矩形折纸类问题解法分类举例.doc

矩形折纸类问题解法分类举例 姓名 近年来，一类矩形折纸问题“折”进了中考数学题，有的考生着实感到解答起来不够顺手，颇具难度本文就这类题型的解题规律作点探讨与提示，请看例题一、沿矩形对角线折叠例1如图1，在矩形ABCD中，AB16，BC8,将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于点F，那么AF= 。练习1如图2，在矩形ABCD中，AB16，BC6,将矩形沿AC折叠，点B落在点B1处，(1)B1CD=500，ACB= ；（2）若AB1与CD交于点E，P为线段AC上的任意一点， PHCD于H，PGAE于G，试求PGPH的值。二、沿矩形对称轴折叠例2已知矩形ABCD的边AB2，ABBC，矩形ABCD的面积为s，沿矩形的对称轴折叠一次得到一个新矩形，求这个新矩形的对角线的长度。三、使其对角顶点重合折叠例3如图3，矩形纸片ABCD的长AD9cm，AB3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后，求DE的长和折痕EF的长四、使矩形一顶点落在其某一边上而折叠例4如图4，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，已知AB8，BC10，求EC的长。练习2如图，在矩形纸片ABCD中，AB=3，AD=5，折叠纸片，使点A落在BC边上的点A1处，折痕为PQ，设BA1=x，若限定点P、Q分别在AB、AD上移动，则x的取值范围是 。五、使矩形一顶点落在其对称轴上而折叠例5已知如图5，有一块面积为1的正方形ABCD，M、N分别为AD、BC边中点，将C点折至MN上，落在点P的位置，折痕为BQ，连接PQ。（1）求MP。（2）求证：以PQ为边长的正方形的面积等于。六、两次不同方式的折叠例6（初三）如图6，一张宽为3，长为4的矩形纸片ABCD，先沿对角线BD对折，点C落在点C1的位置，BC1交AD于G，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD与M，则ME的长为 。练习3将一矩形ABCD如图方式折叠，EF、EC为折痕，折叠后点A落在边CD的A1处，点B落在A1E的B1处。若A1D=4，BC=8，求BE的长。七、中考题选例7（甘肃兰州市）如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB折叠，使点A落在点A1处，已知OA=，AB=1，则点A1的坐标是（ ）（A）（，） （B）（，3）（C）（，） （D）（，）（本题中把OA=改为OA=2，则怎样解？）例8（山西吕梁市）将一张纸片沿任一方向翻折，得到折痕AB（图（1）；再翻折一次，得到折痕OC（图（2）；翻折使OA与OC重合，得到折痕OD（图（3）；最后翻折使OB与OC重合，得到折痕OE（图（4）再展示恢复成图（1）形状，则DOE的大小是_度 图（1） 图（2） 图（3） 图（4）例9（湖南邵阳市）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，将矩形ABCD沿CE折叠后，使点D恰好落在对角线AC上的点F处求：（1）EF的长；（2）梯形ABCE的面积例10（湖南郴州市）如图5，矩形纸片ABCD的边长分别为a，b（ab）将纸片任意翻折（如图6），折痕为PQ（P在BC上），使顶点C落在四边形APCD内一点C，PC的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A，且AM所在直线与PM所在直线重合（如图7），折痕为MN （1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明 （2）若QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，MN间的距离有何变化？请说明理由（3）若QPC的角度在每次翻折的过程中都为45（如图8），每次翻折后，非重叠部分的四边形MCQD，及四边形BPAN的周长与a，b有何关系，为什么？ （5） （6） （7） （8）例11同学们都喜欢老师给他的作业打“红钩”，我们将一张长10，宽1的矩形红纸条（图甲）进行翻折，也可以得到一个漂亮的“红钩”（图乙），如果“红钩”中的=60，那么这个“红钩”的面积为 2.（精确到0.1 2）（2）2= 例12矩形纸片ABCD中,第一次按如图方式折叠,使点A与点D重合,折痕为EG、EF，得到五边形EGBCF；第二次对五边形EGBCF按如图方式折叠，使点G与点F重合，折痕恰好是EB、EC，若BC=2，则AB长度为（ ）（A）（B）（C）（D）例13已知矩形纸片ABCD，AB=2，AD=1，将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合（1）如果折痕FG分别与AD、AB交于点F、G（如图9），AF=，求DE的长；（2）如果折痕FG分别与CD、AB交于点F、G（如图10），AED的外接圆与直线BC相切，求折痕FG的长（2006年南京市） 图（9） 图（10）例14（初三）已知如图，矩形OABC的长OA=，宽OC=1，将AOC沿AC翻折得APC （1）填空：PCB=_度，P点坐标为（_，_）； （2）若P，A两点在抛物线y=-x2+bx+c上，求b，c的值，并说明点C在此抛物线上；（3）在（2）中的抛物线CP段（不包括C，P点）上，是否存在一点M，使得四边形MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由例15（初三）如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将ABE沿BE折叠后得到GBE，延长BG交DC于点F.（1）如图1，点G在矩形ABCD内部，试判断GF与DF的数量关系，并证明你的结论；（2）如图2，当点G在BC边上时，即有,则的值为_;当点G在矩形ABCD内部时，如果，求的值；当点G在矩形ABCD内部时，如果，用t的代数式表示（直接写出结论）；当点G在矩形ABCD外部时，你得出的结论是否还成立?请直接写出结论即可.ABCEDGFABCEDG(F)ABCEDGF图1 图2 图3 例15（初三）解：（1）GF=DF,证明略；3分（2）2；1分,过程略；3分，当点G在矩形ABCD外部时，得出的结论还成立.3分练习：1在一张长方形纸片中，现将这张纸片按下列图示方式折叠，请分别求折痕的长。（1）如图甲，折痕为，点的对应点在上；（2）如图乙，分别为的中点，的对应点在上，折痕为；（3）如图丙，点与点重合，折痕为。 甲 乙 丙2如图所示，现有一张矩形纸片，其中，点是的中点，实施操作：将纸片沿直线折叠，使点落在梯形内，记为点。（1）请用尺规，在图中作出（保留作图痕迹）；（2）试求两点之间的距离。(连B得RTBC)（2007年乐山市）如图，把矩形纸条沿同时折叠，两点恰好落在边的点处，若，则矩形的面积为 。ABCDEF（1）ABCDEFGH（2）(第5题)AEPDGHFBACD(第3题)(第4题)（2007年江西省）如图，将矩形纸片沿对角线折叠，使点落在处，交于，若，则在不添加任何辅助线的情况下，图中的角（虚线也视为角的边）有（ ）A6个B5个C4个D3个（2007淄博市）有一边长为2的正方形纸片ABCD，先将正方形ABCD对折，设折痕为EF（如图(1)）；再沿过点D的折痕将角A反折，使得点A落在EF的H上（如图(2)），折痕交AE于点G，则EG的长度为( )（A） （B） （C） （D）6.(2007年冷水滩区)如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点B落在直角梯形AECD中位线FG上，且AB=1，则AE的长为 ( )A2B3C2D (第6题) 7.（2007年贵阳）将长为20cm，宽为2cm的长方形白纸条，折成图所示的图形并在其一面着色，则着色部分的面积为 8（2011例卷）如图1，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（3，4），点B的坐标为（7，0），D，E分别是线段AO、AB上的点，以DE所在直线为对称轴，把ADE作轴对称变换得ADE，点A恰好在x轴上（1）ABO的度数为_，线段AB的长是_（2）当AAx轴时，线段DE的长为_（3）如图2，当ADOA时， （1）求AD的长 （2）求线段DE的长（4）设OA=x,OD=y，求y关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围图1 图29.（2011.河泽）10.（2011.成都）11.（012模拟18如图,矩形OABC,B(9,6),点A,点C分别在x轴,y轴上.D为BC上一点,把OCD沿OD对折,C点落在直线y=2x-6上,则D点坐标为 （连CE，由OC=OH=OE得HEC=90，,GEC=90，由DC=DE得D是CG的中点于是D（3,6）例2 如图2-2，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是多少？ 分析 图形沿EF折叠后A、C重合，可知四边形AFED与四边形CFED全等，则对应边、角相等，AF=FC，且FC=AE，则ABFADE，由三角形面积公式不难求出不重合部分的面积 解：图形沿EF折叠后A、C重合， 2-2 四边形AFED与CFED关于EF对称， 则四边形AFED四边形CFED AFE=CFE AF=FC，D=D=B=90 AB=CD=AD ADBC， AEF=EFC AEF=AFE 则AE=AF RtABFRtADE 在RtABF中，B=90， AB2+BF2=AF2 设BF=x，b2+x2=（a-x）2， x= S=2SABF=2bx=2b=8解 如图所示，第二次翻折，折痕OC平分AOA；第三次翻折，折痕OD平分COA，OD平分AOC；第四次翻折，折痕OE平分BOD DOE=180-AOD-BOE =180-（AOC+BOC）=909解 如图，设EF=x， 依题意知：CDECFE DE=EF=x，CF=CD=6， AC=10 AF=AC-CF=4， AE=AD-DE=8-x 在RtAEF中，有AE2=AF2+EF2， 于是（8-x）2=42+x2 解得x=3，因此EF的长是3 （2）由（1）知：AE=8-3=5， S梯形ABCE=3910解 （1）PQMN 因为四边形ABCD是矩形，所以ADBC，且M在AD直线上 则有AMBC，所以AMP=MPC 由翻折可得： MPQ=CPQ=MPC，NMP=AMN=AMP 所以MPQ=NMP，故PQMN （2）两折痕PQ，MN间的距离不变 过P作PHMN，使PH=PMsinPMH 因为QPC的角度不变，所以CPC的角度也不变，则所有的PM都是平行的 又因为ADBC，所以所有的PM都是相等的又因为PMH=QPC，故PH的长不变 （3）当QPC=45时，四边形PCQC是正方形，四边形CQDM是矩形 因为CQ=CQ，CQ+QD=a，所以矩形CQDM的周长为2a 同理可得，矩形BPAN的周长为2a 所以两个四边形的周长都为2a，与b无关11解 （1）在矩形ABCD中， AB=2，AD=1，AF=，D=90 根据题意得：EF=AF= DF=AD-AF= 在RtDEF中， DE=（2）设AE与FG交于O，取AD的中点M，连结并延长MO，交BC于N 由轴对称的性质得AO=EO MNDE，MO=DE D=90，ADBC， 四边形MNCD是矩形，MN=CD=AB=2 设DE=x，则ON=2-x AED的外接圆与BC相切， ON是AED的外接圆的半径 OE=ON=2-x，AE=2ON=4-x 在RtAED中，AD2+DE2=AE2， 12+x2=（4-x）2，解得x= DE=，OE=2-x= 由轴对称的性质得AEFG FOE=D=90 又OEF=DEA， FEOAED， 把OE=，DE=，AD=2 代入解得FO= 易证FEOGAO，FO=GO， FG=2FO=，即折痕FG的长是12解（1）P点坐标为（，）； （2）点P（，），A（，0）在抛物线y=-x2+bx+c上， 解得b=，c=1 抛物线的解析