高中数学必修3综合测试题.doc

正弦定理和余弦定理1正弦定理：2R，其中R是三角形外接圆的半径由正弦定理可以变形为：(1)abcsin Asin Bsin C；(2)a2Rsin_A，b2Rsin_B，c2Rsin_C；(3)sin A，sin B，sin C等形式，以解决不同的三角形问题2余弦定理：a2b2c22bccos_A，b2a2c22accos_B，c2a2b22abcos_C余弦定理可以变形为：cos A，cos B，cos C.3SABCabsin Cbcsin Aacsin B(abc)r(R是三角形外接圆半径，r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.4已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况如已知a，b，A，则A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Aabsin Absin Aabababab解的个数无解一解两解一解一解无解一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，ABabsin Asin B.两类问题在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角情况(2)中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角求第三边和其他两角；(2)已知三边，求各角两种途径根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换双基自测1在ABC中，A60，B75，a10，则c等于()A5 B10 C. D5解析由ABC180，知C45，由正弦定理得：，即.c.答案C2在ABC中，若，则B的值为()A30 B45 C60 D90解析由正弦定理知：，sin Bcos B，B45.答案B3在ABC中，a，b1，c2，则A等于()A30 B45 C60 D75解析由余弦定理得：cos A，0A，A60.答案C4在ABC中，a3，b2，cos C，则ABC的面积为()A3 B2 C4 D.解析cos C，0C，sin C，SABCabsin C324.答案C5已知ABC三边满足a2b2c2ab，则此三角形的最大内角为_解析a2b2c2ab，cos C，故C150为三角形的最大内角答案150考向一利用正弦定理解三角形【例1】在ABC中，a，b，B45.求角A，C和边c.解由正弦定理得，sin A.ab，A60或A120.当A60时，C180456075，c；当A120时，C1804512015，c. (1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意【训练1】 在ABC中，若b5，B，tan A2，则sin A_a_.解析因为ABC中，tan A2，所以A是锐角，且2，sin2Acos2A1，联立解得sin A，再由正弦定理得，代入数据解得a2.答案2考向二利用余弦定理解三角形【例2】在ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且.(1)求角B的大小；(2)若b，ac4，求ABC的面积审题视点 由，利用余弦定理转化为边的关系求解解(1)由余弦定理知：cos B，cos C.将上式代入得：，整理得：a2c2b2ac.cos B.B为三角形的内角，B.(2)将b，ac4，B代入b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac2accos B，13162ac，ac3.SABCacsin B.【训练2】 已知A，B，C为ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2 cos A0.(1)求角A的值；(2)若a2，bc4，求ABC的面积解(1)由2cos2 cos A0，得1cos Acos A0，即cos A，0A，A.(2)由余弦定理得，a2b2c22bccos A，A，则a2(bc)2bc，又a2，bc4，有1242bc，则bc4，故ABCbcsin A.考向三利用正、余弦定理判断三角形形状【例3】在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，试判断ABC的形状审题视点 首先边化角或角化边，再整理化简即可判断解由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，得b2sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB)，即b2sin Acos Ba2cos Asin B，即sin2Bsin Acos Bsin2Acos Bsin B，所以sin 2Bsin 2A，由于A，B是三角形的内角故02A2，02B2.故只可能2A2B或2A2B，即AB或AB.故ABC为等腰三角形或直角三角形 判断三角形的形状的基本思想是；利用正、余弦定理进行边角的统一即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系【训练3】 在ABC中，若；则ABC是()A直角三角形 B等边三角形C钝角三角形 D等腰直角三角形解析由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C(R为ABC外接圆半径).即tan Atan Btan C，ABC.答案B考向三正、余弦定理的综合应用【例3】在ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c2，C.(1)若ABC的面积等于，求a，b；(2)若sin Csin(BA)2sin 2A，求ABC的面积解(1)由余弦定理及已知条件，得a2b2ab4.又因为ABC的面积等于，所以absin C，得ab4，联立方程组解得(2)由题意，得sin(BA)sin(BA)4sin Acos A，即sin Bcos A2sin Acos A.当cos A0，即A时，B，a，b；当cos A0时，得sin B2sin A，由正弦定理，得b2a.联立方程组解得所以ABC的面积Sa bsin C.【训练3】 (2011北京西城一模)设ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cos B，b2.(1)当A30时，求a的值；(2)当ABC的面积为3时，求ac的值解(1)因为cos B，所以sin B.由正弦定理，可得，所以a.(2)因为ABC的面积Sacsin B，sin B，所以ac3，ac10.由余弦定理得b2a2c22accos B，得4a2c2aca2c216，即a2c220.所以(ac)22ac20，(ac)240.所以ac2.【示例】在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边长，a，b，12cos(BC)0，求边BC上的高正解在ABC中，cos(BC)cos A，12cos(BC)12cos A0，A.在ABC中，根据正弦定理，sin B.ab，B，C(AB).sin Csin(BA)sin Bcos Acos Bsin A.BC边上的高为bsin C.【试一试】 ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2 Aa.(1)求；(2)若c2b2a2，求B.尝试解答(1)由正弦定理得，sin2Asin Bsin Bcos2Asin A，即sin B(sin2Acos2A)sin A.故sin Bsin A，所以.(2)由余弦定理和c2b2a2，得cos B.由(1)知b22a2，故c2(2)a2.可得cos2B，又cos B0，故cos B，所以B45.高中数学必修3综合测试题一、 选择题1、已知一组数据为20、30、40、50、60、60、70，则这组数据的众数、中位数、平均数的大小关系为（ ）A、中位数 平均数 众数 B、众数 中位数 平均数C、众数 平均数 中位数 D、平均数 众数 中位数2、某影院有60排座位，每排70个座号，一次报告会坐满了听众，会后留下座号为15的所有听众60人进行座谈，这是运用了（ ）A、抽签法 B、随机数法C、系统抽样法 D、分层抽样法3、某大学中文系共有本科生5000人，其中一、二、三、四年级的学生比为5：4：3：1，要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为260的样本，则应抽二年级的学生（ ）A、100人 B、60人 C、80人 D、20人4、一个均匀的正方体，把其中相对的面分别涂上红色、黄色、蓝色，随机向上抛出，正方体落地时“向上面为红色”的概率是（ ） A、1/6 B、1/3 C、1/2 D 5/65、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）A、 角度和它的正切值 B、 人的右手一柞长和身高C、正方体的棱长和表面积 D、真空中自由落体运动物体的下落距离和下落时间6、为了解A、B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取8个进行测试，下面列出了每一种轮胎行驶的最远里程数（单位：1000km）轮胎A：108、101、94、105、96、93、97、106轮胎B：96、112、97、108、100、103、86、98你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定（ ）A、轮胎A B、轮胎B C、都一样稳定 D、无法比较 7、我们对那大中学高二（1）班50名学生的身高进行了调查，按区间145-150，150-155，180185（单位：cm）进行分组，得到的分布情况如下图所示，由图可知样本身高在165-170的频率为（ ） A、0.24B、0.16C、0.12D、0.20 8、一个射手进行一次射击，则事件“命中环数小于6环”的对立事件是（ ）A、 命中环数为7、8、9、10环B、命中环数为1、2、3、4、5、6环C、命中环数至少为6环D、命中环数至多为6环9、从一副标准的52张的扑克牌中随机地抽取一张，则事件“这张牌是梅花”的概率为（ ）A、1/26 B、13/54 C、1/13 D、1/410、从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=“抽到一等品”，事件B = “抽到二等品”，事件C =“抽到三等品”，且已知 P（A）= 0.65 ,P(B)=0.2 ,P(C)=0.1。则事件“抽到的不是一等品”的概率为（ ）A、0.65 B、0.35 C、0.3 D、0.00511、一块各面均涂有油漆的正方体被锯成1000个小的正方体，若将这些小正方体均匀搅拌在一起，则任意取出的一个小正方体其两面均涂有油漆的概率是（ ）A、3/25 B、12/125 C、1/10 D、1/12二、 填空题1、已知一组数据X1，X2，X3，,Xn的方差是S,那么另一组数据X1-3，X2-3，X3-3，,Xn-3的方差是_2、下列说法中正确的有_刻画一组数据集中趋势的统计量有极差、方差、标准差等；刻画一组数据离散程度统计量有平均数、中位数、众数等。抛掷两枚硬币，出现“两枚都是正面朝上”、“两枚都是反面朝上”、“恰好一枚硬币正面朝上”的概率一样大有10个阄，其中一个代表奖品，10个人按顺序依次抓阄来决定奖品的归属，则摸奖的顺序对中奖率没有影响。 向一个圆面内随机地投一个点，如果该点落在圆内任意一点都是等可能的，则该随机试验的数学模型是古典概型。三、解答题1、（共12分）某校有教职工500人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：高中专科本科研究生合计35岁以下10150503524535 5020100201315350岁以上3060102102随机的抽取一人，求下列事件的概率：（1） 50岁以上具有专科或专科以上学历； （4分）（2） 具有本科历；（4分）（3） 不具有研究生学历。（4分）2、 （共12分）为了调查甲、乙两个网站受欢迎的程度，随机选取了14天，统计上午8：0010：00间各自的点击量，得如下所示的统计图，根据统计图：（1）甲、乙两个网站点击量的极差分别是多少？ （4分）（2）甲网站点击量在10，40间的频率是多少？ （4分）（3）甲、乙两个网站哪个更受欢迎？并说明理由。 （4分）3、（共12分）在某中学举行的物理知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩在进行整理后分成5组，绘制出如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组。已知第三小组的频数是15。（1）求成绩在5070分的频率是多少； （4分）（2）求这三个年级参赛学生的总人数是多少； （4分）（3）求成绩在80100分的学生人数是多少； （4分）4、（共12分）一个学校的足球队、篮球队和排球队分别有28，22，17名成员，一些成员不止参加一支球队，具体情况如图所示。随机选取一名成员：（1） 属于不止1支球队的概率是多少？ （6分） （2） 属于不超过2支球队的概率是多少？ （6分）1.设某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的值是（ ）A10 B15 C20 D30开始s=0i=1i5？i=i+1输出s结束YNs=s+2i第1题 第2题2. 阅读如图1的程序框，并判断运行结果为（ ）A55 B-55 C5 D-53.某程序框图如右图所示，若输出的S57，则判断框内填（ ）是否开始输入结束输出A、k4？B、k5？C、k6？D、k7？第3题4.执行程序框图，如果输入，那么输出的（ ）A24 B120 C720 D1440 第4题90110周长(cm) 频率/组距1001201300.010.020.0480第5题图5、为了解一片速生林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）根据5.所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是（ ）A30 B60 C70 D806.甲、乙、丙、丁四人参加国际奥林匹克数学竞赛选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表：甲乙丙丁平均成绩86898985方差2.13.52.15.6从这四人中选择一人参加国际奥林匹克数学竞赛，最佳人选是（ ）A 甲 B乙 C丙 D丁7.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下：甲 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4乙 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7则下列判断正确的是（ ） （A） 甲射击的平均成绩比乙好 （B） 乙射击的平均成绩比甲好 （C） 甲比乙的射击成绩稳定 （D） 乙比甲的射击成绩稳定8三点（3,10），（7,20），（11,24）的线性回归方程是（ ）(A) (B) (C) (D) 9.已知线性回归方程为：，则x25时，y 的估计值为（ ）A.10.69 B.11.69 C12.69 D.13.6910.某地区高中分三类，类学校共有学生2000人，类学校共有学生3000人，类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则类学校中应抽学生的人数为（ ）A.190 B.210 C.200 D.18012.有60件产品，编号为01至60，现从中抽取5件检验，用系统抽样的方法所确定的抽样编号是（ ）A、5，10，15，20，25； B、5，12，31，39，57；C、5，15，25，35，45； D、5，17，29，41，5313.某厂的三个车间的职工代表在会议室开会,第一、二、三车间的与会人数分别是10、12、9，一个门外经过的工人听到发言，则发言人是第二或第三车间职工代表的概率是 （ ） A B. C D. 14.从1，2，3，4这4个数中，不放回地任意取两个数，两个数都是偶数的概率是( )（A） （B） （C） （D）15.从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A“至少有一个黑球”与“都是黑球”B“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”C“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”D“至少有一个黑球”与“都是红球”16.甲、乙2人下棋，下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲不胜的概率是（ ） A B C D17.取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长度都不小于1m的概率是（ ）A B C D不确定18.如图，某人向圆内投镖，如果他每次都投入圆内，那么他投中正方形区域的概率为（ ）A、 B、 C、 D、20.从装有3个白球,2个黑球的盒子中任取两球,则取到全是白球的概率是( )A. B. C. D. 21.为了了解2013年某校高三学生的视分组频数频率（3.9，4.230.06（4.2，4.560.12（4.5，4.825x（4.8，5.1yz（5.1，5.420.04合计n1.00力情况，随机抽查了一部分学生视力，将调查结果分组，分组区间为， ，经过数据处理，得到如右频率分布表：（1）求频率分布表中未知量的值；（2）从样本中视力在和的所有同学中随机抽取两人，求两人的视力差的绝对值低于0.5的概率22.某中学高三实验班的一次数学测试成绩的茎叶图(图3)和频率分布直方图(图4)都受到不同程度的破坏，可见部分如下图所示，据此解答如下问题。 （1）求全班人数及分数在之间的频数； （2）计算频率分布直方图中的矩形的高； （3）若要从分数在80，100之间的试卷中任取两份分析学生的答题情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在90，100之间的概率。24某校高一级数学必修一模块考试的成绩分为四个等级，85分-100分为A等，70分-84分为B等，55分-69分为C等，54分以下为D等.右边的茎叶图（十位为茎，个位为叶）记录了某班某小组6名学生的数学必修一模块考试成绩。（1） 求出茎叶图中这6个数据的中位数和平均数；（2） 若从这6名学生中随机抽出2名，分别求恰好有一名学生的成绩达到A等的概率和至多有一名学生的成绩达到A等的概率，1.D 2.D 3.A 4.B 5.C 6.C 7.D 8.D 9.B10.C 11. 12.D 13.D 14.A 15.C 16.B 17.B18.A 19.D 20.A21. 解：（1）由表可知，样本容量为，由，得，由；3分， 6分（2）设样本视力在（3.9，4.2的3人为，在（5.1，5.4的2人为7分由题意从5人中任取两人的基本事件如下：，共有10个基本事件9分设事件表示“抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5”，则事件A等价于“抽取两人来自同一组”包含的基本事件有：，共有4个基本事件 11分， 故抽取的两人的视力差的绝对值低于0.5的概率为 12分22. 解：（1）由茎叶图可知，分数在之间的频数为2,频率为，所以全班人数为（人） （2分） 故分数在之间的频数为. （3分）(2) 分数在之间的频数为4, 频率为 （5分）所以频率分布直方图中的矩形的高为 （7分）（3）用表示之间的4个分数，用表示之