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年全国高中数学联赛试题(A卷)word一、填空题：本大题共小题，每小题分，共分把答案填在题中的横线上 设是函数（）的图像上任意一点，过点分别向直线和轴作垂线，垂足分别为，则的值是 解:方法1:设则直线的方程为即由又所以故 设的内角的对边分别为，且满足，则的值是 .解:由题设及余弦定理得,即故.设，则的最大值是 .解:不妨设则因为所以当且仅当时上式等号同时成立.故4.抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上的两个动点，且满足设线段的中点在上的投影为，则的最大值是 .解:由抛物线的定义及梯形的中位线定理得在中,由余弦定理得 当且仅当时等号成立.故的最大值为1.5设同底的两个正三棱锥和内接于同一个球若正三棱锥的侧面与底面所成的角为，则正三棱锥的侧面与底面所成角的正切值是 解:如图.连结,则平面,垂足为正的中心,且过球心,连结并延长交于点,则为的中点,且,易知分别为正三棱锥的侧面与底面所成二角的平面角,则,从而,因为所以即所以,故6. 设是定义在上的奇函数，且当时，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 解:由题设知,则因此,原不等式等价于因为在上是增函数,所以即又所以当时,取得最大值因此,解得故的取值范围是满足的所有正整数的和是 解:由正弦函数的凸性,有当时, 由此得 所以 故满足的正整数的所有值分别为它们的和为.某情报站有四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种设第周使用种密码，那么第周也使用种密码的概率是 （用最简分数表示）解:用表示第周用种密码的概率,则第周末用种密码的概率为.于是,有,即由知，是首项为，公比为的等比数列。所以，即，故二、解答题：本大题共小题，共分解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤（本小题满分分）已知函数（）若对任意，都有，求的取值范围；（）若，且存在，使得，求的取值范围解:(1)令则分对任意,恒成立的充要条件是分(2)因为所以所以分因此于是,存在,使得的充要条件是故的取值范围是分（本小题满分分）已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数，都有（）当时，求所有满足条件的三项组成的数列;（）是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由解:(1)当时, ,由得.当时,由得或5分当时,若得或;若得;综上,满足条件的三项数列有三个:1,2,3或1,2,-2或1,-,110分(2)令则从而两式相减,结合得当时,由(1)知;当时,即所以或15分又所以20分（本小题满分分）如图5，在平面直角坐标系中，菱形的边长为，且（）求证：为定值；（）当点A在半圆（）上运动时，求点的轨迹解:因为所以山的共线5分如图,连结,则垂直平分线段,设垂足为,于是有
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