2005级《高等数学》(Ⅱ)期中试题与参考答案_细_.pdf

第 1 页 共 5 页 中国石油大学 北京 2005 2006 学年第二学期 中国石油大学 北京 2005 2006 学年第二学期 高等数学 高等数学 期中考试试题参考答案期中考试试题参考答案 2006 4 23 题题 号号 一一 二二 三三 四四 五五 六六 七七 八八 总总 分分 得得 分分 20 20 8 10 10 10 10 12 100 一 填空题 本题共一 填空题 本题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 20 分 分 1 设 yxf是连续函数 若交换积分 1 0 2 1 1 1 1 1 xx dyyxfdxdyyxfdx的积分次序 则 原式 1 0 1 1 2 y y dxyxfdy 2 函数zxy ln 2 在 1 1 点处沿 1 2 1 sin cos 方向的方向导数值最大 且该最大方向导数的值是 2 5 z lxy y xy 12 2 11 2 11 cossin cos1 4 1 sin cos 1 2 1 sincos 2 1 其中 为 sin cos l v 与 1 2 1 g v 的夹角 所以 0时 即 v l与 v g同向时 方向导数取最 大值 2 5 1 1 l z 3 0 2 0 cos cos 22 ab abab babrar Ddxdyxyfxf D 则 2 2 a A 2 aB 2 2 aC 2 4 aD 4 曲面 sin yxxez zy 在点 2 1 0 2 处的法线方程为 D 1 2 1 2 1 1 2 z y x A 1 2 1 2 1 1 2 z y x B 1 2 1 2 1 1 2 z y x C 1 2 1 2 1 1 2 z y x D 三 本题满分三 本题满分 8 分 分 设 xyxuxyxufz 其中 f均具有连续的二阶偏导数 试求 yx z 2 解 32211 yffyf x z 2113211 2 yxfxf yx z 222121 xyxf 23221 xfxf 333231 fxfxfy 11212 fyx 1321 2 fyx 23212 xffx 322212133 fxyxffxy 四 本题满分四 本题满分 10 分 分 设 zyxfu xyzex y sin 0 2 其中 f均具有一阶连续 偏导数 且 0 z 求全导数 dx du 解 sin 0 2 xy zex zyxfu y 由 3 cos 2 02 1 321 LLLL L LL x dx dy dx dz dx dy ex dx dz z f dx dy y f x f dx du y 2005 2006 学年第二学期 高等数学 期中考试试题参考答案 第 3 页 共 5 页 4 cos2 1 2 3 21 3 LLL y exx dx dz 得代入 cos2 1 cos 1 4 3 21 3 z f exx y f x x f dx du y 得代入将 五 本题满分五 本题满分 10 分 分 试求曲面积分 dSzxyzxy 其中 为锥面 22 yxz 被柱面 0 2 22 aaxyx所截的部分 解 22 yxz 的方程为曲面 axyxDxy2 22 面的投影为其在 dxdyd yx y yx x dS2 1 2 22 2 22 面积元素为 是奇函数关于且被积函数面对称关于由于yyzxyzxyzox 0 dSyzxy dSzxdSzxyzxyI 故有 D dxdyyxx 22 2 drrrd a cos2 0 2 2 2 cos2 15 264 28cos 4 cos2 2 4 5 4 2 2 4 aIad a 六 本题满分六 本题满分 10 分 分 计算 L dy yx yx dx yx yx I 2222 4 4 4 其中L是以 0 1 为圆心 1 RR为半径的圆周 L的方向为逆时针方向 解 解 2222 4 4 4yx yx Q yx yx P Q 4 84 4 84 4 222 22 222 22 22 yx xyyx yx yxyyx yx yx y P y 且 222 22 222 22 22 4 84 4 4 24 4 4 yx xyyx yx yxxyx yx yx x Q x y P x Q 1 当D 0 0 时 记L所围成的平面区域为D 则由Green公式知 0 4 4 4 2222 L dy yx yx dx yx yx I 2 当D 0 0 时 在D内作椭圆 的方向为顺时针方向layxl 4 222 记 1 D由L和l 所围成 lLD 1 则有 2005 2006 学年第二学期 高等数学 期中考试试题参考答案 第 4 页 共 5 页 0 4 4 4 2222 lL dy yx yx dx yx yx 即 l dy yx yx dx yx yx I 2222 4 4 4 l dyyxdxyx a 4 1 2 或直接求公式上应用在 1 GreenD 2 2 2 1 4 1 222 11 a a a dxdy a dxdy y yx x yx a DD Green 0 2 2 2 sin 2 cos cos 2 1 sin2 cos sin sin 2 1 cos 1 da a a y ax 2 0 22 cos 2 1 sin 2 1 d 2 0 2 1 d 七 本题满分七 本题满分 10 分 分 0 0 0 sin 22 22 22 yx yx yx yxyx yxf证明函数 在点 0 0 处连续 但不可微 证证 1 由于 222222 sin 0 sin yx yxyx yx yxyx yx yxyx 2 xy yxyx 0 0 0 2 2 时当 yx yx 即 0 0 0 sin lim 22 0 0 f yx xyyx yx 可见 yxf 在点 0 0 处连续 2 x fxf f x x 0 0 0 lim 0 0 0 由于 0 0 lim 0 x x 0 0 0 y f同理 0 0 0 0 yfxff dzz yx 又由于 0 0 0 fyxf 22 2 3 22 sin yx yx yxyx 其中 dzz kxy 0 lim 2 3 2 2 3 23 2 0 2 3 22 0 1 1 1 sin 1 lim sin lim k kk kx xkkx yx yxyx x kxy 该极限与k有关 可见不存在极限 dzz 0 lim 即 0lim 0 不成立极限 dzz 表明 yxf 在点 0 0 处不可微 0 0 0 22 yxoyxP 注 2005 2006 学年第二学期 高等数学 期中考试试题参考答案 第 5 页 共 5 页 八 本题满分八 本题满分 12 分 分 22 dzdxdyyxI 试求 09 1 4 2 222222 zzyxzyxzyx 其中区域 解 9 1 222 1 zyxzyx记 4 2 222 2 zyxzyx 09 1 222 3 zzyxzyx 321 2222 321 IIIdxdydzyxdzdxdyyxI dzdxdyyxI 2 22 2 15 28 5 22sin 5 2 0 5 3 2 0 34 0 2 0 r Idrrdd 091 80 20 8 091 2 2222 3 zrrzyx yxyxzyxzyx 在柱面坐标下 8 0 23 0 91 3 8 0 2 0 22 3 19 2 2 3 drrrdzrdrddzdxdyyxI r 8 0 19 2 duuu ru 32 9 9 1 9 dttt ut 32 13 5 2 13 6 53 321 IIII 32 13 5 2 13 6 15 28 15 38 53 55 3 256