符号表达式运算.doc

符号表达式运算 一旦创建了一个符号表达式，或许想以某些方式改变它；也许希望提取表达式的一部分，合并两个表达式或求得表达的数值。有许多符号工具可以帮助完成这些任务。所有符号函数(很少特殊例外的情况，讨论于后)作用到符号表达式和符号数组，并返回符号表达式或数组。其结果有时可能看起来象一个数字，但事实上它是一个内部用字符串表示的一个符号表达式。正如我们前面所讨论的，可以运用MATLAB函数isstr来找出像似数字的表达式是否真是一个整数或是一个字符串。提取分子和分母如果表达式是一个有理分式(两个多项式之比)，或是可以展开为有理分式(包括哪些分母为1的分式)，可利用numden来提取分子或分母。在必要时，numden将表达式合并、有理化并返回所得的分子和分母。进行这项运算的MATLAB语句是： m= x2 % create a simple expression m=x2 n，d=numden(m) % extract the numerator and denominatorn=x2d=1 f= a*x2/(b-x) % create a rational expressionf=a*x2/(b-x) n，d=numden(f) % extract the numerator and denominatorn=a*x2d=b-x前二个表达式得到期望结果。 g= 3/2*x2+2/3*x-3/5 % rationalize and extract the partsg=3/2*x2+2/3*x-3/5 n，d=numden(g)n=45*x2+20*x-18d=30 h= (x2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1) % the sum of rational polynomialsh=(x2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1) n，d=numden(h) % rationalize and extractn=x3+5*x2-3d=(2*x-1)*(x-1)在提取各部分之前，这二个表达式g和h被有理化，并变换成具有分子和分母的一个简单表达式。 k=sym( 3/2，(2*x+1)/3；4/x2，3*x+4 ) % try a symbolic arrayk= 3/2，(2*x+1)/34/x2， 3*x+4 n，d=numden(k)n=3， 2*x+14， 3*x+4d= 2，3x2，1这个表达式k是符号数组，numden返回两个新数组n和d，其中n是分子数组，d是分母数组。如果采用s=numden（f)形式，numden仅把分子返回到变量s中。标准代数运算很多标准的代数运算可以在符号表达式上执行，函数symadd、symsub、symlnul和symdiv为加、减、乘、除两个表达式，sympow将一个表达式上升为另一个表达式的幂次。 f= 2*x2+3*x-5 % define the symbolic expressionf=2*x2+3*x-5 g= x2-x+7 g=x2-x+7 symadd(f，g) % find an expression for f+g ans=3*x2+2*x+2 symsub(f，g) % find an expression for f-gans=x2+4*x-12 symmul(f，g) % find an expression for f*gans=(2*x2+3*x-5)*(x2-x+7) symdiv(f，g) % find an expression for f/gans=(2*x2+3*x-5)/(x2-x+7) sympow(f， 3*x ) % find an expression for ans=(2*x2+3*x-5)3*另一个通用函数可让用户用其它的符号变量、表达式和算子创建新的表达式。symop取由逗号隔开的、多至16个参量。各个参量可为符号表达式、数值或算子( + 、 - 、*、 / 、 、 ( 或 ) )，然后symop可将参量联接起来，返回最后所得的表达式. f= cos(x) % create an expressionf=cos(x) g= sin(2*x) % create another expressiong=sin(2*x) symop(f，/ ，g，+，3) % combine themans=cos(x)/sin(2*x)+3所有这些运算也同样用数组参量进行。高级运算MATLAB具有对符号表达式执行更高级运算的功能。函数compose把f(x)和g(x)复合成f(g(x)。函数finverse求表达式的函数逆，而函数symsum求表达式的符号和。给定表达式 f= 1/(1+x2) ； % create the four expression g= sin(x) ； h= 1/(1+u2) ； k= sin(v) ； compose(f，g) % find an expression for f(g(x)ans=1/(1+sin(x)2) compose(g，f) % find an expression for g(f(x)ans=sin(1/(1+x2)compose也可用于含有不同独立变量的函数表达式。 compose(h，k，u，v) % given h(u)，k(v)，find(k(v)ans=1/(1+sin(v)2)表达式譬如f(x)的函数逆g(x)，满足g(f(x)=x。例如，的函数逆是ln(x)，因为ln()=x。sin(x)的函数逆是arcsin(x)，函数的函数逆是arcsin。函数fincerse返回表达式的函数逆。如果解不是唯一就给出警告。 finverse( 1/x) % the inverse of 1/x is 1/x since 1/（1/x)=x ans=1/x finverse( x2 ) % g(x2)=x has more than one solutionWarning： finverse(x2) is not uniqueans=x(1/2) finverse( a*x+b ) % find the solution to g(f(x)=x ans=-(b-x)/a finverse( a*b+c*d-a*z )， a ) % find the solution to g(f(a)=a ans=-(c*d-a)/(b-z)symsun函数求表达式的符号和有四种形式：symsun(f)返回；symsum(f， s )返回，symsun(f，a，b)返回；最普通的形式symsun(f， s ，a，b)返回。让我们试一试，它应返回： 。 symsum(x2)ans=1/3*x3-1/2* x2+1/6*x又怎么样呢?它应返回。 sym(2*n-1)2，1，n)ans=11/3*n+8/3-4*(n+1)2+4/3*(n+1)3 factor(ans) % change the form ( we will revisit factor later on)ans=1/3*n*(2*n-1)*(2*n+1)最后让我们试一试，其返回应是。 symsum( 1/(2*n-1)2 ，1，inf)ans=1/8*pi2变换函数本节提出许多工具，将符号表达式变换成数值或反之。有极少数的符号函数可返回数值。然而请注意，某些符号函数能自动地将一个数字变换成它的符号表达式，如果该数字是函数许多参量中的一个。函数sym可获取一个数字参量并将其转换为符号表达式。函数numneric的功能正好相反，它把一个符号常数（无变量符号表达式）变换为一个数值。 phi= (1+sqrt(5)/2 % the golden ratiophi=(1+sqrt(5)/2 % convert to a numeric value numeric(phi)ans=1.6180正如第六章所介绍，函数eval将字符串传给MATLAB以便计算。所以eval是另一个可用于把符号常数变换为数字或计算表达式的函数。 eval(phi) % execute the string (1+sqrt(5)/2ans=1.6180正如所期望那样，numeric和eval返回相同数值。符号函数sym2poly将符号多项式变换成它的MATLAB等价系数向量。函数poly2syrn功能正好相反，并让用户指定用于所得结果表达式中的变量。 f= 2*x2+x3-3*x+5 % f is the symbolic polynomialsf=2*x2+x3-3*x+5 n=sym2poly(f) % extract eht numeric coefficient vectorn=1 2 -3 5 poly2sym(n) % recreate the polynomials in x (the default)ans=2*x2+x3-3*x+5 poly2sym(n， s ) % recreate the polynomials in sans=s3+2*s2-3*s+5变量替换假设有一个以x为变量的符号表达式，并希望将变量转换为y。MATLAB提供一个工具称作subs，以便在符号表达式中进行变量替换。其格式为subs（f，new，old)，其中f是符号表达式，new和old是字符、字符串或其它符号表达式。新字符串将代替表达式f中各个旧字符串。以下有几个例子： f= a*x2+b*x+c % create a function f(x)f=a*x2+b*x+c subs(f， s ， x ) % substitute s for x in the expression f ans=a*s2+b*s+c subs(f， alpha ， a ) % substitute alpha for a in f ans=alpha*x2+b*x+c g= 3*x2+5*x-4 % create another functiong=3*x2+5*x-4 h=subs(g， 2 ， x ) % substitute 2 for x in g h=18 isstr(h) % show that the result is a symbolic expressionans=1最后一个例子表明subs如何进行替换，并力图简化表达式。因为替换结果是一