高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 2.5 对数函数课件 理.ppt

第五节对数函数 知识梳理 1 对数的概念如果ax n a 0 且a 1 那么x叫做以a为底n的对数 记作 2 对数的性质与运算法则 1 对数的性质 loga1 logaa x logan 0 1 2 对数恒等式 其中a 0且a 1 3 对数的换底公式logbn a b均大于零且不等于1 n 0 n 4 对数的运算法则如果a 0且a 1 m 0 n 0 那么 loga mn loga logamn n r logam logan logam logan nlogam 3 对数函数的定义 图象与性质 y logax a 0 且a 1 0 1 0 y 0 y 0 增函数 减函数 4 反函数指数函数y ax a 0且a 1 与对数函数 a 0且a 1 互为反函数 它们的图象关于直线 对称 y logax y x 特别提醒 1 换底公式的两个重要结论其中a 0 且a 1 b 0 且b 1 m n r 2 对数函数的图象与底数大小的比较如图 作直线y 1 则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数 故0 c d 1 a b 由此我们可得到以下规律 在第一象限内从左到右底数逐渐增大 小题快练 链接教材练一练1 必修1p75a组t11改编 log29 log34 a b c 2d 4 解析 选d 方法一 原式 方法二 原式 2 必修1p68t3 2 改编 的值是 解析 答案 1 感悟考题试一试3 2015 浙江高考 若a log43 则2a 2 a 解析 因为a log43 所以4a 3 2a 所以2a 2 a答案 4 2016 惠州模拟 若x e 1 1 a lnx b 2lnx c ln3x 则a b c的大小关系为 解析 因为x 所以a lnx 1 0 b 2lnx lnx2 又y lnx是增函数 x20 所以c a 所以b a c 答案 b a c 5 2015 上海高考 方程log2 9x 1 5 log2 3x 1 2 2的解为 解析 依题意log2 9x 1 5 log2 4 3x 1 8 所以9x 1 5 4 3x 1 8 令3x 1 t t 0 所以t2 4t 3 0 解得t 1或t 3 当t 1时 3x 1 1 所以x 1 而91 1 5 0 所以x 1不合题意 舍去 当t 3时 3x 1 3 所以x 2 92 1 5 4 0 32 1 2 1 0 所以x 2满足条件 所以x 2是原方程的解 答案 2 考向一对数的运算 典例1 1 2016 保定模拟 设2a 5b m 且 2 则m 2 计算下列各式 lg14 2lg lg7 lg18 lg5 2 lg2 lg50 log32 log92 log43 log83 解题导引 1 将2a 5b m转化为对数函数形式 代入 2中利用换底公式求解 2 利用logam logan loga mn logam logan loga 以及对数运算性质及换底公式求解 规范解答 1 因为2a 5b m 所以a log2m b log5m 所以 logm2 logm5 logm10 2 所以m2 10 m 答案 2 原式 lg 2 7 2 lg7 lg3 lg7 lg 32 2 lg2 lg7 2lg7 2lg3 lg7 2lg3 lg2 0 一题多解 解答本题 你知道几种解法 解答本题 还有以下解法 原式 lg14 lg 2 lg7 lg18 原式 原式 lg5 2 lg2 lg2 2lg5 lg5 2 2lg5 lg2 lg2 2 lg5 lg2 2 1 原式 规律方法 对数运算的一般思路 1 拆 首先利用幂的运算把底数或真数进行变形 化成分数指数幂的形式 使幂的底数最简 然后正用对数运算性质化简合并 2 合 将对数式化为同底数对数的和 差 倍数运算 然后逆用对数的运算性质 转化为同底对数真数的积 商 幂的运算 变式训练 1 2016 大连模拟 计算 解析 原式 log25 2 log25 1 log25 2 log25 2 答案 2 2 2016 襄阳模拟 若正数a b满足3 log2a 2 log3b log6 a b 则的值为 解析 根据题意设3 log2a 2 log3b log6 a b k 所以有a 2k 3 b 3k 2 a b 6k 答案 72 加固训练 1 设a b c均为不等于1的正实数 则下列等式中恒成立的是 a logab logcb logcab logab logca logcbc loga bc logab logacd loga b c logab logac 解析 选b 利用对数的换底公式进行验证 logab logca logca logcb 只有b正确 2 计算 解析 原式 log33 log33 log5 10 3 2 1 log55 答案 3 已知函数f x 则f f 1 f 的值是 解析 因为f 1 log21 0 所以f f 1 f 0 2 因为log3 0 所以所以f f 1 f 2 3 5 答案 5 考向二对数函数的图象及应用 典例2 1 函数y 2log4 1 x 的图象大致是 2 当0 x 时 4x logax 则a的取值范围是 解题导引 1 先求出函数的定义域 再根据函数的单调性确定选项 2 将不等式的恒成立问题转化为函数图象的位置关系 然后画出函数的图象 根据图象求解 规范解答 1 选c 函数y 2log4 1 x 的定义域为 1 排除a b 又函数y 2log4 1 x 在定义域内单调递减 排除d 2 选b 构造函数f x 4x和g x logax 当a 1时不满足条件 当0 所以a的取值范围为 一题多解 解答本题 你知道几种解法 解答本题 还有以下解法 选b 因为04x 1 所以0 a 1 排除选项c d 取a x 则有显然4x logax不成立 排除选项a 易错警示 解答本题 2 会出现以下错误 1 不能将不等式恒成立转化为两函数图象的位置关系 2 与的关系不明确 母题变式 1 若本例 2 变为 若不等式x2 logax 0对x 0 恒成立 求实数a的取值范围 解析 由x2 logax1时 显然不成立 当0 a 1时 如图所示 要使x2 logax在x 0 上恒成立 需所以有 2 loga 解得a 所以 a 1 即实数a的取值范围是 2 若本例 2 条件变为 当0 x 时 16x logax成立 求a的取值范围 解析 当a 1时 16x 0 logax 所以a的取值范围为 1 规律方法 利用对数函数的图象可求解的两类热点问题 1 对一些可通过平移 对称变换作出其图象的对数型函数 在求解其单调性 单调区间 值域 最值 零点时 常利用数形结合思想求解 2 一些对数型方程 不等式问题常转化为相应的函数图象问题 利用数形结合法求解 变式训练 2016 攀枝花模拟 已知lga lgb 0 a 0且a 1 b 0且b 1 则函数f x ax与g x logbx的图象可能是 解析 选b 因为lga lgb 0 所以lg ab 0 所以ab 1 即b 故g x logbx logax 则f x 与g x 互为反函数 其图象关于直线y x对称 结合图象知 b正确 加固训练 1 已知函数f x loga 2x b 1 a 0 a 1 的图象如图所示 则a b满足的关系是 a 0 a 1 b 1b 0 b a 1 1c 0 b 1 a 1d 0 a 1 b 1 1 解析 选a 令g x 2x b 1 这是一个增函数 而由图象可知函数y logag x 是单调递增的 所以必有a 1 又由图象知函数图象与y轴交点的纵坐标介于 1和0之间 即 1 f 0 0 所以 1 logab 0 故a 1 b 1 因此0 a 1 b 1 2 2016 石家庄模拟 设方程10 x lg x 的两个根分别为x1 x2 则 a x1x21d 0 x1x2 1 解析 选d 作出y 10 x与y lg x 的大致图象 如图 显然x1 0 x2 0 不妨设x1 x2 则x1 1 1 x2 0 所以此时即lg x1 lg x2 由此得lg x1x2 0 所以0 x1x2 1 3 已知函数f x loga x b a 0且a 1 的图象过两点 1 0 和 0 1 则logba 解析 f x 的图象过两点 1 0 和 0 1 则f 1 loga 1 b 0且f 0 loga 0 b 1 所以即所以logba 1答案 1 考向三对数函数的性质及其应用 考情快递 考题例析 命题方向1 求函数的定义域 典例3 2015 重庆高考 函数f x log2 x2 2x 3 的定义域是 解题导引 利用对数函数的性质真数大于零求解 规范解答 选d 由对数函数的真数大于零可知 x2 2x 3 0 解得x1 所以函数f x log2 x2 2x 3 的定义域是 3 1 命题方向2 比较对数值的大小 典例4 2013 全国卷 设a log32 b log52 c log23 则 a a c bb b c ac c b ad c a b 解题导引 结合对数函数的性质判断a b c的范围 确定大小关系 规范解答 选d 方法一 a log32log22 1 又log32 log52 lg3log52 综上c a b 方法二 因为log22 所以1 所以c a b 技法感悟 1 求函数的定义域的方法列出对应的不等式 组 求解即可 要注意对数函数的底数和真数的取值范围 2 比较对数值的大小的方法 1 若底数为同一常数 则可由对数函数的单调性直接进行判断 若底数为同一字母 则需对底数进行分类讨论 2 若底数不同 真数相同 则可以先用换底公式化为同底后 再进行比较 3 若底数与真数都不同 则常借助1 0等中间量进行比较 题组通关 1 2016 咸阳模拟 设a log4 b c 4 则a b c的大小关系是 a a c bb b c ac c b ad c a b 解析 选d 因为01 所以c a b 2 2016 肇庆模拟 函数y ln x 2 的定义域为 解析 要使函数有意义 需满足解得2 x 3 所以函数y ln x 2 的定义域是 2 3 答案 2 3 3 2016 兰州模拟 已知f x 是定义在r上的偶函数 且在 0 上为增函数 f 0 则不等式f 0的解集为 解析 因为f x 是r上的偶函数 所以它的图象关于y轴对称 如图 因为f x 在 0 上为增函数 所以f x 在 0 上为减函数 由f 0 得f 0 所以或 x 2或0 x 所以x 0 2 答案 0 2 4 2016 中山模拟 已知函数f x loga 8 ax a 0 a 1 若f x 1在区间 1 2 上恒成立 则实数a的取值范围为 解析 当a 1时 f x loga 8 ax 在 1 2 上是减函数 由f x 1恒成立 则f x min loga 8 2a 1 解之得11恒成立 则f x min loga 8 a 1 且8 2a 0 所以a 4 且a 1 故不存在 综上可知 实数a的取值范围是 1 答案 1 加固训练 2016 郑州模拟