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等差数列及其变式一、基本等差数列如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示。等差数列的通项公式为： (1)前n项和公式为：或 注意： 以上n均属于正整数。【例】1，4，7，10，l 3，l 6，19，22，25，1、二级等差数列 一般地，一个数列相邻的两项作差，得到的新数列为等差数列，则称原数列为二级等差数列。 解题模式：（1）观察数列特征。大部分多级等差数列为递增或递减的形式。 （2）尝试作差，一般为相邻两项之间作差，注意作差时相减的顺序保持不变、 （3）测测规律 （4）检验。 （5）重复步骤（2）（4）直至规律吻合。【例1】(2007黑龙江，第8题)11，12，15，20，27，( )A32 B34 C36 D38【解题关键点】原数列：11 12 15 20 27 （36） 做一次差： 1 3 5 7 （9）等差数列 【答案】C【例2】(2002国家，B类，第3题)32，27，23，20，18，( )A14 B15 C16 D1 7【解题关键点】原数列：32 27 23 20 18 （17） 做一次差：5 4 3 2 1 等差数列 【答案】D【例3】(2002国家，B类，第5题)2，1，7，16，( )，43A25 B28 C31 D35【解题关键点】原 数 列：-2 1 7 16 （z） 43 做一次差： 3 6 9 x y 猜 测：一个公差为3的等差数列。 尝 试：x=9+3=12，（ z ）=16+12=28 检 验：y=12+3=15, ( z )=43-15=28 【答案】B【例】3，6，11，( )，27A15 B18 C19 D24【解题关键点】二级等差数列。3 6 11 (18) 27 3 5 7 9 【答案】 B3、二级等差数列变式（1）相邻两项之差是等比数列【例】0，3，9，21，( )，93A40 B45 C. 36 D38【解题关键点】二级等差数列变式 0 3 9 21 (45) 93 求差 3 6 12 (24) (48) 公比为2 的等比数列 【答案】B（2）相邻两项之差是连续质数【例】11，13，16，21，28，( )A37 B39 C.41 D.47【解题关键点】二级等差数列变式11 13 16 21 28 （39） 求差 2 3 5 7 （11） 质数列 【答案】B（3）相邻两项之差是平方数列、立方数列【例】1，2，6，15，（ ）A19 B24 C31 D27【解题关键点】数列特征明显单调且倍数关系不明显，优先做差。 原数列：1 2 6 15 （31） 做差： 1 4 9 （16） 得到平方数列。 【答案】C（4）相邻两项之差是和数列【例】2, 1, 5, 8, 15, 25, ( )A.41 B.42 C.43 D.44【解题关键点】相邻两项之差是和数列 2 1 5 8 15 25 （42） 求差 -1 4 3 7 10 （17） 和数列 【答案】（5）相邻两项之差是循环数列【例】1,4,8,13,16,20,( ) A. 20 B. 25 C. 27 D. 28 【答案】B【解题关键点】该数列相邻两数的差成3，4，5一组循环的规律，所以空缺项应为20+5=25，故选B。1、三级等差数列 一般地，一个数列相邻的两项作差，得到的新数列，然后对该新数列相邻两项作差，得到等差数列，则称原数列为三级等差数列。 解题模式：（1）观察数列特征。大部分多级等差数列为递增或递减的形式。 （2）尝试作差，一般为相邻两项之间作差，注意作差时相减的顺序保持不变、 （3）测测规律 （4）检验。 （5）重复步骤（2）（4）直至规律吻合。【例】（2009年中央机关及其直属机构公务员录用考试行测真题）1，9，35，91，189，( )A361 B341 C321 D301【解题关键点】原数列后项减前项构成数列8，26，56，98，( )，新数列后项减前项构成数列18，30，42，(54)，该数列是公差为12的等差数列，接下来一项为54，反推回去，可得原数列的空缺项为54+98+189=341，故选B。如图所示：1 9 35 91 189 （341） 8 26 56 98 （52） 18 30 42 （54） 【答案】B解法二：因式分解数列，原数列经分解因式后变成：11，33，57，713，921，(1131)，将乘式的第一个因数和第二个因数分别排列，前一个因数是公差为2的等差数列，后一个因数是二级等差数列，答案也为B。图示法能把等差(比)数列的结构清晰地表示出来，一般应用于多级等差(比)数列中。【例2】5，12，21，34，53，80，( )A .121 B115 C119 D117【解题关键点】三级等差数列 5 12 21 34 53 80 （117） 求差 7 9 13 19 27 （37） 求差 2 4 6 8 （10） 公差为2的等差数列 【答案】D5、三级等差数列变式（1）两次作差之后得到等比数列【例】(2005国家，类，第35题)0，1，3，8，22，63，( )。A163 B174 C185 D196【解题关键点】原数列：0 1 3 8 22 63 （185） 求差 1 2 5 14 41 （122） 求差 1 3 9 27 （81） 等比数列 【答案】C（2）两次作差之后得到连续质数【例】1,8,18,33,55,( )A86 B87 C88 D89【解题关键点】1 8 18 33 55 (88) 求差 7 10 15 22 (33) 求差 3 5 7 (11) 质数列 【答案】C（3）两次作差之后得到平方数列、立方数列【例】5,12,20,36,79,( )A185 B186 C187 D188【解题关键点】5 12 20 36 79 (186) 求差 7 8 16 43 (107) 求差 1 8 27 (64) 立方数列 【答案】B（4）两次作差之后得到和数列【例4】-2, 0, 1, 6, 14, 29, 54, ( )A.95 B.96 C.97 D.98【解题关键点】三级等差数列变式-2 0 1 6 14 29 54 （96） 求差 2 1 5 8 15 25 （42） 求差 -1 4 3 7 10 （17）和数列【答案】基本等差数列 单选题1. 12，34，56，78，( )A910B100C.91 D.1092. 1，1，7，17，31，( )，71，A.41 B.37 C.49 D.503. 3，6，12，21，33，( )A44B46C48D504. 11，14，20，29，41，（ ）A.45 B.49C.56 D.725. 782，733，697，672，（ ）A. 656B. 648C. 662D. 6586. 7, 13, 20, 31, ( )A.40 B.43C.51 D.547. 15, 39, 65, 94, 128, 170, ( )A.180 B.210 C.225 D.256二级等差数列 单选题1. 1，8，21，40，（ ），96A55B60C65D702. 1，2，3，10，5，26，7，50，9，( )。A62B72C82D923. 41, 64, 93, 128, 151, 180 ( )A.207B.215C.223D.2284. 4，4，8，12，7，14，2，5，8，( )。A14B18C22D245. 5，8，( ) ，23， 35 A. 19B. 18C. 15D. 146. 1，2，3，7，8，17，15，( )。A31B10C9D257. 3，4，8，35，291，( )A .302B.343C.3125D.34168. 4, 4, 2, -2, ( )A.-3B.4C.-4D.-89. 25，28，32，( )，40，44，49。A35B36C37D3810. -8, -4, 4, 20, ( )A.60 B.52C.48 D.36三级等差数列 单选题1. 3, 8, 9, 0, -25, -72 ， （ ）A.-147B.-144C.-132D.-1242. 1, 10, 31， 70, 133, ( )A.136 B.186 C.226 D.2563. 1, 8, 18, 33, 55, ( )A.74 B.88 C.95 D.1034. 1，8，22，50，99，( )A120B134C142D.1765. -2, 0, 1, 6, 14, 29, 54, ( )A.95 B.96C.97 D.986. 0, 1, 4, 11, 26, ( )A.61 B.57C.43 D.33基本等差数列 参考答案1、.B公差为22的等差数列，下一项为78+22=(100)。4、C -1 1=-1+2+0*4 7=1+2+1*4 17=7+2+2*4 31=17+2+3*4 49=31+2+4*4 71=49+2+5*43、 C 相邻两项之差(后项减前项)分别为3，6，9，12，(1 5)，形成一个新的以3为公差的等差数列。由此可见，括号里的数字应为33+15=48，故选C。4、 C经过仔细观察与简单的计算后可以看出，本题中的相邻两项之差构成一个等差数列3，6，9，12，相差数为3。根据这一规律，推算出最后两项之差应为15，所以选C。此种题型中相领项并不是一个简单的等差数列，但其仍符合等差数列的一些特征，有着明显的规律性，所以可将其看作是等差数列的变式。5、A 782-49(7X7)=733 733-36(6X6)=697 697-25(5X5)=672 672-16(4X4)=6566、C 三级等差数列变式 7 13 20 31 （51） 求差 6 7 11 （20） 求差 1 4 （9） 平方数列 7、.C 三级等差数列变式 15 39 65 94 128 170 （225） 求差 24 26 29 34 42 （55） 求差 2 3 5 8 （13） 和数列二级等差数列参考答案1.C数列特征明显单调且倍数关系不明显，优先做差。得到典型的公差为6的等差数列。如图所示，因此，选C2. C 解一两两分组：1，23，105，267，509，(82) 组内规律：前一个数的平方再加1，等于后一个数。解二奇数项：1，3，5，7，9 构成等差数列；偶数项：2，10，26，50，(82) 构成二级等差数列3. B二级等差数列变式。相邻附项的差为23、29、35、23、29、(35)，是循环