滚子摆动从动件圆 锥凸轮机构的廓面构建 J 机械设计 2 0 0 6 2 3 6 35 37 GE Ro n g y u F E NG Xi a n y i n g CHU L ia n g r n i n e t a 1 S t r u c t u r e o f p r o fi l e o f c o n i c a l c a m wi t h o s c i l l a t in g r o l l e r f o l l o we r J J o u r n a l o f Ma c h in e D e s i g n 2 0 0 6 2 3 6 3 5 3 7 9 石永刚 吴央芳 凸轮机构设计与应用创新 M 北京 机械工业出版社 2 0 0 7 S HI Y o n g g a n g WU Ya n g f a n g De s ign a p p l ic a t io n a n d in n o v a t io n o f c a l n me c h a n is ms M B e i j i ng C h i n a Ma c h i n e P r e s s 2 0 0 7 1 0 MAB I E H H R E I N HOL T Z C F Me c h a n is ms a n d d y n a mic s o f ma c h i n e r y M Mic h ig an Wi l e y P r e s s 1 9 8 7 1 1 C H E N J H WU Y J An a l y s is o f 3 D c u r v e e x p ans i o n o f c o n i c a l c a m wi th o s c i l l a t i n g t a p e r e d r o l l e r f o l l o we r J J o u r n a l o f Z h e j i a n g U n i v e r s i t y 2 0 0 7 8 1 1 1 7 8 9 1 7 9 4 1 2 N I S HI OK A M T o o l d i am e t e r o f f s e t and the o ff s e t e r r o r o f c y l i n d r i c a l c am J T r a n s a c t i o n s o f t h e J a p an S o c ie t y o f Me c h a n ic a l E n g i n e e r s P a r t C 2 0 0 3 6 9 1 2 3 4 0 3 3 4 0 9 1 3 辛勇 摆动从动件圆柱分度凸轮 3 D展开的研究 J 农 业机械学报 2 0 0 7 3 8 7 1 2 1 1 2 4 XI N Y o n g Re s e a r c h o f c y l in d r i c a l c a m wi th o s c il l a t i ng f o l l o we r 3 D s p r e a d J T r a n s a c t i o n s o f t h e C h in e s e S o c i e ty o f A g r i c u l t u r a l Ma c h i n e r y 2 0 0 7 3 8 7 1 2 1 1 2 4 1 4 C HE N J H WU Y J R e s e a r c h in n o n e q u a l i z a t io n ma c h in in g me t h o d f o r s p a t ia l c am J J o u r n