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13.4 课题学习 最短路径问题华岳中学 张莹学习目标：1、已知直线同侧两点A、B，会在直线上求一点P，使PA+PB的距离最短。2、已知直线异侧两点A、B，会在直线上求一点P，使PA+PB的距离最短。学习重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短”问题。教学过程：一、引入新课唐朝诗人李颀的诗古从军行开头两句说: “白日登山望烽火， 黄昏饮马傍交河。”这两句诗中隐含了一个非常有趣的数学问题 “将军饮（yn）马问题”二、探究新知(一)两点在一条直线两侧1、如图，一位将军骑马从军营A到军营B，途中马要到小溪l 饮水一次。问将军在l 何处饮马可以使得所走路程最短？ BAl 师生合作：利用已经所学过的知识，可以很容易解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于点P，则点P即为所求点，根据“两点之间，线段最短”。(二)一次轴对称 两点在一条直线同侧2、如图，一位将军骑马从军营A到军营B，途中马要到河边饮水一次。问：这位在l 何处饮马可以使得所走路程最短？ ABl教师让学生发现两点在直线的同侧。现在，要解决的问题是：点A，B分别是直线l同侧的两个点，如何在l上找一个点，使得这个点到A，B的距离之和最短？教师引导：我们已经会了两点在直线两侧的最短路径问题，现在两个点在直线的同侧，如何才能把你不会的转化成你会的呢？学生：将点B移到直线l的另一侧就可以了教师：怎么移呢？随便找一个点可以吗？学生：不可以。【思考】做点B关于直线l的对称点B。教师：这样，我们就将点B移到l的另一侧B处，同时对直线l上的任一点C，都保持CB与CB的长度相等，就可以把问题转化为“两点在两侧”的情况，从而使新问题得到解决师生共同补充得出：作出点B关于l 的对称点 B，利用轴对称的性质，可以得到 CBCB（下右图）连接AB，则AB与l 的交点即为所求教师：那做点关于直线l的对称点可以找到点P吗？找到的是同一个点吗？学生在练习本上作图，教师批阅，一名学生板演。3、证明“最短”师生共同分析，合作证明“ACBC”最短证明：如上右图，在直线l上的任一点C（与点C不重合），连接AC，BC，BC，由轴对称的性质知：BCBC，BCBC ACBCACBCAB，ACBCACBC在ABC中，ABACBC， ACBCACBC即ACBC最短4、“将军饮马”问题的实质：（1）利用“两点之间，线段最短”加以解决。（2）把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，化折线为直线。（3）利用轴对称找对称点。5、变式练习已知P是ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使PQR的周长最短吗？学生独立完成，必要时教师点拨指导6、感悟与收获（1）通过这节课的学习活动你有哪些收获？（2）通过本节课的学习，你获得了哪些数学思想和方法？（3）学习过程中你还有什么困惑？7、作业必做题：如图，M村和N村在河的同侧，现要
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