从最佳答案谈思考问题的角度.docx

从最佳答案谈思考问题的角度湖北省襄阳市襄州区黄集镇初级中学赵国瑞一次，英国某家报纸举办了一项资金丰厚的有奖竞答活动，题目是：3位科学家同时乘坐一个充气不足的热气球旅行第一位是个环保专家，他的研究可以拯救无数人，使他们免于因为环境污染而面临死亡的厄运第二位是个核专家，他有能力防止全球性的核战争，使地球免于遭受灭亡的绝境第三位是个粮食专家，他能够运用其专业知识在不毛之地种植多种粮食，使成千上万的人脱离饥荒的命运此刻，热气球即将坠毁了，我们必须选出一个人，把他丢下去以减轻重量，使其余的两人得以存活，请问我们该丢下哪一位关系世界兴亡命运的科学家呢？问题刊出后不久，各地的信件便如雪片般飞来了，大家谁都想拿到那笔诱人的丰厚奖金，因此每个人都竭尽所能，甚至是天马行空地阐述着他们认为必须丢下那位科学家的宏观见解但最后的结果却让所有人大吃一惊，巨额奖金的得主竟然是一个不到10岁的小男孩他的答案是：把最胖的科学家丢下去三个科学家都是在不同领域对世界兴亡产生举足轻重的人物，表面上看丢下哪一位科学家都不行，如果仅停留在三位科学家“谁更重要”这个角度，就会陷入出题者布下的陷阱！而小男孩能够独辟蹊径，从“如何减轻重量”这个角度思考，当然应该把最胖的科学家丢下去，从而赢得巨额奖金看来，思考问题的角度很重要，解决数学问题亦是如此先看2007年四川内江的一道中考题：小明在超市帮妈妈买回一袋纸杯，他把纸杯整齐地叠放在一起，如图1，请你根据图中的信息，若小明把100个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是( ) 图1A106cm B110cm C114cm D116cm对于该题，大部分同学会这样思考：为了求出100个纸杯整齐叠放在一起时的高度，需先求出一个纸杯的高度及每增加一个纸杯时增加的高度于是设一个纸杯的高度为xcm，每增加一个纸杯高度增加ycm，根据图中的信息，得即解这个方程组，得所以100个纸杯的高度是7+1(100-1)=106(cm)故应选(A)还有一部分同学注意到“每增加一个纸杯时增加的高度相同”，便断定纸杯的高度与纸杯的个数两者具有一次函数关系于是设纸杯的高度y与纸杯的个数x之间的函数关系式为y=kx+b根据题意，得解得所以纸杯的高度y与纸杯的个数x之间的函数关系式为y=x+6当x=100时，y=106(cm)故应选(A)上面两种解法分别是从“一个纸杯的高度加上增加的纸杯的高度”和“一次函数”的角度求解，都需要列方程组，本来无可厚非能不能对原题的解法再进行改进呢？如果能从“原来纸杯的高度加上增加的纸杯的高度”这个角度来求100个纸杯整齐叠放在一起时的高度的话，本题根本无需列方程组，甚至可以口算由“3个纸杯叠放在一起时的高度是9cm”可知，只要用9cm再加上增加的97个纸杯叠放在一起时的高度就是100个纸杯叠放在一起时的高度(当然也可由“8个纸杯叠放在一起时的高度是14cm”，用14cm再加上增加的92个纸杯叠放在一起时的高度)结合“8个纸杯叠放在一起时的高度是14cm”可知，每增加一个纸杯高度增加(14-9)(8-3)=1(cm)，所以100个纸杯整齐叠放在一起时的高度为9+97=106(cm)故应选(A)这样思考是不是更简捷呢？再看2010年广西南宁的一道中考题：正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图2所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则DEK的面积为( ) 图2 A10 B12 C14 D16注意到DEK是一个一般三角形，直接求其面积非常困难，于是我们想到运用割补法，将DEK的面积转化为规则图形的面积之和或差 图3如图3，延长AE交PK的延长线于点H则SDEK=S正方形ABCD+S正方形BEFG+S矩形EHPF-SADE-SCDG-SPGK-SEHK不妨设正方形ABCD、正方形RKPF的边长分别为a、b，则SDEK=a2+42+4b-a(a+4)-a(a-4)-b(b+4)-b(4-b)=a2+42+4b-a(a+4)+(a-4)-b(b+4)+(4-b)= a2+42+4b-a2a-b8=a2+42+4b-a2-4b=42=16故应选(D)或许有些学生认为上面求SDEK的表达式比较麻烦，他们注意到四边形AHKD是一个梯形，这样SDEK可表示为S梯形AHKD-SDAE-SEHK，表达式肯定会变得简单于是SDEK=S梯形AHKD-SDAE-SEHK=(a+4-b)(a+4+b)-a(a+4)-b(4-b)=(a+4)2-b2-a(a+4)-b(4-b)=(a2+8a+16-b2-a2-4a-4b+b2)=(4a-4b+16)由于已知条件并没有直接告诉4a-4b的值，有的同学做到这里“卡壳”了怎么办呢？下面的事情就是求出4a-4b的值，为此需要找出a，b的关系注意到DCGGPK，则有=，即=ab=(a-4)(b+4)，整理得4a-4b=16于是SDEK=(4a-4b+16)=(16+16)=16所以从表面上看，将SDEK的表达式变得简单了，似乎求解过程也应该简单然而在求解过程中，还需用到相似三角形的知识，不仅麻烦，有时甚至在这里“卡壳”，反而弄巧成拙！从所给的选项可知DEK的面积可以求出来，而已知条件仅告诉了正方形BEFG的边长为4(相当于告诉了正方形BEFG的面积)，我们可以大胆猜测：DEK的面积仅与正方形BEFG的面积有关，而与其它两个正方形的面积无关！于是我们应该设法让DEK与正方形BEFG发生联系！ 图4联想到平行线具有“传递面积”的功能(等底等高的三角形面积相等)，于是我们连接DB、GE、FK，如图4所示，则DBA=GEB=45，DBGE所以GED与GEB等高SGED=SGEB同理SGEK=SGEF于是SDEK=SGED+SGEK=SGEB+SGEF=S正方形BEFG这样做是不是十分简捷呢？这样原题就有三种解法，这三种解法都是从“割补”的角度思考问题，将原三角形的面积转化为规则图形的面积的和差，其中前两种解法又是从“补形”的角度思考问题，而第三种解法是从“分割”的角度思考问题前两种解法通过用字母表示出有关正方形的边长，求出三角形的面积表达式，侧重于代数方法，第三种解法主要通过平行线的“传递面积”功能，将三角形的面积转化为正方形的面积，又侧重于几何方法另外，尽管前两种方法都侧重于代数方法，但由于思考角度还是有细微差别，直接导致解答过程的繁简程度不同从以上两个问题可以看出，在解决数学问题的时候，思考问题的角度非常重要！这就要求我们在平时的学习和解题过程中，要注意积累解题经验和技巧，对于不同的数学问题，要注意选准问题的视角，然后“对症下药”，尽可能使复杂的问题简单化！快乐体验：1商店里把塑料凳整齐地叠放