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文档简介

专题限时集训(十) 空间几何体表面积或体积的求解 建议a、b组各用时:45分钟 a组高考达标一、选择题1(2016石家庄二模)一个三棱锥的正视图和俯视图如图1011所示,则该三棱锥的侧视图可能为()图1011d分析三视图可知,该几何体为如图所示的三棱锥,其中平面acd平面bcd,故选d.2(2016潍坊二模)已知某几何体的三视图如图1012所示,则该几何体的体积为()图1012a.b.c.d(2)b由三视图可知该几何体由半球内挖去一个同底的圆锥得到,所以该几何体的体积为v13121.3(2016烟台模拟)某几何体的三视图如图1013所示,则该几何体的体积与其外接球的体积之比为()图1013a13b.c13d1d由三视图可知,几何体是一个三棱柱,体积v12224,设外接球的半径为r,则4r222222212,所以r.所以球的体积v2r34,体积比v1v2441.4(2016湖北七市模拟)已知某几何体的三视图如图1014所示,其中俯视图是正三角形,则该几何体的体积为()图1014a.b2 c3d4b分析题意可知,该几何体是由如图所示的三棱柱abca1b1c1截去四棱锥abedc得到的,故其体积v22322,故选b.5(2016广州二模)如图1015,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个四面体的三视图,则该四面体的表面积为()图1015a884b882c22d.a在正方体中还原出该四面体ca1ec1如图所示,可求得该四面体的表面积为884.二、填空题6(2016昆明一模)已知三棱锥pabc的顶点p,a,b,c在球o的球面上,abc是边长为的等边三角形,如果球o的表面积为36,那么p到平面abc距离的最大值为_32依题意,边长是的等边abc的外接圆半径r1.球o的表面积为364r2,球o的半径r3,球心o到平面abc的距离d2,球面上的点p到平面abc距离的最大值为rd32.7(2016山东省实验中学模拟)三棱锥pabc中,d,e分别为pb,pc的中点,记三棱锥dabe的体积为v1,pabc的体积为v2,则_.如图,设sabds1,spabs2,e到平面abd的距离为h1,c到平面pab的距离为h2,则s22s1,h22h1,v1s1h1,v2s2h2,所以.8(2016海口二模)半径为2的球o中有一内接正四棱柱(底面是正方形,侧棱垂直底面)当该正四棱柱的侧面积最大时,球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是_16()设内接正四棱柱底边长为a,高为h,那么162a2h22ah,正四棱柱的侧面积s4ah16,球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是16()三、解答题9(2016合肥二模)如图1016,p为正方形abcd外一点,pb平面abcd,pbab2,e为pd的中点图1016(1)求证:pace;(2)求四棱锥pabcd的表面积解(1)证明:取pa的中点f,连接ef,bf,则efadbc,即ef,bc共面pb平面abcd,pbbc,又bcab且pbabb,bc平面pab,bcpa.3分pbab,bfpa,又bcbfb,pa平面efbc,pace.6分(2)设四棱锥pabcd的表面积为s,pb平面abcd,pbcd,又cdbc,pbbcb,cd平面pbc,cdpc,即pcd为直角三角形,8分由(1)知bc平面pab,而adbc,ad平面pab,故adpa,即pad也为直角三角形sabcd224,spbcspabspda222,spcd22,10分s表sabcdspbcspdaspabspcd102.12分10(2016湖北七市模拟)如图1017,一个侧棱长为l的直三棱柱abca1b1c1容器中盛有液体(不计容器厚度)若液面恰好分别过棱ac,bc,b1c1,a1c1的中点d,e,f,g.图1017(1)求证:平面defg平面abb1a1;(2)当底面abc水平放置时,求液面的高解(1)证明:因为d,e分别为棱ac,bc的中点,所以de是abc的中位线,所以deab.又de平面abb1a1,ab平面abb1a1,所以de平面abb1a1.同理dg平面abb1a1,又dedgd,所以平面defg平面abb1a1.6分(2)当直三棱柱abca1b1c1容器的侧面aa1b1b水平放置时,由(1)可知,液体部分是直四棱柱,其高即为原直三棱柱abca1b1c1容器的高,即侧棱长l,当底面abc水平放置时,设液面的高为h,abc的面积为s,则由已知条件可知,cdeabc,且scdes,所以s四边形abeds.9分由于两种状态下液体体积相等,所以v液体shs四边形abedlsl,即hl.因此,当底面abc水平放置时,液面的高为l.12分b组名校冲刺一、选择题1(2016济宁模拟)如图1018所示,四棱锥pabcd中,pd平面abcd,且pd2,底面是边长为2的菱形,m是cd的中点,平面pmb平面pcd,则该四棱锥的体积为()图1018a.b4c.d4a过点d在平面pcd内作dnpm于点n,又平面pmb平面pcd,平面pmb平面pcdpm,所以dn平面pmb,所以dnbm.又由pd平面abcd,得pdbm,又pd与dn是平面pdc内的两条相交直线,所以bm平面pdc,则bmcd.又点m是cd的中点,bccd,所以bcd60,所以底面菱形abcd的面积为22sin 602,故该四棱锥的体积为22.2(2016重庆二模)某几何体的三视图如图1019所示,则该几何体的体积为()图1019a.b.c.d.b根据三视图可知,几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的,其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(直角边长分别为1,2,高为1);该三棱锥的底面是一个直角三角形(腰长分别为1,2,高为1),因此该几何体的体积为211211,选b.3(2016唐山二模)某几何体的三视图如图1020所示,则该几何体的体积为()图1020a64b4c.d2d由三视图知,该几何体为一个底面半径为1,高为1的圆柱体,与底面半径为1,高为2的半圆柱体构成,所以该三视图的体积为1211222,故选d.4(2016江西上饶三模)从点p出发的三条射线pa,pb,pc两两成60角,且分别与球o相切于a,b,c三点,若op,则球的体积为()a.b.c.d.c设op交平面abc于o,由题得abc和pab为正三角形,所以oaabap.因为aopo,oapa,所以,所以oa1,即球的半径为1,所以其体积为13.选c.二、填空题5(2016广州二模)一个六棱柱的底面是正六边形,侧棱垂直于底面,所有棱的长都为1,顶点在同一个球面上,则该球的体积为_. 【导学号:67722038】由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r1, 其高h1,球半径为r,该球的体积vr33.6(2016开封一模)在三棱锥pabc中,abbc,ac6,pc平面abc,pc2,则该三棱锥的外接球表面积为_. 【导学号:67722039】由题可知,abc中ac边上的高为,球心o在底面abc的投影即为abc的外心d,设dadbdcx,x232(x)2,解得x,r2x221(其中r为三棱锥外接球的半径),外接球的表面积s4r2.三、解答题7如图1021,矩形cdef和梯形abcd互相垂直,badadc90,abadcd,bedf.图1021(1)若m为ea中点,求证:ac平面mdf;(2)若ab2,求四棱锥eabcd的体积解(1)证明:设ec与df交于点n,连接mn,在矩形cdef中,点n为ec中点,因为m为ea中点,所以mnac.2分又因为ac平面mdf,mn平面mdf,所以ac平面mdf.4分(2)取cd中点为g,连接bg,eg,平面cdef平面abcd,平面cdef平面abcdcd,ad平面abcd,adcd,所以ad平面cdef,同理ed平面abcd,7分所以ed的长即为四棱锥eabcd的高.8分在梯形abcd中,abcddg,abdg,所以四边形abgd是平行四边形,bgad,所以bg平面cdef.又df平面cdef,所以bgdf,又bedf,bebgb,所以df平面beg,dfeg.10分注意到rtdegrtefd,所以de2dgef8,de2,所以veabcds梯形abcded4.12分8如图1022,在多面体abcdm中,bcd是等边三角形,cmd是等腰直角三角形,cmd90,平面cmd平面bcd,ab平面bcd,点o为cd的中点,连接om.图1022(1)求证:om平面abd;(2)若abbc2,求三棱锥abdm的体积解(1)证明:cmd是等腰直角三角形,cmd90,点o为cd的中点,omcd.1分平面cmd平面bcd,平面cmd平面bcdcd,om平面cmd,om平面bcd.2分ab平面bcd,omab.3分ab平面abd,om平面abd,om平面abd.4分(2)法一:由(1)知om平面abd,点m到平面abd的距离等于点o到平面abd的距离.5分过点o作ohbd,垂足为点h.ab平面bcd,oh平面bcd,ohab.6分ab平面abd,bd平面abd,abbdb,oh平面abd.7分abbc2,bcd是等边三角形,bd2,od1,ohodsin 60

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