高数极限和连续.doc

【极限】一、数列极限1）数列的单调性对于数列x,如果有xx（即xxx）, n1，则称x是单调增加的；若xx，n1，则称x是单调减少的。2）数列的有界性 如果对于数列x，存在正整数M，使得对每一个x都满足 M，则称数列x是有界的；如果这样的数不存在，则称数列x是无界的。例: , 1，是有界的，n是无界的3）数列的极限 对于数列x，如果当n时，x无限的趋于一个确定的常数A，则称当n趋于无穷大时，数列x以常数A为极限，或称数列x收敛于A，记作： A或xA（当n时）否则称数列x没有极限，如果数列x没有极限，就称数列x是发散的。4）数列极限的性质 定理1：若数列x收敛，则其极限值必定唯一 定理2：若数列x收敛，则它必定有界（反之不对！）5）数列极限的存在准则 定理3：（两边夹定理）若数列x，y, z满足下列条件： yxz，n1,2， xA，A那么，数列x的极限存在，且A定理4：若数列x为单调有界数列，则存在6）数列极限四则运算定理5：若A B 则(y)yAB (y)yAB 若B0，则 对于任意常数a，aaA二、函数的极限1）函数在一点处的极限当xx时函数的极限如果当x无限的趋于x时，函数无限的趋于一个确定的常数A，则称当xx时，函数f(x)的极限是A，记作： A或A(当xx时)当xx时函数的左（或右）极限如果当x从x的左边（或右边）无限的趋于x时，函数无限的趋于一个确定的常数A，则称当xx时，函数的左极限（或右极限）是A，记作： f（x0）A 或 f（x0）A定理6：A的充要条件是： A2）x时，函数的极限当x时，函数的极限如果当x时，函数无限的趋于一个确定的常数A，则称当x时，函数的极限是A，记作： A 或 A(当x时)当x（或）时，函数的极限如果当x（或）时，函数无限的趋于一个确定的常数A，则称当x（或）时，函数的极限是A，记作： A 或A定理7：A的充要条件是： A3）函数极限的性质定理8：若存在，则其极限值必定唯一定理9：设函数，g(x)，h(x)在点x的某个领域内（x可除外）满足条件： A,则A（注：定理8和定理9，当x时也成立）4）函数极限的运算法则定理10：若 A , B ,则 lim AB lim AB 当B0时，lim 三、无穷小量与无穷大量1）无穷小量（0，仅此一个数）如果x在某个变化过程中，的极限值为0，则称在该变化过程中，为无穷小量，记作：0定理11：x在某个变化过程中，的极限值为A的充要条件：在x的同一变化过程中，为无穷小量。2）无穷大量若果x在某个变化过程中，无限增大，则称在该变化过程中，为无穷大量，记作：。如果，则称在该变化过程中， 为正无穷大量。反之称为负无穷大量3）无穷小量与无穷大量的关系定理12：在x的同一变化过程中，如果为无穷大量，则为无穷小量。反之，如果为无穷小量，则为无穷大量。4）无穷小量的基本性质若为无穷小量，则也是无穷小量若，为无穷小量，则也为无穷小量 若为无穷小量，且,则为无穷小量 若，为无穷小量，则为无穷小量注：无穷大量具有性质，不具有性质5）无穷小量比较设和是同一变化过程中的无穷小量 如果0，则称是比高阶的无穷小量，记作 如果C0，则称是与同阶的无穷小量；特别的，若C=1，则称与等价的无穷小量，记作 如果，则称是比低阶的无穷小量两个等价无穷小量可以互相代换，但只能在极限的乘除法运算中应用常用等价无穷小量代换有：（当x0时） 四、两个重要极限1）1 推广式：12）e 特别的：ee等价于e ，这个形式有如下特征： 指数的绝对值趋于无穷大 括号内是两项之和，第一项是1，第二项是括号外指数的倒数定理14：e 推论若 ， 则： 五、求极限的方法运用极限的四则运算法通过通分、约分等形式求极限利用无穷小量的性质求极限 利用等价无穷小量（或无穷大量）求极限 利用两个重要极限求极限【函数的连续性】一、 函数连续性的概念1） 函数在点x处连续 设函数在点x的某个邻域内有定义，当x趋于x时趋于，则函数在点x处连续，记作：定理15：设在点x的某个邻域内有定义，则在点x处连续的充要条件是，当，的左右极限存在且等于函数值，即：由定理15知：构成在点x处连续的三要素是： 函数在点x处有定义 当，的极限存在 极限值该点函数值若上述三点不满足，则在点x处不连续，即间断2） 左（右）连续 对于函数，若，则称在x处左连续若，则称在x处右连续定理16：若函数在点x处连续，则在点x处即左连续也右连续3） 函数在区间上的连续如果函数在开区间内每点都连续，则称在开区间内连续。如果函数在开区间内连续，且在处右连续，即 ，在处左连续，即，则称函数在闭区间a，b上连续。4） 函数的间断点 若函数在点x处不连续，则称x为的一个间断点 若在点x处有一下三种情况，则点x就是的一个间断点在点x处无定义当xx时，的极值不存在在点x处有定义，也存在，但是二、 函数在一定处连续的性质1） 连续函数四则运算（定理17）设函数，在点x处均连续，则：在点x处连续在点x处连续若0，则在点x处连续2） 复合函数连续性定理18：如果函数在处连续，在连续，则，在处连续，在x处的极值在x处的函数值即：推论：若x是的间断点，存在，且在点处连续，则仍有3） 反函数的连续性定理19：如果函数在某区间上连续，且为严格单调函数，则它的反函数也在对应区间上连续，且严格单调三、 闭区间上连续的函数性质定理20（有界定理）：若函数在上连续，则在上必有界，即存在M0，对任意，总有M定理21（最值定理）若函数在上连续，则在上必能取得最大值M和最小值m，即在上存在与使得，mM，定理22（介值定理）若在上连续，且其最大值、最小值分别为