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解读07考纲 展谈基础能力苏州市教育科学研究院 陈兆华一、认识命题的指导思想高考命题的指导思想，可用以下八个字概括：三基四能，一新二高（1）三基：即基础知识、基本技能和基本数学思想方法对基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面又突出重点，试题中每种题型的起始部分均设有一定量的基础题，对支撑数学学科知识体系的主干知识，考查时保证较高的比例加强对中学数学知识中所蕴涵的数学思想方法的考查，具体要求主要体现在通性通法的运用上分析2006年高考江苏卷，基础知识题占有较大比例，分值近100分：选择题中的基础知识题有：第1题函数奇偶性、第2题圆的切线、第3题统计中的平均数与方差、第4题三角函数图象的伸缩与平移、第5题二项式定理的展开、第6题向量运算求轨迹、第7题集合、第8题不等式（40分）填空题中的基础知识题有：第11题三角函数中的正弦定理、第12题解几的线性规划、第13题排列（相同元素问题）、第14题三角恒等变形、第15题导数中的切线与数列、第16题解不等式（30分）解答题中的基础知识题有：第17题解析几何用其他有关问题等（30分）以上这些问题，主要就是考查了考生的三基（2）四能：思维能力、运算能力、空间想象能力、分析问题和解决问题的能力思维能力是数学能力的核心，其考查要求是：会观察、分析、综合、抽象和概括，会用归纳、演绎和类比进行推理，会用简明准确的数学语言阐述自己的思想与观点运算能力是思维能力与运算技能的结合，其考查的要求是：对数字的计算、估算和近似计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解以及分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等空间想象能力是指对空间图形的处理能力，其考查要求是：会根据题设条件想象和画出图形，会将复杂图形分解为简单图形，能对图形进行组合、变形，能在基本图形中确定基本元素及相互位置关系分析问题和解决问题的能力是对数学能力的综合考查，要求考生对试题所提供的问题，通过阅读、理解，运用已有的知识和方法，尝试解决新问题06年高考卷在四大能力上都体现了较高要求思维能力要求以最后两题尤为突出；运算能力体现在对整卷的运算量上，它是近几年高考中最大的一次，包括以上的部分基础知识题，很多题都有较大的运算量，如：小题中的第3、5、6、8、11、14、15、16题，大题中的所有解答题，都对考生的运算能力提出了前所未有的要求尤其是第14、15、16题，有些题目已相当于上世纪八、九十年代高考卷中的解答题如14小题，运算环节较多，要想得到正确答案，并非易事，若平时的训练不足，就会使学生产生心理准备不够，从而产生紧张情绪，因此扎实加强运算能力的培养是非常重要的，而这项工作是贯穿在平时的教与学的各个微小细节中的由于有2道解答题中有立体几何问题，加上图形的非常规性，给考生空间想象能力作出了非常高的要求而第9题、第10题具有较强的生活背景，又因为有些问题的综合性较强，因此，06高考在分析问题和解决问题的考查上也体现了较高要求（3）一新：即一个创新注重创新，加强试题的开放性、探究性以所学数学知识为基础，对某些数学问题进行深入探讨，或从数学角度对某些实际问题进行探究，以体现研究性学习的要求每年一般在小题中的排列组合问题上“出新”，在大题上的概率问题上“出新”或其他应用问题上“出新”（4）二高：即两个高度整体的高度和思维价值的高度注重从整体的高度和思维价值的高度设计问题注重学科的内在联系和知识的综合性，使考查达到必要的深度二、研究考试的内容要求对知识的考查要求分三个层次：A级：了解；B级：理解和掌握；C级：灵活和综合运用（1）A级要求有13个（2）B级要求有71个（3）C级要求有14个：“不等式”中有两个：“基本不等式”和“不等式的综合运用”；“函数”中有两个：“函数的基本性质”和“函数的综合运用”；“平面向量”中有一个：“平面向量的数量积”；“三角函数”中有两个：“同角三角函数的关系式”和“两角和与差的正弦、余弦、正切”；“数列”中有三个：“等差数列”、“等比数列”和“数列的综合运用”；“解析几何”中有三个：“椭圆的标准方程和几何性质”、“双曲线的标准方程和几何性质”和“抛物线的标准方程和几何性质”；“立体几何”中有一个：“直线和平面垂直的判定与性质”由于容易题、中等题、难题在试题中所占的比例大致为352，又上述三个层次中B级要求的知识点有71个，占总数的72%，因此重视中等题的复习与研究尤为重要三、基础问题的有效训练高三下学期，各学校的高三数学复习逐步进入第二轮与第三轮（综合练习为主），其中第二轮的复习要定位成“高瞻远瞩巩固基础、立足思想注重方法”在第二轮复习中，建议用知识板块为主线，贯穿数学思想方法，并以部分数学思想方法为专题，再对一些重点基础问题作回顾与训练基础问题的再认识，要在高一、高二已学习、高三一轮已复习的基础上有更大的提高，即要站在一定的高度再次认识基础问题，而不是简单的、机械的重复练习，要有目的、有方向、有重点的回顾一些基础问题使学生能从根本上认清问题的本质，能在轻松愉快、眼明心知的心境中得以解决1画龙点睛，用“心”解题对于第一轮复习中的重要基础问题，要抓住问题的要点，使学生“心领神会”例1 已知sin=，cos=，(，)，则m的取值范围是_例2 （2005年）在ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM = 2，则的最小值是_ 例3 关于x的方程x2 - x + a = 0和x2 - x + b = 0 (ab)的四个根组成首项为的等差数列，则a + b的值是（ ）ABCD 例4 等差数列an，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若对任意的自然数n，都有，则=_例5 求下列函数的值域： y = 3sin + 4cos，0，； y = 3sin - 4cos，0，例6 求下列函数的值域：y = 2x +； y = 2x -例7 已知实数a，b，c满足：a + b + c = 3，a2 + b2 + c2 = ，则a的取值范围是_ 例8 设sin + sin =，则sin - cos2 的最大值为ABCD例9 正方形ABCD的所有顶点在平面的同侧，点A，B，C到平面的距离分别为3cm，4cm，7cm，则点D到平面的距离为 例10 有四张卡片，正反面分别为0和1，2和3，4和5，6和7，用它们拼成一个三位数，可拼成_个三位数2抓住核心，注重算理例11 已知a，b 0，且ab - 2a - b = 1，求a + b的最小值例12 已知A(1，3)，B(-3，4)，直线AB交直线l：2x - 5y + 6 = 0于点P，则P分的比为_例13 已知O为ABC所在平面内的一点，且满足OA2 + BC2 = OB2 + CA2 = OC2 + AB2 ，则O一定是ABC的 （ ）A外心B内心C垂心D重心例14 （2000全国理）椭圆的焦点F1，F2，点P为其上的动点，当F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是_例15 已知平面，两两互相垂直，它们的三条交线的公共点为O，过O引一条射线OP，若OP与三条交线中的两条所成的角都是60，则OP与第三条交线所成的角为 （）A30B45C60D75例16 已知数列 an 满足：a1 =1，2an+1an + 3an+1 + an + 2 = 0，()求证：是等差数列；（）求an例17 n2 (n4)个正数排成n行n列：其中每一行的数都成等差数列，每一列的数都成等比数列，且所有公比相等已知a24 = 1，a42 =，a43 =，求a11 + a22 + a33 + + ann 的值3利用特殊，化繁为简例18 已知定义域、值域均为R的函数为奇函数，且函数y = f(x)存在反函数，函数的图象与函数的图象关于直线对称，则= 例19 （2006年全国卷）设Sn是等差数列an的前n项和，若，则= （）A B C D例20 将y = sin(2x+)的图象向右平移_单位可得y = sin(2x-)的图象例21 已知A，B，C三点不共线，R，则+ = 0成立的充要条件是（）A| = | = |B=C+= 0D= 0例22 在ABC中，化简a2(cos2B - cos2C) + b2 (cos2C - cos2A) + c2 (cos2A - cos2B) =_四、思想方法的宏观串联由于数学思维是数学教育的核心，因此高考把数学思维的考查放在一个十分重要的位置“多考点想的，少考点算的”，“全卷充满思辨性”，“证中有算，算中有证”，“加大对代数推理论证的考查”等命题指导思想足以说明高考对数学思维考查的重视程度（2007年教育部考试中心高考数学测量理论与实践）数学思想和方法可划分为三大类，它们是：数学思想方法，数学思维方法和数学方法其中数学思想方法：（1）函数与方程的思想；（2）数形结合的思想；（3）分类与整合的思想；（4）化归与转化的思想；（5）特殊与一般的思想；（6）有限与无限的思想；（7）或然与必然的思想数学思维方法，是指数学思维过程中运用的基本方法，主要包括：观察与实验的方法；比较与分类的方法，归纳与演绎的方法；分析与综合的方法，抽象与概括的方法，一般化与特殊化的方法等数学方法主要指配方法，换元法，待定系数法等一些具体方法1小题不能大做“在高考命题时，以经常使用的重要数学思维方法常编制解答题给予重点考查，而选择题与填空题则鼓励考生积极思维，选择最佳思维方法，优化解答过程，减少解答时间，并以此指导中学数学加强思维方法的教学，提高考生的思维水平” （2007年教育部考试中心高考数学测量理论与实践）例23 函数的值域是_例24 函数的值域为_例25 两个等差数列：2，5，8，197和2，7，12，197中，相同的项共有_ 项例26 已知数列 an 满足：a1 = 1，a2 = 2，an+2 = an+1 - an (nN*)，则=_例27 已知向量=（3，-2），且| = 5，则向量=_例28 （2006年四川卷）如图，把椭圆的长轴AB分成等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则| P1F | + | P2F | + | P3F | + | P4F | + | P5F | + | P6F | +| P7F | = _2大题先得小做关于解答题，一般第一问难度并不大，要正确理解问题，作出初步分析，设计解题方案例29 （2000年全国）设函数 (a 0)（）解不等式f (x)1；（）求a的取值范围，使函数f (x)在区间0，+)上是单调函数例30 在ABC中，AC = 4，BC = 2，C = 60，CD为C的平分线，将图形沿CD折起，使二面角B-CD-A的大小为 120求：（）折起后AD与BC所成的角；（）折起后所得的线段AB的长度3加强分析，寻找数学思想方法平时的复习过程中，若善于加强解题前的分析，揭示可能用到的数学思想方法，解后再反思，是什么数学思想起到了关键作用，必会使复习工作成效更大例31 已知数列 an 与数列 bn 满足：bn =(nN*)，求证：数列 an 成等差数列的充要条件是数列 bn成等差数列例32 设数列 an 的前n项和为Sn，已知 a1 = 1，a2 = 6，a3 = 11，且= An + B，n = 1，2，3，其中A、B为常数（）求A与B的值；（）证明数列 an 为等差数列；（）证明不等式对任何正整数m、n都成立例33 （2006安徽）已知函数在R上有定义，对任何实数和任何实数，都有f(ax) = af(x)（）证明；（）证明 其中和均为常数；（）当（）中的时，设，讨论在内的单调性并求极值五、对07年高考的展望1关于函数问题小题仍要以函数基本性质为重点，尤其是函数的值域、单调性及函数的对称性难点为抽象函数的对称性问题如例34 （1）y = f (1+x) 与y = f (1-x)的图象关于_对称（2）f (1+x) = f (1-x)，则y = f (x)的图象关于_对称（3）y = f (2+3x) 有对称轴为x =，则y = f (x) 有对称轴为_大题要注意函数与数列、不等式的综合问题如例35 已知f(x)是定义在R上的不恒为0的函数，且对任意的a，bR，都满足（）求f(0)，f(1)的值；（）判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；（）若f(2) = 2，un = (nN*)，求数列 un 的前n项和例36 已知函数（）当a4，2x5时，问x分别取何值时，函数取得最大值和最小值，并求出相应的最大值和最小值；（）求a的取值范围，使得函数在R上恒为增函数；（）已知a4，数列 an 满足（nN*）试探求的值，使得数列 an （nN*）成等差数列2关于数列问题数列问题的核心是等差数列与等比数列，尤以等差数列为重点，主要考查方向为：（1）数列的“单调性”；（2）等差数列；（3）等比数列；（4）“项”与“和”之间的关系；（5）递推关系式与通项公式主要数学思想有“函数与方程的思想”，主要思维方法有“特殊化与一般化的方法”小题以函数的对称思想、数列的“单调性”问题及等差、等比数列的基础知识为重点，如例37 在数列中，最大的项的序号为_例38 若数列 an 满足则= _大题要关注“和”及“递推关系式”的问题，要学会用“分类与整合的思想”，如例39 已知正数数列 an 的前n项的和Sn满足Sn = (nN*)，求an例40 已知数列 an 满足：a1 = 1，an+1 + an + 2n + 3 = 0，（）求an；（）求Sn3关于三角函数问题三角函数主要还是应用“两角和与差的三角函数”作出一些计算问题；三角函数的图象与性质问题；以及三角形中的有关问题仍以中等题为主例41 （2006年天津卷）已知函数（a、b为常数，a0，xR）在处取得最小值，则函数是（）A偶函数且它的图象关于点(，0)对称 B偶函数且它的图象关于点对称C奇函数且它的图象关于点对称 D奇函数且它的图象关于点(，0)对称例42 已知x0，则y = cos(- x) - cos(+ x) 的值域_例43 在ABC中，sinA(cosB + cosC) = sinB + sinC，若AB = 3cm，AC = 4cm，求ABC的面积例44 已知向量，（）求的解析式和它的单调递增区间； （）若函数在处取得最大值，且，求的值4有关向量问题注意它与三角函数、解析几何结合的问题，主要是数量积的运算，向量的坐标运算，向量的几何意义等例45 已知点为所在平面内一定点，点满足，当在变化时，动点的轨迹一定通过的A外心B垂心C内心D重心5有关不等式问题小题中常有基本不等式的有关问题，大题中若在最后两题中有不等式证明问题，常用放缩法，要求较高例46 已知a 0，b 0，且= 1，则y = a 的最大值为_例47 已知x，y 0，且，则x + y的最小值为_ 解不等式中注意含绝对值不等式的分类求解问题，如解 | 2x - 1 | x + 1等小题关于与数列相关的不等式问题，常用以下放缩法求和：（1） ；（2） 6关于圆锥曲线大题常利用向量等条件得曲线方程，进一步研究直线与曲线的关系由于椭圆多了一个B级要求的参数方程问题，所以也要适当训练一些含参问题，如例48 已