计算力学部分简答题.doc

计算力学试题答案1为什么说有限元法是单元级的Ritz法？有限单元法的解题步骤如何？（1）因为Ritz法是在整个区域内假设未知函数，适用于边界几何形状简单的情形，有限单元法是将整个区域离散，分散成若干个单元，在单元上假设未知函数，所以说有限单元法是单元级的Ritz法。（2） 有限单元法的解题步骤：建立力学模型，进行结构离散化；选择单元位移模式 ；分析单元的力学特性：整体分析：建立整体结构的有限元方程 引入边界条件，并求解得到a；对结果进行有关整理、计算单元或结点的应力、应变。2.有限单元法和经典Ritz 法有何区别和联系？试举3个优点说明有限单元法为什么能在各领域中得到广泛应用。（1）经典Ritz法是在整个区域内假设未知函数，适用于边界几何形状简单的情形；有限单元法是将整个区域离散，分散成若干个单元，在单元上假设未知函数。有限单元法是单元级的Ritz法。（2）有限单元法的优点：自然界普遍存在二次的能量泛函，有限元方程为线性代数方程组，比较简单；单元刚度矩阵为对称矩阵，计算规模越大，矩阵中0元素越多，存储、计算方便；有限单元法建立于严格的理论基础之上，计算结果可靠，精度较高。（2）有限元法的特性：对于复杂几何构形的适应性；对于各种物理问题的可适应性；建立于严格理论基础上的可靠性；适合计算机实现的可靠性。3、单元刚度矩阵和整体刚度矩阵各有什么特征？刚度矩阵、元素、奇异性有何物理意义？如何消除奇异性？（1）单元刚度矩阵的特征：对称性奇异性主元恒正平面图形相似性节点编号对应性整体刚度矩阵的特征：对称性奇异性主元恒正带状稀疏性（2）整体刚度矩阵：任意给定结构的结点位移所得到的结构结点力总体上满足力和力矩的平衡。单元刚度矩阵：反应单元（结构）的刚度大小特性。：当单元（结构）的第个结点位移方向上发生单位位移，而其他结点位移方向上位移为0时，需在第k个结点位移方向上施加的结点力大小。（当大时，则节点在第个结点位移方向上发生单位位移时，所需施加的力大。）（3）奇异性：整体刚度矩阵：整体刚度矩阵无逆矩阵，其行列式每行（或每列的所有元素之和等于零，K的秩（平面问题）为。单元刚度矩阵：单元刚度矩阵吴逆矩阵，其行列式每行（或每列的所有元素之和等于零。奇异性的物理意义：在不引入位移边界条件时，单元（结构）可以发生刚体位移。（没有约束的自由体是不能求解位移的）。消除的奇异性：引入位移边界条件，至少需给出能限制刚体位移的约束条件。4、 如何解释总刚度矩阵的奇异性和带状稀疏性？奇异性：=0，力学意义是对任意给定的结点位移所得到的结构结点力总体上是满足力和力矩的平衡。反之，给定任意满足力和力矩平衡的结点载荷P，由于K的奇异性却不能解得结构的位移，因而结构仍可能发生任意的刚体位移。为消除的奇异性，结构至少需给出能限制刚体位移的约束条件。带状稀疏性：由于连续体离散为有限个单元体时，每个结点的相关单元只是围绕在该结点周围为数甚少的几个，一个结点通过相关单元与之发生关系的相关结点也只是它周围的少数几个，因此虽然总体单元数和结点数很多，结构刚度矩阵的阶数很高，但刚度系数中非零系数却很少，即为总刚度矩阵的大型和稀疏性。另外，只要结点编号是合理的，相邻结点号码的差值小，非零元素将集中在以主对角线为中心的一条带状区域内，即为总刚度矩阵的带状分布特性。5、为什么要对平面三角形线性单元逆时针编号？为什么说该单元是常应变单元？（1）逆时针：结点编号为逆时针时求得的面积为正值。若采用顺时针编号，则三角形的面积为负值。（2）常应变单元：线性三角形单元的位移场为线性的，应变为位移的一阶导数，其应变矩阵完全由单元形状参数确定，在一个单元内的应变为常数，故该单元为常应变单元。6、为什么一般四边形单元不一定收敛，而等参变换的任意四边形单元却绝对收敛？（1）等参变换时，子单元与母单元采用相同的形函数，母单元为正方形，其形函数绝对收敛，则子单元也绝对收敛，即等参变换的任意四边形单元绝对收敛。（2）一般四边形单元7、什么是等参变换？什么是等参元？等参元有哪些优点（为什么引入等参元）？等参单元的收敛性如何？为什么等参元绝对收敛？等参变换的实现条件？（1）若单元几何形状的变换和单元位移的描述采用相同的结点数和相同的差值函数，称为等参变换。由等参变换得到的单元称为等参元。（2）等参元的优点：对单元形状的适应性强；单元特性矩阵的积分求解方便（积分限标准化）；便于编制通用化程序；单元绝对收敛。（3）等参单元满足收敛性需满足两个条件：即单元必须是协调的和完备的。完备性条件：要求插值函数中包含完全的线性项（包含常数项和一次项）。协调性条件：单元边界上位移连续，相邻单元边界具有相同的结点，每一单元沿边界的坐标和未知函数采用相同的插值函数。（4）等参元绝对收敛：因为等参元的子单元和母单元采用相同的形函数，母单元的形函数绝对收敛，故子单元绝对收敛。（5）等参变换条件：雅可比行列式 （1）（一一对应）（2）保证自然坐标与直角坐标间偏导数变换关系能实现的可能情形：（以二维情形为例）有，可能情形有：雅克比行列式： 称为雅克比矩阵（代表了单元的形状） 平行四边形、矩形、平行六面体的。8、对于平面4节点（线性）和8节点（二次）矩形单元，为了得到精确的刚度矩阵，需要多少个Gauss 积分点？说明理由。 m的求解方法：的导数最高次幂与的导数最高次幂相乘，得到最高次幂数即为m。9、对于空间8节点（线性）和20节点（二次）六面体单元，为了得到精确的刚度矩阵，需要多少个Gauss积分点？说明理由。（空间只考到一次）（1）对于空间8节点（线性）六面体单元：。 所以 因而积分点数为：矩阵（2）对于空间20节点（二次）六面体单元：。 所以 因而积分点数为：矩阵10、动力学有限元与静力学有限元的区别与联系？（1）共同点：区域离散、网格划分相同；形函数（差值函数）相同，都与时间无关；两者的基本方程（几何方程、物理方程等）形式相同。（2）不同点：动力学基本方程中除了刚度矩阵K，还多了惯性力、阻尼力，因而引入质量矩阵M和阻尼矩阵C；动力学有限元方程不再是线性代数方程组，而是常微分方程组；由于动力学问题与时间相关，故求得的参量与时间相关；两者的有限元方程求解方法不同。11、在动力学有限元中，为什么要使用集中质量阵的简化处理方法？协调质量矩阵与集中质量矩阵的区别？（1）因为集中质量矩阵假定单元的质量集中在结点上，形成的质量矩阵为一对角线矩阵，使得计算得到简化，提高计算效率。（2）协调质量矩阵与位移差值函数协调，与导出所依据的原理一致；集中质量矩阵一对角线矩阵。 协调质量矩阵按结构实际质量分布考虑；集中质量矩阵假定单元的质量集中在结点上。 协调质量矩阵为满秩阵；当单元有转角时，集中质量矩阵是缺秩的。12、以3节点三角形单元为例证明插值函数特性，n为节点数。由面积坐标： 插值函数：所以13、以平面4节点双线性单元为例，说明形函数的两个重要特性。 进而验证插值函数的性质： （1）结点上插值函数的值：（物理意义：节点i发生单位位移时，所引起的单元内位移分布。）（2）单元内任一点上插值函数之和等于1：（物理意义：设单元发生刚体位移 ，则单元内各位移相同。反应单元能发生刚体位移的条件。）另：（3）相邻单元边界上位移的连续性：线性差值函数单元内部和边界上位移均为线性分布，其边界上位移可由节点位移完全确定，由相邻单元公共节点上位移相等可保证相邻单元公共边界上位移的连续性。14、列式说明乘大数法引入