对坐标的曲线积分.pdf

2 对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分 一 问题的提出 ox y A B L 1 n M i M 1 i M 2 M 1 M i x i y 所作的功 求变力动到点 移 从点平面上一条光滑曲线作用下 沿 设质点在变力 所作的功 求变力动到点 移 从点平面上一条光滑曲线作用下 沿 设质点在变力 FB ALxOy jyxQiyxPyxF AB 常力所作的功 常力所作的功 1111110 BM 实例 变力沿曲线作功问题实例 变力沿曲线作功问题 ABFW AB F yxMyxMMA nnnn 分割分割 1 jyixMM iiii jQiPF iiiiii 取 取 1iiiii MMFW iiiiiii yQxPW 即即 近似近似 ox y A B L 1 n M i M 1 i M 2 M 1 M ii F i x i y 求和求和 1 n i iiiiii yQxP lim 1 0 取极限取极限 n i iiiiii yQxPW 近似值近似值 精确值精确值 n i i WW 1 max 1 i ni s 记记 规定了正向的曲线称为规定了正向的曲线称为有向曲 线弧 有向曲 线弧 与 与L反方的曲线记为反方的曲线记为 L 定向一样 因此需要给路径 其效果不移动到点沿曲线与从点动到点 移沿曲线点从点在变力作功问题中 质 定向一样 因此需要给路径 其效果不移动到点沿曲线与从点动到点 移沿曲线点从点在变力作功问题中 质 L ALBB LA 方向为正向规定参数增加或减少的 方向为正向规定参数增加或减少的 t tzz tyy txx L 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 0 5 10 2 1 0 1 2 t增加 的方向 为正向 增加 的方向 为正向 L不自交不封闭曲线 参数曲线 不自交不封闭曲线 参数曲线 BAAB LL或记为 规定其起点与终点 或记为 规定其起点与终点 A B A B 以逆时针还是顺时针来规定其正向以逆时针还是顺时针来规定其正向 简单闭曲线简单闭曲线 二 对坐标的曲线积分的概念与性质 1 定义定义 0 2 1 1 11 01 111 222111 时长度的最大值 如果当各小弧段上任意取定的点 为点设 个有向小弧段分成把 上的点用上有界 在函数向光滑曲线弧 的一条有到点面内从点为设 时长度的最大值 如果当各小弧段上任意取定的点 为点设 个有向小弧段分成把 上的点用上有界 在函数向光滑曲线弧 的一条有到点面内从点为设 ii iiiiiiii nii nnn MM yyyxxx BMAMniMM nLyxM yxMyxML LyxQyxP BAxoyL 记作或称第二类曲线积分 的曲线积分上对坐标在有向曲线弧 则称此极限为函数的极限存在 记作或称第二类曲线积分 的曲线积分上对坐标在有向曲线弧 则称此极限为函数的极限存在 1 xLyxP xP n i iii lim 1 0 ii n i i L xPdxyxP lim 1 0 ii n i i L yQdyyxQ 类似地定义类似地定义 叫做被积函数其中叫做被积函数其中yxQyxP 叫积分弧段叫积分弧段L L sdFL 为是闭曲线时 积分常记当曲线为是闭曲线时 积分常记当曲线 2 存在条 件 存在条 件 第二类曲线积分存在上连续时 在光滑曲线弧当 第二类曲线积分存在上连续时 在光滑曲线弧当LyxQyxP 3 组合形式组合形式 L LL dyyxQdxyxP dyyxQdxyxP L dsF jdyidxdsjQiPF 其中其中 4 推广4 推广 空间有向曲线弧空间有向曲线弧 lim 1 0 iii n i i xPdxzyxP RdzQdyPdx lim 1 0 iii n i i yQdyzyxQ lim 1 0 iii n i i zRdzzyxR 5 性质5 性质 1 21 21 LLL QdyPdxQdyPdxQdyPdx LLL则和分成如果把则和分成如果把 则有向曲线弧 方向相反的是与是有向曲线弧设 则有向曲线弧 方向相反的是与是有向曲线弧设 2 LLL LL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关 意义第二类曲线积分的物理 意义第二类曲线积分的物理 6 所做的功 沿路径变力 所做的功 沿路径变力 kRjQiPF RdzQdyPdxW即 即 三 对坐标的曲线积分的计算 0 22 存在 则曲线积分且续导数 一阶连为端点的闭区间上具有及在以 运动到终点沿的起点从点时到 变单调地由当参数的参数方程为续 上有定义且连在曲线弧设 存在 则曲线积分且续导数 一阶连为端点的闭区间上具有及在以 运动到终点沿的起点从点时到 变单调地由当参数的参数方程为续 上有定义且连在曲线弧设 L dyyxQdxyxP tt tt BLALyxM t ty tx L LyxQyxP 定理定理 dttttQtttP dyyxQdxyxP L 且 且 定理证明 定理证明 LLL dyyxQdxyxPdyyxQdxyxP 由于 由于 n i iii L xPdxyxP 1 0 lim 先计算先计算 1 0121 iiin n tttt tttt 记之间依次插入分点在记之间依次插入分点在 iiiiii ttttx 之间与在之间与在 iiii ttt 可得取可得取 iiii ii n i iii n i ii tPxP 11 max max 11 i ni i ni ts 令 令 L dxyxP 0 0 dttttP 证毕证毕 特殊情形特殊情形 1 baxxyyL 终点为对应起点为 终点为对应起点为 dxxyxyxQxyxPQdyPdx b aL 则 则 2 dcyyxxL 终点为对应起点为 终点为对应起点为 dyyyxQyxyyxPQdyPdx d cL 则 则 3 终点对应起点推广终点对应起点推广t tz ty tx dtttttRttttQ ttttPRdzQdyPdx 1 1 1 1 2 的一段弧到 上从为抛物线其中计算 的一段弧到 上从为抛物线其中计算 BA xyLxydx L 例例1 xy 2 1 1 A 1 1 B 解解的定积分 化为对 的定积分 化为对x 1 xy OBAOL xydxxydxxydx 1 0 0 1 dxxxdxxx 1 0 2 3 2dxx 5 4 的定积分 化为对 的定积分 化为对y 2 xy 2 1 1 A 1 1 B 2 yx 11到从到从 y ABL xydxxydx 1 1 22 dyyyy 5 4 1 1 4 2dyy 0 0 2 1 2 的直线段轴到点沿从点 的上半圆周 针方向绕行 圆心为原点 按逆时半径为 为其中计算 的直线段轴到点沿从点 的上半圆周 针方向绕行 圆心为原点 按逆时半径为 为其中计算 aBxaA a Ldxy L 例例2 sin cos 1 ay ax L 解解 0 aA 0 aB 变到从 变到从 0 0 原式原式 daa sin sin2 2 3 4 3 a 0 3 a cos cos1 2 d 0 2 yL 0 aA 0 aB 变到从 变到从aax a a dx0原式原式 0 问题 被积函数相同 起点和终点相同 但路 径不同积分结果不同 问题 被积函数相同 起点和终点相同 但路 径不同积分结果不同 例例3 1 1 0 1 0 0 3 1 1 0 0 2 1 1 0 0 1 2 2 2 2 依次是点 这里有向折线 的一段弧到上从抛物线 的一段弧到上从抛物线 为其中计算 依次是点 这里有向折线 的一段弧到上从抛物线 的一段弧到上从抛物线 为其中计算 BAOOAB BOyx BOxy Ldyxxydx L 2 xy 0 1 A 1 1 B 1 的积分化为对的积分化为对 x 10 2 变到从 变到从xxyL 1 0 22 22 dxxxxx原式 原式 1 0 3 4dxx 1 解解 2 yx 2 的积分化为对的积分化为对 y 0 1 A 1 1 B 10 2 变到从变到从yyxL 1 0 42 22 dyyyyy原式原式 1 0 4 5dxy 1 0 1 A 1 1 B 3 AB OA dyxxydx dyxxydx 2 2 2 2原式原式 10 0变到从变到从xy 上在上在 OA 0 1 A 1 1 B 1 0 22 002 2dxxxdyxxydx OA 0 上在上在 AB 10 1变到从变到从yx 1 0 2 102 2dyydyxxydx AB 1 10 原式原式 1 问题 被积函数相同 起点和终点也相同 但 路径不同而积分结果相同 问题 被积函数相同 起点和终点也相同 但 路径不同而积分结果相同 四 两类曲线积分之间的联系 ty tx L 设有向平面曲线弧为 设有向平面曲线弧为 为处的切线向量的方向角上点为处的切线向量的方向角上点yxL LL dsQPQdyPdx coscos 则则 cos 22 tt t cos 22 tt t 其中其中 可以推广到空间曲线上 可以推广到空间曲线上 为处的切线向量的方向角上点为处的切线向量的方向角上点zyx dsRQPRdzQdyPdx coscoscos 则 则 dsA rdA dsA 可用向量表示可用向量表示 cos cos cos 其中 其中 RQPA dzdydxdsrd 处的单位切向量上点处的单位切向量上点 zyx 有向曲线元 有向曲线元 上的投影在向量为向量上的投影在向量为向量 AA 所做的功可表示为 沿路径变力 所做的功可表示为 沿路径变力 kRjQiPF rdFW 小 结 1 第二类曲线积分 对坐标的曲线积 分 的概念 第二类曲线积分 对坐标的曲线积 分 的概念 2 第二类曲线积分 对坐标曲线积 分 的计算 第二类曲线积分 对坐标曲线积 分 的计算 3 两类曲线积分之间的联系 两类曲线积分之间的联系 思考题思考题 当曲线当曲线L的参数方程与参数的变化范围给定 之后 例如 的参数方程与参数的变化范围给定 之后 例如L taxco